15.6 Bontà di adattamento del modello ai dati

La verifica della bontà di adattamento del modello ai dati si determina mediante un test statistico che valuta la differenza tra la matrice di correlazioni (o di covarianze) osservata e la matrice di correlazioni (o covarianze) predetta dal modello fattoriale. L’ipotesi nulla che viene valutata è che la matrice delle correlazioni residue sia dovuta semplicemente agli errori di campionamento, ovvero che la matrice di correlazioni predetta dal modello \(\boldsymbol{\Sigma}(\theta)\) sia uguale alla matrice di correlazioni \(\boldsymbol{\Sigma}\) nella popolazione.

La statistica test \(v\) è una funzione della differenza tra la matrice riprodotta \(\boldsymbol{S}(\theta)\) e quella osservata \(\boldsymbol{S}\)

\[ v = f\left[\boldsymbol{S}(\theta) - \boldsymbol{S}\right] \]

e si distribuisce come una \(\chi^2\) con \(\nu\) gradi di libertà

\[ \nu = p(p+1)/ 2 - q, \]

dove \(p\) è il numero di variabili manifeste e \(q\) è il numero di parametri stimati dal modello fattoriale (ovvero, \(\lambda\) e \(\psi\)).

La statistica \(v\) assume valore 0 se i parametri del modello riproducono esattamente la matrice di correlazioni tra le variabili nella popolazione. Tanto maggiore è la statistica \(v\) tanto maggiore è la discrepanza tra le correlazioni osservate e quelle predette dal modello fattoriale.

Un risultato statisticamente significativo (es., \(p\) < .05) – il quale suggerisce che una tale differenza non è uguale a zero – rivela dunque una discrepanza tra il modello e i dati. Il test del modello fattoriale mediante la statistica \(\chi^2\) segue dunque una logica diversa da quella utilizzata nei normali test di ipotesi statistiche: un risultato statisticamente significativo indica una mancanza di adattamento del modello ai dati.

L’applicazione del test \(\chi^2\) per valutare la bontà di adattamento del modello ai dati richiede che ciascuna variabile manifesta sia distribuita normalmente – più precisamente, richiede che le variabili manifeste siano un campione casuale che deriva da una normale multivariata. Questo requisito non è facile da rispettare in pratica.

Tuttavia, il limite principale della statistica \(\chi^2\) è che essa dipende fortemente dalle dimensioni del campione: al crescere delle dimensioni campionarie è più facile ottenere un risultato statisticamente significativo (ovvero, concludere che vi è un cattivo adattamento del modello ai dati). Per questa ragione, la bontà di adattamento del modello ai dati viene valutata da molteplici indici, non soltanto dalla statistica \(\chi^2\). Più comune è calcolare il rapporto \(\chi^2 / \nu\) e usare tale rapporto per valutare la bontà dell’adattamento. Valori minori di 3 o 4 suggeriscono che il modello ben si adatta ai dati.