25.1 Indeterminatezza della soluzione fattoriale

Il problema della rotazione si pone perché la matrice delle saturazioni non presenta un’unica soluzione e, attraverso la sua trasformazione matematica, si possono ottenere infinite matrici dello stesso ordine. Tale fatto va sotto il nome di indeterminatezza della soluzione fattoriale.

La matrice delle saturazioni fattoriali \(\boldsymbol{\Lambda}\) non risulta univocamente definita in quanto non esiste una soluzione unica alla determinazione delle saturazioni fattoriali. Una matrice di correlazioni \(\boldsymbol{R}\) consente di determinare soluzioni fattoriali diverse, ovvero matrici aventi lo stesso numero di fattori comuni ma una diversa configurazione di saturazioni fattoriali, oppure matrici di saturazioni fattoriali corrispondenti ad un diverso numero di fattori comuni.

Siano \(\boldsymbol{\Lambda}_1\) e \(\boldsymbol{\Lambda}_2\) due matrici aventi lo stesso numero di righe e colonne, ma contenenti saturazioni fattoriali diverse. \(\boldsymbol{\Lambda}_1\) è definita dai valori seguenti

l1 <- matrix(
  c(
    0.766,  -0.232,
    0.670,  -0.203,
    0.574,  -0.174,
    0.454,   0.533,
    0.389,   0.457,
    0.324,   0.381
  ),
  byrow = TRUE, ncol = 2
)

mentre per \(\boldsymbol{\Lambda}_2\) abbiamo

l2 <- matrix(
  c(
    0.783,  0.163,
    0.685,  0.143,
    0.587,  0.123,
    0.143,  0.685,
    0.123,  0.587,
    0.102,  0.489
  ),
  byrow = TRUE, ncol = 2
)

Esaminiamo la matrice delle correlazioni riprodotte dalle due matrici di pesi fattoriali (con le comunalità sulla diagonale di \(\boldsymbol{R}\)):

l1 %*% t(l1)
#>          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]
#> [1,] 0.640580 0.560316 0.480052 0.224108 0.191950 0.159792
#> [2,] 0.560316 0.490109 0.419902 0.195981 0.167859 0.139737
#> [3,] 0.480052 0.419902 0.359752 0.167854 0.143768 0.119682
#> [4,] 0.224108 0.195981 0.167854 0.490205 0.420187 0.350169
#> [5,] 0.191950 0.167859 0.143768 0.420187 0.360170 0.300153
#> [6,] 0.159792 0.139737 0.119682 0.350169 0.300153 0.250137
l2 %*% t(l2)
#>          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]
#> [1,] 0.639658 0.559664 0.479670 0.223624 0.191990 0.159573
#> [2,] 0.559664 0.489674 0.419684 0.195910 0.168196 0.139797
#> [3,] 0.479670 0.419684 0.359698 0.168196 0.144402 0.120021
#> [4,] 0.223624 0.195910 0.168196 0.489674 0.419684 0.349551
#> [5,] 0.191990 0.168196 0.144402 0.419684 0.359698 0.299589
#> [6,] 0.159573 0.139797 0.120021 0.349551 0.299589 0.249525

Come si vede, viene ottenuto lo stesso risultato utilizzando matrici \(\boldsymbol{\Lambda}\) con lo stesso numero \(m\) di colonne ma saturazioni fattoriali diverse.

Si consideri ora il caso di matrici \(\boldsymbol{\Lambda}\) corrispondenti a soluzioni fattoriali con un diverso numero di fattori comuni. Siano \(\boldsymbol{\Lambda}_1\) e \(\boldsymbol{\Lambda}_2\) due matrici aventi lo stesso numero di righe ma un numero diverso di colonne:

l1 <- matrix(
  c(
    0.9,
    0.7,
    0.5,
    0.3
  ),
  byrow = TRUE, ncol = 1
)

l2 <- matrix(
  c(
    0.78, 0.45,
    0.61, 0.35,
    0.43, 0.25,
    0.25, 0.15
  ),
  byrow = TRUE, ncol = 2
)

Si noti che la stessa matrice di correlazioni riprodotte (con le comunalità sulla diagonale principale) viene generata dalle saturazioni fattoriali corrispondenti ad un numero diverso di fattori comuni:

l1 %*% t(l1)
#>      [,1] [,2] [,3] [,4]
#> [1,] 0.81 0.63 0.45 0.27
#> [2,] 0.63 0.49 0.35 0.21
#> [3,] 0.45 0.35 0.25 0.15
#> [4,] 0.27 0.21 0.15 0.09

l2 %*% t(l2)
#>        [,1]   [,2]   [,3]   [,4]
#> [1,] 0.8109 0.6333 0.4479 0.2625
#> [2,] 0.6333 0.4946 0.3498 0.2050
#> [3,] 0.4479 0.3498 0.2474 0.1450
#> [4,] 0.2625 0.2050 0.1450 0.0850