15.2 Covarianza tra un indicatore e il fattore comune

Dal modello monofattoriale è possibile determinare l’espressione della covarianza teorica tra una variabile manifesta \(Y_i\) e il fattore comune \(\xi\):

\[ \mbox{Cov}(Y_i,\xi)=\mathbb{E}(Y_i \xi)-\mathbb{E}(Y_i)\mathbb{E}(\xi). \]

Dato che \(\mathbb{E}(\xi)=0\), possiamo scrivere

\[\begin{equation} \begin{aligned} \mbox{Cov}(Y_i,\xi) &= \mathbb{E}(Y_i \xi)=\mathbb{E}[(\lambda_i \xi + \delta_i) \xi]\notag\\ &=\mathbb{E}(\lambda_i \xi^2 + \delta_i \xi)\notag\\ &=\lambda_i\underbrace{\mathbb{E}(\xi^2)}_{\mathbb{V}(\xi)=1} + \underbrace{\mathbb{E}(\delta_i \xi)}_{\mbox{Cov}(\delta_i, \xi)=0}\notag\\ &= \lambda_i.\notag \end{aligned} \end{equation}\]

Nel modello a un solo fattore, dunque, la saturazione \(\lambda_j\) rappresenta la covarianza la variabile manifesta \(Y_i\) e il fattore comune \(\xi\) e indica l’importanza del fattore nel determinare il punteggio osservato. Se le variabili \(Y_i\) sono standardizzate, la saturazione fattoriale \(\lambda_i\) corrisponde alla correlazione tra \(Y_i\) e \(\xi\).