32.1 Modello LGM come modello di equazioni strutturali

Nei termni del framework delle equazioni strutturali, il modello di crescita latente viene inteso come un modello a fattore comune vincolato, con variabili latenti per l’intercetta e la pendenza. Un tale modello a fattore comune vincolato, corrispondente al modello di crescita latente, può essere scritto nel modo seguente:

\[ \boldsymbol{y}_i = \boldsymbol{Λη}_i + \boldsymbol{u}_i, \]

dove \(\boldsymbol{y}_i\) è un vettore T × 1 dei punteggi osservati misurati ripetutamente per l’individuo \(i\), dove T rappresenta il numero di valutazioni ripetute basate sulla metrica del tempo scelta, \boldsymbol{Λ{} è una matrice T × R di saturazioni fattoriali che definiscono i fattori di crescita (variabili latenti), dove R è il numero di fattori di crescita (R = 1 per il modello senza crescita, R = 2 per il modello di crescita lineare), _i è un vettore R × 1 dei punteggi fattoriali per l’individuo \(i\) e _i è un vettore T × 1 dei punteggi residui o unici per l’individuo \(i\).

I punteggi fattoriali possono essere scritti come deviazioni dalle medie a livello del campione, in modo tale che

\[ \boldsymbol{η}_i = \boldsymbol{α} + \boldsymbol{xi}, \]

dove \(\boldsymbol{α}\) è un vettore R × 1 delle medie dei fattori e è un vettore R × 1 delle deviazioni medie per per l’individuo \(i\).

Il modello di crescita latente definito dalle due equazioni precedenti porta a una serie di previsioni sulla struttura delle medie e delle covarianze dei dati osservati. Queste previsioni del modello vengono utilizzate nel contesto della modellizzazione delle equazioni strutturali per calcolare le stime dei parametri e gli indici di adattamento del modello. La struttura delle media (\(\boldsymbol{\mu}\)) prevista dal modello di crescita latente è

\[ \boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{\lambda} \boldsymbol{\alpha}. \]

La struttura delle covarianze (\(\boldsymbol{\Sigma}\)) prevista dal modello di crescita latente è

\[ \boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{\Lambda}' + \boldsymbol{\Theta}. \]

Diversi tipi di modelli di crescita latente possono essere specificati cambiando le dimensioni e i valori contenuti nella matrice . Per il modello senza crescita, è una matrice T × 1 (colonna) perché c’è solo una variabile latente nel modello senza crescita. Per il modello a crescita lineare, è una matrice T × k, con k rilevazioni temporali, dove le saturazioni fattoriali sono fisse e uguali alla separazione temporale tra le rilevazioni. Per esempio, con tre misurazioni temporali, le saturazioni fattoriali saranno specificate ai valori 0, 1, 2. Si noti che, in questo modo, si assume che tutte le unità di osservazione siano state misurate nella stessa occasione temporale.