9.8 Misurazioni parallele e affidabilità
L’equazione \(\rho_{XT}^2 = \frac{\sigma_{T}^2}{\sigma_X^2}\) definisce il coefficiente di attendibilità ma non ci fornisce gli strumenti per calcolarlo in pratica, dato che la varianza del punteggio vero \(\sigma_{T}^2\) è una quantità incognita. Il metodo utilizzato dalla CTT per ottenere una stima empirica dell’attendibilità è quello delle forme parallele del test: se è possibile elaborare versioni alternative dello stesso test che risultino equivalenti tra loro in termini di contenuto, modalità di risposta e caratteristiche statistiche, allora diventa anche possibile stimare il coefficiente di attendibilità.
Secondo la CTT, due test \(X=T+E\) e \(X^\prime=T^\prime+E^\prime\) si dicono misurazioni parallele della stessa abilità latente se
- \(T = T^\prime\),
- \(\mathbb{V}(E) = \mathbb{V}(E^\prime)\).
Da tali assunzioni segue che \(\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X^\prime)\).
Dimostrazione. Dato che \(\mathbb{E}(X) = T\) e che \(\mathbb{E}(X^\prime) = T\), è immediato vedere che \(\mathbb{E}(X) =\mathbb{E}(X^\prime)\) in quanto \(\mathbb{E}(E) = \mathbb{E}(E^\prime) = 0\).
In maniera corrispondente, anche le varianze dei punteggi osservati di due misurazioni parallele devono essere uguali, \(\mathbb{V}(X) = \mathbb{V}(X^\prime)\).
Dimostrazione. Per \(X\) abbiamo che \(\mathbb{V}(X) = \mathbb{V}(T + E) = \mathbb{V}(T) + \mathbb{V}(E)\); per \(X^\prime\) abbiamo che \(\mathbb{V}(X^\prime) = \mathbb{V}(T^\prime + E^\prime) = \mathbb{V}(T^\prime) + \mathbb{V}(E^\prime)\). Dato che \(\mathbb{V}(E) = \mathbb{V}(E^\prime)\) e che \(T = T^\prime\), ne segue che \(\mathbb{V}(X) = \mathbb{V}(X^\prime)\).
Per costruzione, inoltre, gli errori \(E\) e \(E^\prime\) devono essere incorrelati con \(T\) e tra loro.
9.8.1 La correlazione tra due forme parallele del test
Dimostriamo ora che, in base alle assunzioni della CTT, la correlazione tra due forme parallele del test è uguale al rapporto tra la varianza del punteggio vero e la varianza del punteggio osservato.
Dimostrazione. Assumendo, senza perdita di generalità, che \(\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X')=\mathbb{E}(T)=0\), possiamo scrivere
\[\begin{equation} \begin{aligned} \rho_{X X^\prime} &= \frac{\sigma(X, X^\prime)}{\sigma(X) \sigma(X^\prime)}\notag\\ &= \frac{\mathbb{E}(XX^\prime)}{\sigma(X) \sigma(X^\prime)}\notag\\ &=\frac{\mathbb{E}[(T+E)(T+E^\prime)]}{\sigma(X) \sigma(X^\prime)}\notag\\ &=\frac{\mathbb{E}(T^2)+\mathbb{E}(TE^\prime)+\mathbb{E}(TE)+ \mathbb{E}(EE^\prime)}{\sigma(X) \sigma(X^\prime)}.\notag \end{aligned} \end{equation}\]
Ma \(\mathbb{E}(TE) = \mathbb{E}(TE^\prime) = \mathbb{E}(EE^\prime)=0\). Inoltre, \(\sigma(X) =\sigma(X^\prime)= \sigma_X\). Dunque,
\[\begin{equation} \rho_{X X^\prime} =\frac{\mathbb{E}(T^2)}{\sigma_X \sigma_X} = \frac{\sigma^2_T}{\sigma^2_X}. \tag{9.9} \end{equation}\]
Si noti come la (9.9) e l’equazione che definisce il coefficiente di attendibilità, ovvero \(\rho_{XT}^2 = \frac{\sigma_{T}^2}{\sigma_X^2}\), riportano tutte e due la stessa quantità a destra dell’uguale. Otteniamo così un importante risultato: il coefficiente di attendibilità, ovvero il quadrato del coefficiente di correlazione tra il punteggio osservato e il punteggio vero, è uguale alla correlazione tra il valore osservato di due misurazioni parallele:
\[\begin{equation} \rho^2_{XT} = \rho_{XX^\prime}. \tag{9.10} \end{equation}\]
Tale risultato è importante perché consente di esprimere la quantità inosservabile \(\rho^2_{XT}\) nei termini della quantità \(\rho_{XX^\prime}\) che può essere calcolata sulla base dei punteggi osservati di due forme parallele del test. Quindi, la stima di \(\rho^2_{XT}\) si riduce alla stima di \(\rho^2_{XX^\prime}\). Per questa ragione, la (9.10) è forse la formula più importante della CTT. Inoltre, è importante notare che l’eq. (9.10) fornisce la giustificazione per l’utilizzo della correlazione split-half come misura di attendibilità.
9.8.2 La correlazione tra punteggio osservato e punteggio vero
Consideriamo ora la correlazione tra punteggio osservato e punteggio vero. La (9.10) si può scrivere come
\[ \rho_{XT} = \sqrt{\rho_{XX^\prime}}. \]
In altri termini: la radice quadrata del coefficiente di attendibilità è uguale alla correlazione tra il punteggio osservato e il punteggio vero.
9.8.3 I fattori che influenzano l’attendibilità
Considerando le tre equazioni
\[ \rho^2_{XT} = \rho_{XX'},\quad \rho_{XT}^2 = \frac{\sigma_{T}^2}{\sigma_X^2}, \quad \rho_{XT}^2 = 1-\frac{\sigma_{E}^2}{\sigma_X^2}, \]
possiamo dire che ci sono tre modi equivalenti per concludere che l’attendibilità di un test è alta. La attendibilità di un test è considerata alta se si verificano le seguenti condizioni:
-La correlazione tra le forme parallele del test è alta. - La varianza del punteggio vero è grande rispetto alla varianza del punteggio osservato. - La varianza dell’errore di misura è piccola rispetto alla varianza del punteggio osservato.
Queste considerazioni sono importanti per la progettazione di un test. In particolare, l’equazione \(\rho^2_{XT} = \rho_{XX'}\) fornisce un criterio per la selezione degli item da includere nel test. Se interpretiamo \(\rho_{XX'}\) come la correlazione tra due item, allora gli item che hanno la correlazione più alta tra di loro dovrebbero essere inclusi nel test. In questo modo, l’attendibilità del test aumenta perché gli item inclusi sono maggiormente correlati con il punteggio vero.