19.8 Attenuazione

Un altro tema importante associato alla discussione sulla struttura fattoriale e l’attenibilità è quello dell’attenuazione. All’aumentare dell’errore di misurazione, la correlazione tra due variabili tende a diminuire. L’errore di misurazione, dunque, “maschera” l’associazione esistente tra le variabili. Tale fenomeno va sotto il nome di attenuazione.

Lord e Novick (1967) notano che, volendo determinare la relazione esistente tra due costrutti, uno psicologo può costruire opportune scale per misurarli. Se la relazione tra queste scale è lineare, allora il grado di associazione tra le scale può essere misurato dal coefficiente di correlazione. Le scale, però, contengono una componente di errore e, quindi, la correlazione empirica tra le due scale assume un valore minore della “reale” correlazione tra i costrutti. In tali circostanze, possono essere usate opportune formule per stimare il valore della correlazione disattenuata tra i tratti latenti.

Si può dimostrare che la correlazione tra i punteggi veri di due costrutti, \(T_y\) e \(T_y\), può essere espressa nei termini della correlazione \(\rho_{XY}\) tra i punteggi osservati \(X\) e \(Y\), e nei termini dei coefficienti di attenibilità \(\rho_{XX^\prime}\), \(\rho_{YY^\prime}\) dei due test:

\[\begin{equation} \rho(T_X, T_Y) = \frac{\rho_{XY}}{\sqrt{\rho_{XX^\prime} \rho_{YY^\prime}}} \tag{19.16} \end{equation}\]

Inoltre, può essere dimostrato che la correlazione tra i punteggi di un test e i punteggi veri di un secondo test può essere espressa nei termini delle correlazioni tra i punteggi osservati dei due test e del coefficiente di attendibilità del secondo test:

\[\begin{equation} \rho(X, T_Y) = \frac{\rho_{XY}}{\sqrt{\rho_{YY^\prime}}}. \tag{19.17} \end{equation}\]

19.8.1 Correlazioni disattenuate

Le (19.16) e (19.17) consentono di calcolare le cosiddette correlazioni disattenuate. L’idea è che le correlazioni tra i punteggi veri di due test sono sottostimate dalle correlazioni tra i punteggi osservati dei test, a causa dell’errore di misura. Se le attendibilità dei test sono conosciute, le (19.16) e (19.17) possono essere usate per stimare le correlazioni tra i corrispondenti punteggi veri. La teoria dell’attenuazione costituisce un’ulteriore applicazione del coefficiente di attendibilità nell’ambito della teoria classica dei test.

Le correlazioni disattenuate sono state usate già a partire dal 1904 da Spearman. Nell’esempio di Spearman, \(X\) era una misura di discriminazione dell’altezza di un suono (pitch discrimination) e \(Y\) era una misura di intelligenza fornita da un insegnante. La correlazione tra queste due misure era \(\hat{\rho}_{XY}=0.38\). Le attendibilità delle due misure erano pari a, rispettivamente, \(\hat{\rho}_{XX'}= 0.25\) e \(\hat{\rho}_{YY'}= 0.55\). In base alla (19.17)

\[ \rho(X, T_Y) = \frac{\rho_{XY}}{\sqrt{\rho_{YY^\prime}}} \]

la correlazione predetta tra i valori veri di pitch discrimination e i valori empirici dell’intelligenza è

\[ \hat{\rho}(X, T_Y) =\frac{0.38}{\sqrt{0.25}}=0.76. \]

In base alla (19.16)

\[\rho(T_X, T_Y) = \frac{\rho_{XY}}{\sqrt{\rho_{XX'} \rho_{YY'}}}\]

la correlazione tra i valori veri di pitch discrimination e i valori veri dell’intelligenza è

\[\hat{\rho}(T_X, T_Y) =\frac{0.38}{\sqrt{0.25 \times 0.55}}=1.025.\]

Si noti come i limiti di questa procedura emergano già dall’esempio fornito da Spearman: le correlazioni disattenuate possono facilmente produrre una sovrastima.

Questa formula originò una controversia tra Charles Spearman e Karl Pearson. In un suo articolo del 1904 (lo stesso anno dei famosi articoli di Spearman), Pearson riportò diverse correlazioni nell’intorno di 0.5 che riguardavano la misurazione empirica di caratteristiche quali la vivacità e l’introspezione. Spearman criticò l’articolo di Pearson affermando che le osservazioni probabilmente contenevano un sostanziale errore di misurazione, il che determinava il fatto che fossero così basse. Le corrispondenti correlazioni disattenuate erano, secondo Spearman, probabilmente molto più alte. Tale critica venne del tutto ignorata da Pearson sulla base del fatto che la formula di Spearman poteva condurre a correlazioni maggiori di uno. Inoltre, Pearson non accettava i riferimenti a quantità inosservabili. Spearman, d’altra parte, eseguì diversi studi su variabili psicologiche alle quali applicò la sua formula per le correlazioni disattenuate. In molti casi, trovò che le correlazioni disattenuate erano vicine ad uno. Questo suggeriva che tali variabili psicologiche erano indicatori dello stesso fenomeno. Queste considerazioni spinsero Spearman a procedere in questa direzione, giungendo ad inventare l’analisi fattoriale così com’è riportata nell’articolo del 1904 “General intelligence”, objectively determined and measured.

McDonald (1999) afferma che le correlazioni disattenuate devono essere usate con cautela. Un metodo migliore per calcolare le correlazioni tra le variabili latenti (ovvero, le correlazioni non “inquinate” dagli errori di misura) è quello di costruire un modello di equazioni strutturali nel quale diverse ipotesi possono essere direttamente verificate, compresa quella della correlazione tra le variabili latenti.