Capitolo 17 I punteggi fattoriali

Uno dei momenti più difficili nel processo di sviluppo di un test psicometrico è quello dell’interpretazione dei fattori. La verifica del livello di affidabilità rivela il grado di precisione delle misure ottenute ma non fornisce alcuna informazione sulla natura di ciò che si sta misurando. Non esistono specifiche indicazioni che guidino il lavoro interpretativo. Dipende, perciò, dalla capacità e dall’esperienza del ricercatore cogliere il significato comune delle variabili confluite in un fattore, attenendosi alla realtà delle singole variabili senza fornire interpretazioni fantasiose. È importante rendersi conto che sia la scelta del metodo di estrazione dei fattori, sia il problema del numero dei fattori da estrarre, sia la scelta del metodo con cui effettuare la rotazione, rendono molto arbitraria l’interpretazione della soluzione fattoriale.

I passaggi teorici necessari per interpretare una matrice fattoriale ruotata possono essere descritti nel modo seguente.

  1. Si definisce un livello arbitrario per le saturazioni che ci indichi il limite oltre il quale non riteniamo le variabili sufficientemente importanti per caratterizzare quel determinato fattore. Solitamente si sceglie la soglia di .40. In casi particolari è possibile usare valori maggiori o minori di questo, a seconda che si abbia un numero ristretto o troppo ampio di variabili da interpretare.

  2. Si ordinano le saturazioni delle variabili del fattore in ordine decrescente (in valore assoluto), fermandosi al livello prescelto.

  3. Si scrive accanto ad ogni saturazione la denominazione della variabile corrispondente (o il testo dell’item).

  4. Tenendo presente il dominio di indagine, le teorie di riferimento ed eventuali risultati precedenti, si cerca di stabilire quale sia il tratto, caratteristica o aspetto che queste variabili abbiano in comune, in modo da poter in modo da poter “nominare” il fattore che definisce questo tratto comune. In questo processo interpretativo gli item con le saturazioni maggiori contribuiscono in misura maggiore alla definizione del carattere comune del fattore e, viceversa, ciò che è stato individuato come tratto comune delle variabili deve comparire in maggior grado nelle variabili più sature.

  5. Il segno negativo di una saturazione indica solamente un’opposizione rispetto alle saturazioni positive. Il tratto comune alle variabili dovrebbe essere pensato come un continuum che passa dalla sua massima presenza al suo opposto. Per procedere all’interpretazione conviene iniziare dalle variabili il cui segno è più frequente e considerarle come se fossero positive; di conseguenza, le altre (siano esse di segno positivo o negativo) devono essere considerate di segno opposto.

  6. Nel caso in cui non si riesca a riscontrare nessun tratto comune alle variabili del fattore, si dovrà concludere che il fattore non è interpretabile e che le variabili sono state tra loro associate per un errore attribuibile o al campione o alla misurazione delle variabili stesse. Normalmente i “primi” fattori estratti sono facilmente interpretabili mentre gli “ultimi”, soprattutto se ne sono stati estratti molti o se la matrice delle correlazioni iniziale fra le variabili contiene molti valori bassi, sono spesso difficilmente interpretabili o saturi di una sola variabile e quindi fattori specifici di quella variabile. In linea di massima se i fattori non interpretabili sono molti è meglio non considerare affatto i risultati dell’analisi fattoriale.

17.0.1 Esempio di interpretazione

Il WISC-III (Wechsler Intelligence Scale For Children - III) valuta l’abilità intellettiva di soggetti dai 6 ai 16 anni e 11 mesi. I subtest sono stati selezionati per valutare diverse abilità mentali, che tutte insieme indicano l’abilità intellettiva generale del bambino. Alcuni gli richiedono un ragionamento astratto, altri si focalizzano sulla memoria, altri ancora richiedono certe abilità percettive e così via.

Si consideri la matrice di correlazione tra i subtest della scala WISC-III riportata dal manuale.

lower <- "
1
.66      1
.57 .55      1
.70 .69 .54       1
.56 .59 .47 .64      1
.34 .34 .43 .35 .29      1
.47 .45 .39 .45 .38 .25      1
.21 .20 .27 .26 .25 .23 .18      1
.40 .39 .35 .40 .35 .20 .37 .28      1
.48 .49 .52 .46 .40 .32 .52 .27 .41      1
.41 .42 .39 .41 .34 .26 .49 .24 .37 .61      1
.35 .35 .41 .35 .34 .28 .33 .53 .36 .45 .38      1
.18 .18 .22 .17 .17 .14 .24 .15 .23 .31 .29 .24     1
"
wisc_III_cov <- getCov(
  lower,
  names = c(
    "INFO", "SIM", "ARITH", "VOC", "COMP", "DIGIT", "PICTCOM",
    "CODING", "PICTARG", "BLOCK", "OBJECT", "SYMBOL", "MAZES"
  )
)

Eseguiamo l’analisi fattoriale con il metodo delle componenti principali e una rotazione Varimax:

f_pc <- psych::principal(wisc_III_cov, nfactors = 3, rotate = "varimax")
f_pc
#> Principal Components Analysis
#> Call: psych::principal(r = wisc_III_cov, nfactors = 3, rotate = "varimax")
#> Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
#>           RC1  RC3  RC2   h2   u2 com
#> INFO     0.80 0.25 0.09 0.72 0.28 1.2
#> SIM      0.81 0.25 0.08 0.72 0.28 1.2
#> ARITH    0.65 0.26 0.28 0.57 0.43 1.7
#> VOC      0.83 0.19 0.13 0.75 0.25 1.2
#> COMP     0.75 0.14 0.16 0.60 0.40 1.2
#> DIGIT    0.45 0.06 0.36 0.34 0.66 2.0
#> PICTCOM  0.43 0.61 0.02 0.56 0.44 1.8
#> CODING   0.10 0.09 0.88 0.79 0.21 1.0
#> PICTARG  0.34 0.45 0.27 0.39 0.61 2.6
#> BLOCK    0.41 0.66 0.22 0.66 0.34 1.9
#> OBJECT   0.31 0.71 0.14 0.62 0.38 1.5
#> SYMBOL   0.23 0.32 0.74 0.70 0.30 1.6
#> MAZES   -0.06 0.71 0.11 0.51 0.49 1.1
#> 
#>                        RC1  RC3  RC2
#> SS loadings           3.80 2.37 1.74
#> Proportion Var        0.29 0.18 0.13
#> Cumulative Var        0.29 0.47 0.61
#> Proportion Explained  0.48 0.30 0.22
#> Cumulative Proportion 0.48 0.78 1.00
#> 
#> Mean item complexity =  1.5
#> Test of the hypothesis that 3 components are sufficient.
#> 
#> The root mean square of the residuals (RMSR) is  0.07 
#> 
#> Fit based upon off diagonal values = 0.97

Si noti che i primi cinque subtest possiedono saturazioni maggiori di \(0.6\) sul primo fattore. Dato che questi test sono tutti presentati verbalmente e richiedono delle risposte verbali, tale fattore può essere denominato Comprensione Verbale.

I subtest “Cifrario” e “Ricerca di simboli” saturano sul secondo fattore. Entrambi i subtest misurano la velocità dei processi di codifica o ricerca. Questo fattore, dunque, può essere denominato Velocità di elaborazione.

Infine, i subtest “Completamento di figure,” “Disegno con i cubi,” “Riordinamento di storie figurate” e “Labirinti” saturano sul terzo fattore. Tutti questi test condividono una componente geometrica o configurazionale: misurano infatti le abilità necessarie per la manipolazione o la disposizione di immagini, oggetti, blocchi. Questo fattore, dunque, può essere denominato Organizzazione percettiva.

Nel caso di una rotazione ortogonale, la comunalità di ciascuna sottoscala è uguale alla somma dei coefficienti di impatto al quadrato della sottoscala nei fattori. Per le 13 sottoscale del WISC-III abbiamo dunque

h2 <- rep(0, 13)
for (i in 1:13) {
  h2[i] <- sum(f_pc$loadings[i, ]^2)
}
round(h2, 2)
#>  [1] 0.72 0.72 0.57 0.75 0.60 0.34 0.56 0.79 0.39 0.66 0.62 0.70 0.51

Questi risultati replicano quelli riportati nel manuale del test WISC-III.