25.2 Parsimonia e semplicità

Come si raggiunge allora una qualche certezza sui risultati dell’analisi fattoriale? Il problema dell’indeterminazione fattoriale si affronta scegliendo la soluzione che soddisfa i seguenti due criteri: criterio della parsimonia: se sia un modello ad un fattore comune sia un modello a due fattori comuni possono spiegare la covariazione tra le variabili si deve accettare quello ad un fattore; criterio della semplicità: a parità di numero di fattori, sono da preferire le strutture più semplici della matrice $\boldsymbol{\Lambda}$ (Thurstone, 1947).

Il criterio della parsimonia è facilmente applicabile: se due soluzioni fattoriali aventi un numero diverso di fattori riproducono allo stesso modo la matrice S o R, si sceglie la soluzione con il numero minore di fattori. D’altra parte, se vi sono diverse soluzioni fattoriali con lo stesso numero $m$ di fattori, il criterio della semplicità ci guida nella scelta della trasformazione più appropriata della matrice $\hat{\boldsymbol{\Lambda}}$. La trasformazione della matrice $\hat{\boldsymbol{\Lambda}}$ va sotto il nome di rotazione. A seconda che i fattori ruotati risultino o meno incorrelati, si distingue tra metodi di rotazione ortogonale o obliqua dei fattori.

25.2.1 Il criterio della “struttura semplice”

Tramite la rotazione degli assi fattoriali miriamo alla “struttura semplice” della matrice delle saturazioni fattoriali: poche ma forti saturazioni diverse da zero e assenza di variabili saturate da più di un fattore. Il criterio della “struttura semplice” è stato originariamente proposto da Thurstone (1947) secondo il quale tale criterio viene raggiunto quando:

• nella matrice fattoriale ruotata, ogni variabile deve avere almeno un peso nullo;
• ogni fattore deve avere almeno $m$ saturazioni nulle ($m$: numero dei fattori comuni);
• per ciascuna coppia di fattori vi devono essere saturazioni basse su un fattore e saturazioni alte sull’altro;
• nel caso di molti fattori, per ciascuna coppia di fattori una grande proporzione di saturazioni dovrebbe essere nulla;
• per ciascuna coppia di fattori, vi dovrebbero essere solo poche saturazioni di entità non trascurabile su entrambi i fattori.

Nella pratica, il requisito della struttura semplice viene perseguito, non tanto seguendo le indicazioni di Thursone, quanto bensì cercando di massimizzare il numero di saturazioni nulle o quasi nulle nella matrice $\hat{\boldsymbol{\Lambda}}$. Uno dei grandi vantaggi che derivano dall’ottenimento della struttura semplice è la facilitazione nell’interpretazione dei fattori (Cattell, 1978).

L’esame delle saturazioni fattoriali contenute nella matrice $\hat{\boldsymbol{\Lambda}}^*$ ruotata consente infatti di fornire un’interpretazione ai fattori. Per poter interpretare un fattore, dobbiamo chiederci quali sono le variabili che risultano maggiormente associate con tale fattore e quanto forti siano tali legami. Se i coefficienti di impatto di un fattore sono positivi e piuttosto elevati su un sottoinsieme di variabili osservate, da ciò deduciamo che il fattore rappresenta ciò che hanno in comune le variabili che saturano sul fattore. Ovviamente, l’interpretazione si complica nel caso di variabili che saturano su più fattori.