9.6 L’attendibilità del test
In questa sezione vedremo come il coefficiente di attendibilità (altri termini che vengono usati sono: affidabilità, costanza, credibilità) fornisce una stima della quota della varianza del punteggio osservato che può essere attribuita all’abilità latente (“punteggio vero”, cioè privo di errore di misurazione). In generale, un coefficiente di attendibilità maggiore di 0.80 viene ritenuto soddisfacente perché indica che l’80% o più della varianza dei punteggi ottenuti è causata da ciò che il test intende misurare, anziché dall’errore di misurazione.
Per definire l’attendibilità, la CTT si serve di due quantità:
- la varianza del punteggio osservato,
- la correlazione tra punteggio osservato e punteggio vero.
Vediamo ora come queste quantità possano essere ottenute sulla base delle assunzioni del modello statistico che sta alla base della CTT.
9.6.1 La varianza del punteggio osservato
La varianza del punteggio osservato \(X\) è uguale alla somma della varianza del punteggio vero e della varianza dell’errore di misurazione:
\[ \sigma^2_X = \sigma_T^2 + \sigma_E^2. \tag{9.3} \]
Dimostrazione. La varianza del punteggio osservato è uguale a
\[ \sigma^2_X = \mathbb{V}(T+E) = \sigma_T^2 + \sigma_E^2 + 2 \sigma_{TE}. \tag{9.4} \]
Dato che \(\sigma_{TE}=\rho_{TE}\sigma_T \sigma_E=0\), in quanto \(\rho_{TE}=0\), ne segue che
\[ \sigma^2_X = \sigma_T^2 + \sigma_E^2. \]
9.6.2 La covarianza tra punteggio osservato e punteggio vero
La covarianza tra punteggio osservato \(X\) e punteggio vero \(T\) è uguale alla varianza del punteggio vero:
\[ \sigma_{X T} = \sigma_T^2. \tag{9.5} \]
Dimostrazione. La covarianza tra punteggio osservato e punteggio vero è uguale a
\[ \begin{aligned} \sigma_{X T} &= \mathbb{E}(XT) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(T)\notag\\ &= \mathbb{E}[(T+E)T] - \mathbb{E}(T+E)\mathbb{E}(T)\notag\\ &= \mathbb{E}(T^2) + \underbrace{\mathbb{E}(ET)}_{=0} - [\mathbb{E}(T)]^2 - \underbrace{\mathbb{E}(E)}_{=0} \mathbb{E}(T)\notag\\ &=\mathbb{E}(T^2) - [\mathbb{E}(T)]^2\notag \\ &= \sigma_T^2. \end{aligned} \]
9.6.3 Correlazione tra punteggio osservato e punteggio vero
La correlazione tra punteggio osservato \(X\) e punteggio vero \(T\) è uguale al rapporto tra la covarianza tra \(X\) e \(T\) divisa per il prodotto delle due deviazioni standard:
\[ \rho_{XT} = \frac{\sigma_{XT}}{\sigma_X \sigma_T} = \frac{\sigma^2_{T}}{\sigma_X \sigma_T} = \frac{\sigma_{T}}{\sigma_X}. \tag{9.6} \]
Dunque, la correlazione tra il punteggio osservato e il punteggio vero è uguale al rapporto tra la deviazione standard dei punteggi veri e la deviazione standard dei punteggi osservati.
9.6.4 Definizione e significato dell’attendibilità
Sulla base della (9.6) giungiamo alla definizione dell’attendibilità. La CTT definisce attendibilità di un test (o di un item) come il rapporto tra la varianza del punteggio vero e la varianza del punteggio osservato, ovvero come il quadrato della correlazione tra punteggio osservato \(X\) e punteggio vero \(T\):
\[\begin{equation} \rho_{XT}^2 = \frac{\sigma_{T}^2}{\sigma_X^2}. \tag{9.7} \end{equation}\]
Questa è la quantità fondamentale della CTT e misura il grado di variazione del punteggio vero rispetto alla variazione del punteggio osservato. Dato che \(\sigma^2_X = \sigma_T^2 + \sigma_E^2\), in base alla (9.7) possiamo scrivere
\[ \begin{equation} \rho_{XT}^2 = \frac{\sigma_{T}^2}{\sigma_X^2} =\frac{\sigma_{X}^2 - \sigma^2_E}{\sigma_X^2} = 1-\frac{\sigma_{E}^2}{\sigma_X^2}. \tag{9.8} \end{equation} \]
La (9.8) ci dice che il coefficiente di attendibilità assume valore \(1\) se la varianza degli errori \(\sigma_{E}^2\) è nulla e assume valore \(0\) se la varianza degli errori è uguale alla varianza del punteggio osservato. Il coefficiente di attendibilità è dunque un numero puro contenuto nell’intervallo compreso tra \(0\) e \(1\).