19.2 Modello fattoriale e CTT

Sia \(X_1, X_2, \dots, X_p\), con \(p>2\), un insieme di item osservati. I punteggi ottenuti su tali item sono costituiti da una componente di punteggio vero e da una componente d’errore:

\[\begin{equation} \begin{aligned} X_1 &=T_1+E_1,\notag\\ X_2 &=T_2+E_2,\notag\\ &\dots\notag\\ X_p &=T_p+E_p.\notag \end{aligned} \end{equation}\]

Seguendo McDonald (1999), tale scomposizione in una componente vera e in una componente d’errore può essere espressa nei termini dei parametri del modello fattoriale. L’espressione \(X_i = T_i + E_i\) può infatti essere riscritta come

\[ X_i = \lambda_i \xi + \delta_i, \quad{i=1, \dots, p}, \]

dove \(X_i\) denota il punteggio osservato per l’item \(i\)-esimo, \(\lambda_i\) è il peso fattoriale \(i\)-esimo, \(\xi\) è il fattore comune e \(\delta_i\) è la componente erratica del punteggio osservato \(i\)-esimo. Valgono le assunzioni del modello monofattoriale. Ovvero, si assume che \(\xi\) e \(\delta_i\) siano incorrelati per ciascun item \(i\)-esimo e che \(\delta_i\) e \(\delta_k\) siano incorrelati per ciascuna coppia \(i \neq k\).