15.3 Espressione fattoriale della varianza
Nell’ipotesi che le variabili \(Y_i\) abbiano media nulla, la varianza di \(Y_i\)
\[\begin{equation} \mathbb{V}(Y_i) = \mathbb{E}(Y_i^2) -[\mathbb{E}(Y_i)]^2 = \mathbb{E}(Y_i^2)\notag \end{equation}\]
è data da
\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(Y_i) &= \mathbb{E}[(\lambda_i \xi + \delta_i)^2 ]\notag\\ &=\lambda_i^2 \underbrace{\mathbb{E}(\xi^2) }_{\mathbb{V}(\xi)=1} + \underbrace{\mathbb{E}(\delta_i^2) }_{\mathbb{V}(\delta_i)=\psi_{i}} + 2\lambda_i \underbrace{\mathbb{E}(\xi \delta_i) }_{\mbox{Cov}(\xi, \delta_{i})=0}\notag\\ &=\lambda^2_i + \psi_{i}. \end{aligned} \end{equation}\]
La quantità \(\lambda^2_i\) è denominata comunalità della \(i\)-esima variabile manifesta e corrisponde alla quota della varianza della \(Y_i\) spiegata dal fattore comune. Di conseguenza \(\psi_{i}\) è la parte residua della varianza di \(Y_i\) non spiegata dal fattore comune ed è denominata unicità di \(Y_i\). Nel caso di variabili standardizzate, l’unicità diventa uguale a
\[ \psi_{i}=1-\lambda^2_i. \]
In definitiva, la varianza totale di una variabile osservata può essere divisa in una quota che ciascuna variabile condivide con le altre variabili ed è spiegata dal fattore comune (questa quota è chiamata comunalità ed è uguale uguale al quadrato della saturazione della variabile osservata nel fattore comune, ovvero \(h^2_i = \lambda_i^2\)), e in una quota che è spiegata dal fattore specifico (questa parte è chiamata unicità ed è uguale a \(u_i = \psi_{i}\)).
Esercizio 15.1 Riprendiamo l’analisi della matrice di correlazioni di Spearman.
Nell’output prodotto dalla funzione factanal() viene riportata la
quantità denominata SS loadings.
Tale quantità indica la porzione della varianza totale delle 4 variabili manifeste che viene spiegata dal fattore comune. Ciascuna variabile standardizzata contribuisce con un’unità di varianza; nel caso presente, dunque la varianza totale è uguale a 4. Si ricordi che, nella statistica multivariata, per varianza totale si intende la somma delle varianze delle variabili manifeste (nel linguaggio dell’algebra matriciale questa quantità corrisponde alla traccia della matrice di covarianze). La quota della varianza totale spiegata dal modello, invece, è data dalla somma delle comunalità delle quattro variabili, ovvero dalla somma delle saturazioni fattoriali innalzate al quadrato.
Spearman <- matrix(
c(
1.0, .78, .70, .66,
.78, 1.0, .64, .54,
.70, .64, 1.0, .45,
.66, .54, .45, 1.0
),
byrow = TRUE, ncol = 4
)
rownames(Spearman) <- c("C", "E", "M", "P")
colnames(Spearman) <- c("C", "E", "M", "P")
Spearman
#> C E M P
#> C 1.00 0.78 0.70 0.66
#> E 0.78 1.00 0.64 0.54
#> M 0.70 0.64 1.00 0.45
#> P 0.66 0.54 0.45 1.00Eseguiamo l’analisi fattoriale:
fm <- factanal(covmat = Spearman, factors = 1)
fm
#>
#> Call:
#> factanal(factors = 1, covmat = Spearman)
#>
#> Uniquenesses:
#> C E M P
#> 0.086 0.329 0.460 0.539
#>
#> Loadings:
#> Factor1
#> C 0.956
#> E 0.819
#> M 0.735
#> P 0.679
#>
#> Factor1
#> SS loadings 2.587
#> Proportion Var 0.647
#>
#> The degrees of freedom for the model is 2 and the fit was 0.023Le saturazioni fattoriali sono:
L <- c(fm$load[1], fm$load[2], fm$load[3], fm$load[4])
L
#> [1] 0.9562592 0.8193902 0.7350316 0.6790212Facendo il prodotto interno otteniamo:
In termini proporzionali, la quota della varianza totale delle variabile manifeste che viene spiegata dal modello ad un fattore comune è dunque uguale a \(2.587 / 4 = 0.647\). Questa quantità è indicata nell’output con la denominazione Proportion Var.
Si dice unicità (uniqueness) la quota della varianza della variabile considerata che non viene spiegata dalla soluzione fattoriale:
La comunalità (ovvero, la quota di varianza di ciascuna variabile manifesta che viene spiegata dal fattore comune) può essere trovata come:
oppure con