19.2 Modello fattoriale e CTT

Sia $X_1, X_2, \dots, X_p$, con $p>2$, un insieme di item osservati. I punteggi ottenuti su tali item sono costituiti da una componente di punteggio vero e da una componente d’errore:

$$\begin{equation} \begin{aligned} X_1 &=T_1+E_1,\notag\\ X_2 &=T_2+E_2,\notag\\ &\dots\notag\\ X_p &=T_p+E_p.\notag \end{aligned} \end{equation}$$

Seguendo McDonald (1999), tale scomposizione in una componente vera e in una componente d’errore può essere espressa nei termini dei parametri del modello fattoriale. L’espressione $X_i = T_i + E_i$ può infatti essere riscritta come

$$X_i = \lambda_i \xi + \delta_i, \quad{i=1, \dots, p},$$

dove $X_i$ denota il punteggio osservato per l’item $i$-esimo, $\lambda_i$ è il peso fattoriale $i$-esimo, $\xi$ è il fattore comune e $\delta_i$ è la componente erratica del punteggio osservato $i$-esimo. Valgono le assunzioni del modello monofattoriale. Ovvero, si assume che $\xi$ e $\delta_i$ siano incorrelati per ciascun item $i$-esimo e che $\delta_i$ e $\delta_k$ siano incorrelati per ciascuna coppia $i \neq k$.