28.4 Bontà dell’adattamento

28.4.1 Chi quadrato

L’indice classico di bontà dell’adattamento dei modelli CFA è il \(\chi^2\). Sotto determinate condizioni, la funzione di discrepanza \(F_{k}(\boldsymbol{\Sigma}, \boldsymbol{S})\) moltiplicata per \(n\) o \(n-1\) (a seconda dei software)

\[ n F_{k}(\Lambda, \Psi) \quad \text{oppure}\quad (n-1) F_{k}(\Lambda, \Psi) \]

con \(n\) uguale alla numerosità campionaria, si distribuisce come una \(\chi^2\) con gradi di libertà pari a

\[\begin{equation} \mbox{df} = \frac{p (p+1)}{2}-t, \tag{28.1} \end{equation}\]

dove \(p\) è il numero di item (variabili osservate) e \(t\) è il numero di parametri da stimare.

Sebbene l’indice \(\chi^2\) sia stato il primo indice di adattamento ad essere sviluppato, esso è raramente usato nella ricerca applicata quale unico indice di adattamento del modello. Infatti,

• in molti casi (es. \(n\) piccolo, oppure dati non normali) la distribuzione sottostante non è \(\chi^2\) (il che compromette i test di significatività statistica del modello basati su \(\chi^2\));
• \(\chi^2\) dipende fortemente dalla dimensione del campione; soluzioni fattoriali per grandi campioni vengono regolarmente rifiutate sulla base di \(\chi^2\) anche quando le differenze tra \(\boldsymbol{\Sigma}\) e \(\boldsymbol{S}\) sono trascurabili;
• \(\chi^2\) si basa sull’ipotesi molto stringente \(\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{S}\). Come discusso di seguito, molti indici di adattamento alternativi si basano su standard meno stringenti come l’adattamento “ragionevole” e l’adattamento relativo a un modello di indipendenza.

Nonostante questi limiti, la statistica \(\chi^2\) viene comunque utilizzata per altri scopi, come il confronto di modelli nidificati, il calcolo di altri indici di adattamento (ad es. l’indice di Tucker–Lewis) e il calcolo del rapporto tra \(\chi^2\) e gradi di libertà.

Sebbene la statistica \(\chi^2\) sia riportata di routine nell’output dei software che svolgono la CFA, nella valutazione dell’adattamento del modello si fa solitamente affidamento su altri indici di adattamento. Tali indici possono essere suddivisi in tre categorie:

• misure di adeguamento per il confronto – permettono di confrontare fra loro due o più modelli al fine di potere scegliere il modello (statisticamente) migliore;
• misure di adeguamento parsimonioso – indici “aggiustati” in base ai gradi di libertà.
• misure di adeguamento assoluto – indicano l’abilità del modello di riprodurre i dati osservati;