11.2 L’errore standard della stima

Il modello di regressione di Kelley non solo ci permette di ottenere una stima del punteggio vero a partire dal punteggio osservato, ma ci fornisce anche una misura di precisione di tale stima: l’errore standard della stima.

Immaginiamo di poter somministrare il test ad un rispondente più volte, in condizioni identiche, e di ottenere in ogni somministrazione una stima del valore vero $\hat{T}$. A causa dell’errore di misurazione, il punteggio osservato varierà in ogni somministrazione del test, e quindi anche la stima di $\hat{T}$ varierà. La deviazione standard di queste stime ipotetiche di $\hat{T}$ è chiamata errore standard della stima, indicato con $\sigma_{\hat{T}}$.

Calcolare l’errore standard della stima è importante poiché ci dà un’indicazione della precisione della stima del punteggio vero. Più piccolo è l’errore standard della stima, più precisa sarà la stima del punteggio vero. L’errore standard della stima si calcola con la formula seguente:

$$\begin{equation} \sigma_{\hat{T}} = \sigma_X \sqrt{\rho_{XX^\prime} (1 -\rho_{XX^\prime})}. \tag{11.3} \end{equation}$$

Dimostrazione. Per ricavare la (11.3) si definisce $\varepsilon$ l’errore che si commette quando si stima il punteggio vero $\hat{T}$ con il punteggio osservato $T$ (si veda Lord and Novick 1968):

$$\varepsilon = T - \hat{T}.$$

Si presti attenzione alla notazione: $E = X - T$ indica l’errore della misurazione, ovvero la differenza tra il punteggio osservato e il punteggio vero. Invece $\varepsilon = T - \hat{T}$ indica la differenza tra il punteggio vero e la stima del punteggio vero.

Avendo che $\hat{T} = \bar{X} + \rho_{XX^\prime} (X - \bar{X})$, la varianza di $\varepsilon = T - \hat{T}$ si può scrivere come

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\varepsilon) &= \mathbb{V}(T - \hat{T})\notag\\ &= \mathbb{V}(T - \bar{X} - \rho_{XX^\prime} X + \rho_{XX^\prime}\bar{X}). \end{aligned} \end{equation}$$

Dato che la varianza di una variabile aleatoria non cambia sommando a tale variabile una costante, dobbiamo semplicemente calcolare

$$\begin{equation} \mathbb{V}(\varepsilon) = \mathbb{V}(T - \rho_{XX^\prime}X).\notag \end{equation}$$

Dobbiamo trovare la varianza della somma di due variabili aleatorie, una delle quali moltiplicata per una costante. Dunque:

$$\mathbb{V}(\varepsilon) = \mathbb{V}(T) + \rho_{XX^\prime}^2 \mathbb{V}(X) - 2 \rho_{XX^\prime} \mbox{Cov}(X,T),$$

ovvero, semplificando la notazione,

$$\begin{equation} \sigma^2_{\varepsilon} = \sigma^2_T + \rho_{XX^\prime}^2 \sigma^2_X - 2 \rho_{XX^\prime} \sigma_{XT}.\notag \end{equation}$$

La quantità $\rho_{XX^\prime}$ è il coefficiente di attendibilità. Quindi

$$\begin{equation} \sigma^2_{\varepsilon} = \sigma^2_T + \left(\frac{\sigma_T^2}{\sigma_X^2}\right)^2 \sigma^2_X - 2 \frac{\sigma_T^2}{\sigma_X^2} \sigma_{XT}.\notag \end{equation}$$

Semplificando otteniamo

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma^2_{\varepsilon} &= \sigma^2_T + \frac{\sigma_T^4}{\sigma_X^4} \sigma^2_X - 2 \frac{\sigma_T^2}{\sigma_X^2} \sigma_{XT}\notag\\ &= \sigma^2_T + \sigma^2_T\frac{\sigma_T^2}{\sigma_X^2} - \sigma_T^2 2 \frac{\sigma_{XT}}{\sigma_X^2} \notag\\ &= \sigma^2_T \left(1 + \frac{\sigma_T^2}{\sigma_X^2} - 2 \frac{\sigma_{XT}}{\sigma_X^2}\right).\notag \end{aligned} \end{equation}$$

Dato che $\sigma_{XT}=\sigma^2_T$, l’equazione precedente diventa uguale a

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma^2_{\varepsilon} &= \sigma^2_T \left(1 +\frac{\sigma_T^2}{\sigma_X^2} - 2 \frac{\sigma_{T}^2}{\sigma_X^2}\right)\notag\\ &= \sigma^2_T \left(1 - \frac{\sigma_{T}^2}{\sigma_X^2}\right). \end{aligned} \end{equation}$$

L’errore standard della stima è dunque uguale a

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{\varepsilon} &=\sigma_T \sqrt{1-\frac{\sigma^2_T}{\sigma^2_X}}\notag\\ &=\sigma_T \sqrt{\frac{\sigma^2_X - \sigma^2_T}{\sigma^2_X}}\notag\\ &=\frac{\sigma_T}{\sigma_X} \sqrt{\sigma^2_X - \sigma^2_T}. \end{aligned} \end{equation}$$

Dato che $\sigma^2_X=\sigma^2_T+\sigma^2_E$, abbiamo

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{\varepsilon} &= \frac{\sigma_T}{\sigma_X} \sqrt{\sigma^2_E }\notag\\ &= \frac{\sigma_T}{\sigma_X} \sigma_E \notag\\ &= \sqrt{\rho_{XX^\prime}} \sigma_E. \notag \end{aligned} \end{equation}$$

Ricordando che l’errore standard della misurazione è $\sigma_E = \sigma_X \sqrt{1 - \rho_{XX^\prime}}$, possiamo scrivere

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{\varepsilon} &= \sqrt{\rho_{XX^\prime}} \sigma_E \notag\\ &= \sqrt{\rho_{XX^\prime}} \sigma_X \sqrt{1-\rho_{XX^\prime}} \notag\\ &= \sigma_X \sqrt{\rho_{XX^\prime} (1 - \rho_{XX^\prime})}.\notag \end{aligned} \end{equation}$$

Per dati campionari, l’errore standard della stima si calcola nel modo seguente:

$$s_{\hat{T}} = s_X \sqrt{r_{XX^\prime} (1-r_{XX^\prime})},$$

dove $s_X$ è deviazione standard del campione e $r_{XX^\prime}$ è il coefficiente di attendibilità.

References

Lord, Frederic M, and Melvin R Novick. 1968. Statistical Theories of Mental Test Scores. Addison-Wesley.