19.4 Metodo dei minimi quadrati non pesati

Nel modello uni-fattoriale, la varianza di ciascun indicatore viene scomposta nella somma di due componenti: la componente \(\sigma^2_T\) dovuta all’effetto del fattore latente comune e la componente \(\psi\) dovuta all’effetto del fattore specifico. McDonald (2013) illustra come sia possibile stimare tali componenti dai dati osservati. Tali stime vengono poi utilizzate per calcolare la coerenza interna del test tramite le formule degli indici \(\alpha\) di Cronbach e \(\omega\) di McDonald.

In precedenza abbiamo visto come la varianza del punteggio vero sia uguale alla covarianza tra due forme parallele dello stesso test: \(\sigma^2_T = \sigma_{XX^\prime}\). Se gli indicatori sono \(\tau\)-equivalenti, la matrice la matrice \(\boldsymbol{\Sigma}\) riprodotta dal modello è uguale a

\[ \boldsymbol{\Sigma}=\left[ \begin{array}{ c c c c } \sigma_{T}^2 + \psi_{11} & \sigma_{T}^2 & \dots & \sigma_{T}^2 \\ \sigma_{T}^2 & \sigma_{T}^2 + \psi_{22} & \dots & \sigma_{T}^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \sigma_{T}^2 & \sigma_{T}^2 & \dots & \sigma_{T}^2 + \psi_{pp} \notag \end{array} \right], \]

ovvero, tutte le covarianze sono tra loro uguali. Nel caso di indicatori \(\tau\)-equivalenti, dunque, una stima \(\hat{\sigma}^2_T\) di \(\sigma^2_T\) è data dalla media delle covarianze della matrice S:

\[\begin{equation} \hat{\sigma}_T^2 = \frac{1}{p(p-1)} \sideset{}{} {\sum \sum}_{i \neq k} s_{ik}. \tag{19.6} \end{equation}\]

Tale medoto di stima di \(\sigma^2_T\) viene chiamato “metodo dei minimi quadrati non pesati” (McDonald, 2013).

Inoltre, nel caso di indicatori \(\tau\)-equivalenti, la stima di \(\psi_{ii}\) nella (19.4) è data da

\[ \hat{\psi}_{ii }= s_{ii} - \hat{\sigma}_T^2, \]

per ciascun item.

Nel caso di indicatori paralleli, la stima di \(\sigma^2_T\) è ancora data dalla (19.6), ovvero dalla media delle covarianze della matrice \(\boldsymbol{\Sigma}\). La stima del valore costante \(\psi\) è invece data da

\[\begin{equation} \hat{\psi} = \frac{1}{p} \sum_i (s_{ii} - \hat{\sigma}_T^2) \tag{19.7} \end{equation}\]