24.1 Quota di varianza spiegata

Il primo criterio si applica soprattutto al metodo delle componenti principali. La proporzione della varianza capionaria spiegata dal fattore \(j\)-esimo estratto da S è uguale a

\[\sum_{i=i}^p \hat{\lambda}_{ij}^2 / tr(\textbf{S}).\]

Nel caso in cui i fattori vengano estratti da R avremo

\[\sum_{i=i}^p \hat{\lambda}_{ij}^2 / p.\]

Nel caso di fattori incorrelati, ciascun fattore contribuisce con una quota complessiva di varianza spiegata pari alla somma dei quadrati delle saturazioni fattoriali contenute nella matrice \(\hat{\boldsymbol{\Lambda}}\): \(\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^m\hat{\lambda}_{ij}^2\). Nel caso del metodo delle componenti principali, tale somma è anche uguale alla somma dei primi \(m\) autovalori, o alla somma di tutte le \(p\) comunalità:

\[\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^m\hat{\lambda}_{ij}^2= \sum_{i=1}^p \hat{h}_i^2 = \sum_{j=1}^m \theta_j\]

Sulla base di queste considerazioni, il numero \(m\) di fattori viene scelto in modo da spiegare una quota sufficientemente grande di S o \(p\).

Il numero dei fattori può essere determinato in questo modo anche nel caso in cui l’analisi fattoriale venga eseguita con il metodo dei fattori principali (ovvero, nel caso in cui vengano usate le stime delle comunalità per generare la matrice ridotta \(\textbf{S} - \hat{\boldsymbol{\Psi}}\) o \(\textbf{R} - \hat{\boldsymbol{\Psi}}\)). In questo caso, però, è possibile che alcuni autovalori della matrice \(\textbf{S} - \hat{\boldsymbol{\Psi}}\) o \(\textbf{R} - \hat{\boldsymbol{\Psi}}\) assumano valore negativo. In tali circostanze, è possibile che la proporzione cumulativa della varianza \(\sum_{j=1}^m \theta_j / \sum_{j=1}^p \theta_j\) assuma un valore maggiore di \(1.0\) per \(j < p\).

La proporzione cumulativa della varianza si riduce poi a \(1.0\) quando vengono considerati anche i successivi autovalori negativi. Di conseguenza, può succedere che, utilizzando la matrice \(\textbf{S} - \hat{\boldsymbol{\Psi}}\) o \(\textbf{R} - \hat{\boldsymbol{\Psi}}\), il criterio definito in base alla quota della varianza spiegata venga raggiunto per un valore \(m\) minore di quello che verrebbe trovato utilizzando la matrice S o R.

Nel caso del metodo dei fattori principali iterato, \(m\) viene specificato precedentemente a ciascuna iterazione e \(\sum_{i} \hat{h}^2_i\) viene ottenuto dopo ciascuna iterazione calcolando \(\text{tr}(\textbf{S} - \hat{\boldsymbol{\Psi}})\). Per scegliere \(m\), come per il metodo delle componenti principali, possono essere usati gli autovalori di S o R.