20.4 Il test del \(\chi^2\)

Il confronto tra modelli nidificati procede attraverso il test \(\chi^2\). Tale test si basa su una proprietà delle variabili casuali distribuite come \(\chi^2\): la differenza tra due v.c. \(X_1\) e \(X_2\) che seguono la distribuzione \(\chi^2\), rispettivamente con \(\nu_1\) e \(\nu_2\), con \(\nu_1 > \nu_2\), è una variabile causale che segue la distribuzione \(\chi^2\) con gradi di libertà pari a \(\nu_1 - \nu_2\).

Un modello nidificato è un modello che impone dei vincoli sui parametri del modello di partenza. L’imposizione di vincoli sui parametri ha la conseguenza che vi sarà un numero minore di parametri da stimare. Il confronto tra i modelli si esegue valutando in maniera relativa la bontà di adattamento di ciascun modello per mezzo della statistica chi-quadrato. La statistica così calcolata avrà un numero di gradi di libertà uguale alla differenza tra i gradi di libertà dei due modelli.

Nel caso dell’esempio in dicussione, abbiamo

anova(
  fit.congeneric,
  fit.tau.a,
  fit.tau.av,
  fit.parallel.a,
  fit.parallel.av,
  test = "chisq"
)
#> 
#> Chi-Squared Difference Test
#> 
#>                 Df    AIC    BIC  Chisq Chisq diff    RMSEA Df diff Pr(>Chisq)
#> fit.congeneric   8 4702.0 4744.8 4.8773                                       
#> fit.tau.a       10 4698.7 4735.0 5.6597     0.7823 0.000000       2     0.6763
#> fit.tau.av      12 4695.0 4724.6 5.8810     0.2213 0.000000       2     0.8952
#> fit.parallel.a  14 4691.1 4714.1 5.9769     0.0959 0.000000       2     0.9532
#> fit.parallel.av 16 4690.4 4706.9 9.2772     3.3003 0.057016       2     0.1920

I test precedenti indicano come non vi sia una perdita di adattamento passando dal modello congenerico al modello più restrittivo (ovvero, il modello parallelo per entrambi i fattori). Per questi dati, dunque, può essere adottato il modello più semplice, cioè il modello parallelo.