15.5 Correlazioni osservate e correlazioni riprodotte dal modello
In generale possiamo affermare che il modello monofattoriale è adeguato se si verifica che \(\mbox{Cov}(Y_i, Y_k \mid \xi) = 0\) (\(i, k = 1, \dots,p; \; i\neq k\)), ossia se il fattore comune spiega tutta la covarianza tra le variabili osservate. La matrice di correlazioni riprodotte dal modello è chiamata \(\boldsymbol{\Sigma}\) e può essere espressa come:
\[ \boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{\Lambda}^\prime + \boldsymbol{\Psi} \]
In altri termini, il modello monofattoriale è adeguato se è nulla la differenza tra la matrice di correlazioni osservate e la matrice di correlazioni riprodotte dal modello. Per i dati di Spearman, le correlazioni riprodotte dal modello ad un fattore sono
round(L %*% t(L) + diag(fm$uniq), 3)
#> [,1] [,2] [,3] [,4]
#> [1,] 1.000 0.784 0.703 0.649
#> [2,] 0.784 1.000 0.602 0.556
#> [3,] 0.703 0.602 1.000 0.499
#> [4,] 0.649 0.556 0.499 1.000La matrice delle differenze tra le correlazioni campionarie e quelle riprodotte è
round(Spearman - (L %*% t(L) + diag(fm$uniq)), 3)
#> C E M P
#> C 0.000 -0.004 -0.003 0.011
#> E -0.004 0.000 0.038 -0.016
#> M -0.003 0.038 0.000 -0.049
#> P 0.011 -0.016 -0.049 0.000Lo scarto maggiore tra le correlazioni campionarie e quelle riprodotte è uguale a 0.049. Si può dunque concludere che il modello monofattoriale spiega in maniera ragionevole i dati di Spearman.