15.1 Modello monofattoriale

Il punto di partenza dell’analisi fattoriale esplorativa è rappresentato da una marice di dimensioni \(p \times p\) (dove \(p\) è il numero di variabili osservate) che contiene i coefficienti di correlazione (o di covarianza) tra le variabili. Il punto di arrivo è rappresentato da una matrice di dimensioni \(p \times k\) (dove \(k\)) è il numero di fattori comuni che contiene i coefficienti (le saturazioni) che esprimono la relazione tra i fattori e le variabili osservate. Considereremo ora il modello matematico dell’analisi fattoriale esplorativa, con un solo fattore comune, che rappresenta il caso più semplice.

Con \(p\) variabili manifeste \(Y_i\), il modello ad un fattore comune può essere espresso algebricamente nel modo seguente:

\[ Y_i = \mu_i + \lambda_{i} \xi + \delta_i \qquad i=1, \dots, p \]

dove \(\xi\) rappresenta il fattore latente, chiamato anche fattore comune, poiché è comune a tutte le \(Y_i\), i \(\delta_i\) sono invece specifici di ogni variabile osservata e per tale ragione vengono chiamati fattori specifici o unici, e infine i \(\lambda_i\) sono detti saturazioni (o pesi) fattoriali poiché consentono di valutare il peso del fattore latente su ciascuna variabile osservata. Si suole assumere per comodità che \(\mu=0\), il che corrisponde a considerare le variabili \(Y_i\) come ottenute dagli scarti dalle medie \(\mu_i\) per \(i = 1, \dots, p\):

\[ Y_i -\mu_i = \lambda_i \xi + \delta_i. \]

Si assume che il fattore comune abbia media zero, \(\mathbb{E}(\xi)=0\), e varianza unitaria, \(\mathbb{V}(\xi)=1\), che i fattori specifici abbiano media zero, \(\mathbb{E}(\delta_j)=0\), e varianza \(\mathbb{V}(\delta_j)=\psi_{i}\), che i fattori specifici siano incorrelati tra loro, \(\mathbb{E}(\delta_i \delta_k)=0\), e che i fattori specifici siano incorrelati con il fattore comune, \(\mathbb{E}(\delta_i \xi)=0\).

In questo modello, poiché i fattori specifici sono tra loro incorrelati, l’interdipendenza tra le variabili manifeste è completamente spiegata dal fattore comune. Dalle ipotesi precedenti è possibile ricavare la covarianza tra \(Y_i\) e il fattore comune, la varianza della \(i\)-esima variabile manifesta \(Y_i\) e la covarianza tra due variabili manifeste \(Y_i\) e \(Y_k\).