B.1 Vettori

B.1.1 Vettori nello spazio euclideo

Un vettore geometrico è un segmento orientato dotato di una lunghezza, una direzione e un verso. Spesso viene rappresentato con una freccia. Dato che i vettori non hanno posizione (ma solo direzione, verso e intensità), sono possibili rappresentazioni multiple dello stesso vettore. Nella discussione seguente, considereremo soltanto vettori che hanno origine nel punto (0, 0). Questo verrà chiarito dall’esempio seguente. La posizione di un punto nel piano può essere espressa nei termini di una coppia ordinata di numeri (\(x, y\)), le coordinate di quel punto. Tale coppia di valori rappresenta la distanza verticale dal punto a ciascuno degli assi coordinati.

Possiamo anche definire il punto \(P\) specificando la distanza e la direzione di \(P\) dall’origine, ovvero nei termini del vettore \(\overrightarrow{OP}\). A sua volta, questo vettore può essere espresso nei termini delle sue componenti nelle direzioni orizzontali e verticali:

\[ \overrightarrow{OP} = \left[ \begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array} \right] \]

Se volessimo specificare un punto in uno spazio a 3 dimensioni, avremmo:

\[ \overrightarrow{OP} = \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right] \]

In generale, un punto \(P\) in uno spazio a \(n\)-dimensioni sarà specificato da:

\[ \overrightarrow{OP} = \left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \dots\\ v_n \end{array} \right] \]

Dal punto di vista geometrico, dunque, un vettore rappresenta un punto in uno spazio \(n\)-dimensionale.

In \(\mathsf{R}\), un vettore è definito come

a <- c(1, 3, 2)
a
#> [1] 1 3 2

B.1.2 Somma e differenza di vettori

La somma di due vettori è definita come

\[ (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2). \]

In \(\mathsf{R}\) abbiamo

a <- c(1, 3, 2)
b <- c(2, 8, 9)
a + b
#> [1]  3 11 11

La differenza di due vettori è

\[ (a_1, a_2) - (b_1, b_2) = (a_1 - b_1, b_2 - b_2). \]

In \(\mathsf{R}\) abbiamo

a <- c(1, 3, 2)
b <- c(2, 8, 9)
a - b
#> [1] -1 -5 -7

B.1.3 Moltiplicazione scalare

La moltiplicazione scalare di un vettore per un numero reale (o scalare) è data da

\[ \rho (a_1, a_2) = (\rho a_1, \rho a_2) \]

Dal punto di vista geometrico, la moltiplicazione scalare effettua una estensione o contrazione del vettore \(\boldsymbol{a}\), preservandone la direzione.

In \(\mathsf{R}\) abbiamo

a <- 2
x <- c(2, 8, 9)
a * x
#> [1]  4 16 18

B.1.4 Combinazione lineare

Se \(\mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n}\) sono vettori e \(a_1, \dots, a_n\) sono scalari, allora la combinazione lineare di questi vettori con questi coefficienti scalari è data da

\[ {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.} \] Per esempio, in \(\mathsf{R}\) possiamo aver

a <- c(2, 3, 4)
v1 <- c(2, 8, 3)
v2 <- c(4, 5, 1)
v3 <- c(1, 3, 2)
y <- a[1] * v1 + a[2] * v2 + a[3] * v3
y
#> [1] 20 43 17

B.1.5 Vettore 0 e vettore 1

Il vettore 0 è costituito da \(n\) elementi, tutti uguali a 0. Il vettore 1 è costituito da \(n\) elementi, tutti uguali a 1.

In \(\mathsf{R}\) abbiamo

x <- rep(0, 5)
x
#> [1] 0 0 0 0 0
y <- rep(1, 5)
y
#> [1] 1 1 1 1 1

B.1.6 Ortogonalità tra vettori

Due vettori si dicono ortogonali, e si scrive \(\boldsymbol{a} \bot \boldsymbol{b}\), se e solo se il loro prodotto scalare è nullo:

\[ \boldsymbol{a}'\boldsymbol{b} = 0. \]

In \(\mathsf{R}\) abbiamo

v1 <- c(1, 1)
v2 <- c(-1, 1)
sum(v1 * v2)
#> [1] 0

B.1.7 Trasposta di un vettore

In un vettore trasposto gli indici delle righe prendono il posto degli indici delle colonne, e viceversa.

In \(\mathsf{R}\) abbiamo

v1 <- c(1, 3, 7) %>%
  as.matrix()
v1
#>      [,1]
#> [1,]    1
#> [2,]    3
#> [3,]    7

Le dimensioni di v1 sono

dim(v1)
#> [1] 3 1

La trasposta di v1 è

v2 <- t(v1)
v2
#>      [,1] [,2] [,3]
#> [1,]    1    3    7

e ha dimensioni

dim(v2)
#> [1] 1 3

B.1.8 Norma o lunghezza di un vettore

Per il teorema di Pitagora, la norma di un vettore \((a_1, a_2)\) è \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\) ed è denotata da \(\| (a_1, a_2) \|\). Infatti, se un vettore \(\boldsymbol{a}\) (l’ipotenusa) è la somma di due vettori ortogonali \(\boldsymbol{a}_1\) e \(\boldsymbol{a}_2\) (i cateti), allora la lunghezza al quadrato di \(\boldsymbol{a}\) è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze di \(\boldsymbol{a}_1\) e \(\boldsymbol{a}_2\).

Viene detta norma di \(\boldsymbol{a}\) la radice del prodotto scalare di un vettore per se stesso:

\[ \| \boldsymbol{a} \| = \sqrt{\boldsymbol{a}'\boldsymbol{a}}. \]

In \(\mathsf{R}\) abbiamo

sqrt(t(v1) %*% v1)
#>          [,1]
#> [1,] 7.681146