10.2 Dimostrazione

Poniamoci ora il problema di derivare la formula dell’errore standard della misurazione. Per derivare la formula \(\sigma_E = \sigma_X \sqrt{1 -\rho_{XX^\prime}}\) sono necessari due passi: prima dobbiamo trovare la varianza del punteggio vero; poi dobbiamo esprimere il punteggio osservato come la somma della varianza del punteggio vero e la varianza dell’errore.

In base alla definizione del coefficiente di attendibilità \(\rho_{XX^\prime} = \frac{\sigma^2_T}{\sigma^2_X}\) possiamo scrivere \(\sigma^2_T = \rho_{XX^\prime} \sigma^2_X\), dove \(X\) e \(X^\prime\) sono due forme parallele di un test. Ricordiamo che misurazioni parallele hanno le seguenti proprietà: \(\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X^\prime)\) e \(\mathbb{V}(X) = \mathbb{V}(X^\prime)\). Dato che \(\sigma_{X}=\sigma_{X^\prime}\), l’equazione precedente diventa \(\sigma^2_T = \rho_{XX^\prime} \sigma_X\sigma_{X^\prime}.\) Utilizzando la definizione della covarianza tra \(X\) e \(X^\prime\), ovvero, \(\sigma_{XX^\prime}=\rho_{XX^\prime}\sigma_X\sigma_{X^\prime}\), possiamo concludere che la varianza del punteggio vero è uguale alla covarianza tra due misurazioni parallele:

\[ \sigma^2_T = \sigma_{XX^\prime}. \]

Essendo l’attendibilità del test il rapporto tra la varianza del punteggio vero e la varianza del punteggio osservato, ed essendo che la varianza del punteggio vero uguale alla covarianza tra due misurazioni parallele, possiamo concludere che l’attendibilità aumenta all’aumentare della covarianza media tra gli item del test. Si noti come questo importante risultato della CTT dipenda dall’ipotesi di omogeneità delle varianze degli item del test.

Calcoliamo ora la varianza di \(E\). La varianza del punteggio osservato è uguale a \(\sigma^2_X = \sigma^2_T + \sigma^2_E.\) Sulla base della definizione di attendibilità \(\sigma^2_T = \rho_{XX^\prime} \sigma^2_X\), la varianza del punteggio osservato si può scrivere come \(\sigma^2_X =\rho_{XX^\prime} \sigma^2_X + \sigma^2_E\), da cui

\[\begin{equation} \begin{aligned} \sigma^2_E &= \sigma^2_X - \sigma^2_X\rho_{XX^\prime}\notag\\ &= \sigma^2_X (1 -\rho_{XX^\prime}). \end{aligned} \end{equation}\]

La varianza degli errori della misurazione \(\sigma^2_E = \sigma^2_X (1 -\rho_{XX^\prime})\) è dunque uguale al prodotto di due fattori: il primo fattore è la varianza del punteggio osservato; il secondo fattore è uguale a uno meno la correlazione tra due forme parallele del test. Possiamo così calcolare una quantità incognita, \(\sigma^2_E\), nei termini di due quantità osservabili, \(\sigma^2_X\) e \(\rho_{XX^\prime}\).