15.7 L’errore standard della misurazione e il modello fattoriale

Per concludere, prendiamo nuovamente in esame la nozione dell’errore standard della misurazione, uno dei concetti centrali della CTT, e vediamo come tale concetto possa essere “ripensato” in riferimento al modello statistico dell’analisi fattoriale. Iniziamo con una dimostrazione.

Dimostrazione. Secondo la CTT, il punteggio $X$ ottenuto dalla somministrazione del test è uguale a $X = T + E$, dove $E$ è una variabile aleatorie indipendente da $T$. Se consideriamo il rispondente $i$-esimo, il modello diventa $X_i = T_i + E_i$, dove $T_i$ è il valore vero ed $E_i$ è una variabile aleatoria con media 0.

Riscriviamo ora questa equazione nei termini di un modello monofattoriale con $p$ variabili manifeste (item). Per ciascun item avremo:

$$\begin{equation} \begin{aligned} Y_{1i} &= \lambda_1 \xi_i + \delta_{1i} \notag\\ Y_{2i} &= \lambda_2 \xi_i + \delta_{2i} \notag\\ \dots\notag\\ Y_{pi} &= \lambda_p \xi_i + \delta_{pi} \notag \end{aligned} \end{equation}$$

Il punteggio totale $X_i$ per il rispondente $i$-esimo è dato dalla somma dei punteggi osservati in ciascun item, ovvero

$$\begin{equation} \begin{aligned} X_i &= \sum_{j=1}^p Y_{ji} = \sum_{j=1}^p \lambda_j \xi_i + \sum_{j=1}^p \delta_{ji}\notag\\[12pt] &= \left( \sum_{j=1}^p \lambda_j \right) \xi_i + \sum_{j=1}^p \delta_{ji} \notag\\[12pt] &= T_i + E_i\notag \end{aligned} \end{equation}$$

Secondo la CTT, la varianza del punteggio osservato $X_i$ si scompone in due componenti: $\sigma^2_{X_i} = \sigma^2_{T_i} + \sigma^2_{E_i}$. Nei termini del modello fattoriale, la varianza della componente vera del punteggio totale del test, $\sigma^2_{T_i}$, è data dal quadrato della somma delle satutazioni fattoriali:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma^2_{T_i} &= \mathbb{V}\left[ \left( \sum_{j=1}^p \lambda_j \right) \xi_i \right]\notag\\ &= \left( \sum_{j=1}^p \lambda_j \right)^2 \mathbb{V}(\xi_i)\notag\\ &= \left( \sum_{j=1}^p \lambda_j \right)^2 \notag \end{aligned} \end{equation}$$

Nei termini del modello fattoriale, se consideriamo il punteggio totale del test, la varianza della componente dell’errore della misurazione, $\sigma^2_{E_i}$, è data dalla somma delle unicità:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma^2_{E_i} &= \mathbb{V}\left( \sum_{j=1}^p \delta_{ji} \right)\notag\\ &= \sum_{j=1}^p \mathbb{V}\left( \delta_{ji} \right)\notag\\ &= \sum_{j=1}^p \Psi_j\notag \end{aligned} \end{equation}$$

Nei termini del modello fattoriale, dunque, una stima dell’errore standard della misurazione del punteggio totale del test è data dalla radice quadrata della quantità precedente, ovvero:

$$\begin{equation} \sigma_{E} = \sqrt{\sum_{j=1}^p \Psi_j} \tag{15.1} \end{equation}$$