11.3 Intervallo di confidenza per il punteggio vero
Siamo ora finalmente nelle condizioni di potere calcolare l’intervallo di confidenza per il punteggio vero. Conoscendo l’errore standard della stima \(\sigma_{\hat{T}}\), l’intervallo di confidenza per il punteggio vero è dato da:
\[ \hat{T} \pm z \sigma_{\hat{T}}, \]
laddove \(\hat{T}\) è la stima del punteggio vero e \(z\) è il quantile della normale standardizzata al livello di probabilità desiderato. Se il campione è piccolo (minore di 30) è opportuno usare \(t\) anziché \(z\).
11.3.1 Interpretazione
Notiamo che l’intervallo \(\hat{T} \pm z \sigma_{\hat{T}}\) è centrato sulla stima puntuale del valore vero e la sua ampiezza dipende sia dal livello di confidenza desiderato (rappresentato dal quantile \(z_{\frac{\alpha}{2}}\)), sia dal grado di precisione dello stimatore, misurato dall’errore standard della stima, \(\sigma_{\hat{T}} = \sigma_X \sqrt{\rho_{XX^\prime} (1 -\rho_{XX^\prime})}\). È importante notare che l’errore standard della stima diventa sempre più grande man mano che diminuisce l’attendibilità \(\rho_{XX^\prime}\) del test.
L’intervallo di confidenza indica quanto l’imprecisione della misura influisce sull’interpretazione dei dati. Più l’intervallo di confidenza è ampio, maggiore è l’incertezza nella valutazione dei risultati.
Esercizio 11.2 Charter (1996) ha esaminato l’effetto della variazione dell’attendibilità del test sull’ampiezza dell’intervallo di confidenza per il punteggio vero. Utilizzando come esempio i punteggi di QI (\(\mu\) = 100, \(\sigma\) = 15), Charter ha immaginato di variare il coefficiente di attendibilità del test utilizzato per la misurazione del QI. I valori presi in considerazione sono 0.55, 0.65, 0.75, 0.85 e 0.95. Ad esempio, supponiamo di avere un punteggio osservato pari a QI = 120 e un coefficiente di attendibilità del test \(\rho_{xx^\prime}\) pari a 0.65. In tali circostanze, la stima del punteggio vero è pari a
\[ \begin{equation} \begin{aligned} \hat{T} &= \bar{X} + r_{XX^\prime} (X - \bar{X}) \notag\\ &= 100 + 0.65 (120 - 100)\notag\\ &= 113.\notag \end{aligned} \end{equation} \]
L’errore standard della stima è uguale a
\[ \begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{\hat{T}} &= \sigma_{X} \sqrt{r_{XX^\prime} (1 - r_{XX^\prime})} \notag\\ &= 15 \sqrt{0.65 (1 - 0.65)}\notag\\ &= 7.15.\notag \end{aligned} \end{equation} \]
L’intervallo di confidenza al 95% per la stima del punteggio vero diventa pertanto uguale a
\[ 113 \pm 1.96 \cdot 7.15 = [98.98, 127.02]. \]
Si noti che si può calcolare l’errore standard della stima con la funzione SE.Est() del pacchetto psychometric.
Inoltre, la funzione CI.tscore() restituisce sia la stima del punteggio vero sia l’intervallo di fiducia al livello desiderato di significatività.