23.1 Motivazione

Lo scopo dell’analisi fattoriale è quello di descrivere in maniera parsimoniosa le relazioni che intercorrono tra un grande numero di item. Ci si chiede se è possibile identificare un piccolo numero di variabili latenti che, quando vengono controllate, rendono uguali a zero le correlazioni parziali tra gli item. Abbiamo visto nel capitolo precedente come sia possibile determinare il numero dei fattori comuni. Chiediamoci ora come sia possibile stimare le saturazioni fattoriali che corrispondono alle correlazioni (o covarianze) tra gli item e i fattori.

In termini matriciali, il modello multifattoriale si scrive

\[ \boldsymbol{\Sigma} =\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{\Phi} \boldsymbol{\Lambda}^{\mathsf{T}} + \boldsymbol{\Psi} \]

dove \(\boldsymbol{\Phi}\) è la matrice di ordine \(m \times m\) di varianze e covarianze tra i fattori comuni e \(\boldsymbol{\Psi}\) è una matrice diagonale di ordine \(p\) con le unicità delle variabili. Poniamoci ora il problema di stimare \(\boldsymbol{\Lambda}\).