19.5 Varianza del punteggio totale di un test

Il punteggio totale \(Y\) di un test omogeneo è uguale alla somma dei punteggi \(X_i\) sui \(p\) item di cui è composto il test: \(Y = \sum_{i=1}^p X_i.\) Poniamoci ora il problema di descrivere la varianza del punteggio totale del test nei termini dei parametri del modello uni-fattoriale. Nel caso di un modello congenerico ad un fattore comune, la varianza del punteggio totale \(Y\) del test può essere scomposta in due componenti: il quadrato della somma delle saturazioni fattoriali, corrispondentente alla varianza attribuibile al punteggio vero (ovvero la quota di varianza derivante dall’attributo di cui gli item sono indicatori) e la somma delle varianze specifiche dei \(p\) indicatori, corrispondente alla varianza degli errori della misura del punteggio totale del test, ovvero

\[\begin{equation} \mathbb{V}(Y) = \left( \sum_i \lambda_i\right)^2 + \sum_i \psi_{ii} \tag{19.8} \end{equation}\]

Dimostrazione. Per un modello congenerico, la varianza del punteggio totale \(Y\) è uguale a:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(Y) &= \mathbb{V}\left[ \sum_i \left(\lambda_i \xi + \delta_i\right) \right]\notag\\ &= \mathbb{V}\left[ (\lambda_1 \xi + \delta_1) + (\lambda_2 \xi + \delta_2) + \dots + (\lambda_p \xi + \delta_p) \right]\notag\\ &= \mathbb{V}\left[ \left( \sum_i \lambda_i\right) \xi + \sum_i \delta_i\right]\notag\\ &= \left(\sum_i \lambda_i\right)^2 \underbrace{\mathbb{V}(\xi)}_{=1} + \sum_i \mathbb{V}(\delta_i)\notag\\ &= \left(\sum_i \lambda_i\right)^2 + \sum_i \psi_{ii}.\notag \end{aligned} \end{equation}\]