19.5 Varianza del punteggio totale di un test
Il punteggio totale Y di un test omogeneo è uguale alla somma dei punteggi Xi sui p item di cui è composto il test: Y=∑pi=1Xi. Poniamoci ora il problema di descrivere la varianza del punteggio totale del test nei termini dei parametri del modello uni-fattoriale. Nel caso di un modello congenerico ad un fattore comune, la varianza del punteggio totale Y del test può essere scomposta in due componenti: il quadrato della somma delle saturazioni fattoriali, corrispondentente alla varianza attribuibile al punteggio vero (ovvero la quota di varianza derivante dall’attributo di cui gli item sono indicatori) e la somma delle varianze specifiche dei p indicatori, corrispondente alla varianza degli errori della misura del punteggio totale del test, ovvero
V(Y)=(∑iλi)2+∑iψii
Dimostrazione. Per un modello congenerico, la varianza del punteggio totale Y è uguale a:
V(Y)=V[∑i(λiξ+δi)]=V[(λ1ξ+δ1)+(λ2ξ+δ2)+⋯+(λpξ+δp)]=V[(∑iλi)ξ+∑iδi]=(∑iλi)2V(ξ)⏟=1+∑iV(δi)=(∑iλi)2+∑iψii.