15.4 Covarianza tra due variabili manifeste

Nell’ipotesi che le variabili \(Y_i\) abbiano media nulla, la covarianza tra \(Y_i\) e \(Y_k\)

\[ \mbox{Cov}(Y_i, Y_k)=\mathbb{E}(Y_i Y_k) - \mathbb{E}(Y_i)\mathbb{E}(Y_k)=\mathbb{E}(Y_i Y_k) \]

è uguale al prodotto delle corrispondenti saturazioni fattoriali:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \mbox{Cov}(Y_i, Y_k) &= \mathbb{E}(Y_i Y_k) \notag\\ & =\mathbb{E}[(\lambda_i \xi + \delta_i)(\lambda_k \xi + \delta_k)]\notag\\ &=\mathbb{E}(\lambda_i\lambda_k\xi^2 + \lambda_i \xi \delta_k + \lambda_k \delta_i \xi + \delta_i \delta_k)\notag\\ &=\lambda_i\lambda_k\underbrace{\mathbb{E}(\xi^2)}_{\mathbb{V}(\xi)=1}+\lambda_i\underbrace{\mathbb{E}(\xi \delta_k)}_{\mbox{Cov}(\xi, \delta_k) =0}+\notag\\ \;&+\lambda_k\underbrace{\mathbb{E}(\delta_i \xi)}_{\mbox{Cov}(\delta_i, \xi) =0} +\underbrace{\mathbb{E}(\delta_i \delta_k)}_{\mbox{Cov}(\delta_i, \delta_k)=0}\notag\\ &=\lambda_i\lambda_k. \end{aligned} \end{equation}\]