19.3 Classi di modelli
Si possono distinguere tre importanti casi del modello mono-fattoriale:
- il modello con indicatori congenerici,
- il modello con indicatori \(\tau\)-equivalenti,
- il modello con indicatori paralleli.
Il modello con indicatori congenerici rappresenta il caso più generale, mentre gli indicatori \(\tau\)-equivalenti e paralleli sono casi particolari, ovvero impongono restrizioni al modello con indicatori congenerici.
19.3.1 Indicatori congenerici
Indicatori congenerici misurano lo stesso costrutto, ma non necessariamente nella stessa misura. Nel caso di indicatori congenerici, nel modello mono-fattoriale non viene imposto alcun vincolo né sulle saturazioni fattoriali né sulle specificità:
\[ \lambda_1\neq \lambda_2 \neq \dots\neq \lambda_p, \]
\[ \psi_{11}\neq \psi_{22} \neq \dots\neq \psi_{pp}. \]
Il modello mono-fattoriale con indicatori congenerici è dunque
\[\begin{equation} X_i = \lambda_i \xi + \delta_i. \tag{19.1} \end{equation}\]
Dalle assunzioni precedenti possiamo derivare la matrice \(\boldsymbol{\Sigma}\) riprodotta in base al modello congenerico la quale risulta essere uguale a
\[ \boldsymbol{\Sigma}=\left[ \begin{array}{ c c c c } \sigma_{11} & \sigma_{12} & \dots & \sigma_{1p}, \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \dots & \sigma_{2p}. \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \sigma_{p1} & \sigma_{p2} & \dots & \sigma_{pp} \end{array} \right]. \]
Si noti come tutte le varianze e tutte le covarianze siano tra loro diverse.
19.3.2 Indicatori tau-equivalenti
Nel caso di indicatori \(\tau\)-equivalenti, si ha che
\[ \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_p=\lambda, \]
\[ \psi_{11}\neq \psi_{22} \neq \dots\neq \psi_{pp}. \]
Il modello monofattoriale con indicatori \(\tau\)-equivalenti diventa dunque
\[\begin{equation} X_i = \lambda \xi + \delta_i, \tag{19.1} \end{equation}\]
ovvero
\[\begin{equation} X_i = \tau + \delta_i, \tag{19.2} \end{equation}\]
dove \(\tau=\lambda \xi\) è l’attributo comune scalato nell’unità di misura dell’indicatore. Secondo il modello (19.1), tutte le \(p(p-1)\) covarianze tra gli item del test devono essere uguali, ovvero
\[\begin{equation} \sigma_{ik} = \lambda^2=\sigma^2_T, \tag{19.3} \end{equation}\]
per \(i\neq k\). Gli elementi sulla diagonale principale della matrice di varianze e covarianze saranno invece
\[\begin{equation} \sigma_{ii} = \lambda^2 + \psi_{ii} =\sigma^2_T + \psi_{ii}. \tag{19.4} \end{equation}\]
La matrice \(\boldsymbol{\Sigma}\) riprodotta in base al modello \(\tau\)-equivalente è dunque uguale a
\[\begin{equation} \boldsymbol{\Sigma}=\left[ \begin{array}{ c c c c } \sigma_{T}^2 + \psi_{11} & \sigma_{T}^2 & \dots & \sigma_{T}^2 \\ \sigma_{T}^2 & \sigma_{T}^2 + \psi_{22} & \dots & \sigma_{T}^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \sigma_{T}^2 & \sigma_{T}^2 & \dots & \sigma_{T}^2 + \psi_{pp} \end{array} \right]. \tag{19.5} \end{equation}\]
Tutte le covarianze sono uguali, mentre le varianze sono tra loro diverse.
19.3.3 Indicatori paralleli
Nel caso di indicatori paralleli si ha che
\[ \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_p=\lambda, \] \[ \psi_{11}=\psi_{22}=\dots=\psi_{pp}=\psi. \]
Il modello costituito da indicatori paralleli impone dunque un’ulteriore restrizione che riguarda le varianze degli item, ovvero:
\[ \sigma_{ii} = \lambda^2 + \psi =\sigma^2_T + \sigma^2. \]
La struttura di varianze e covarianze imposta dal modello per indicatori paralleli è dunque tale da richiedere l’uguaglianza tra tutte le covarianze tra gli item e l’uguaglianza tra tutte le varianze degli item. La matrice \(\boldsymbol{\Sigma}\) riprodotta in base al modello con indicatori paralleli è dunque uguale a
\[ \boldsymbol{\Sigma}=\left[ \begin{array}{ c c c c } \sigma_{T}^2 + \sigma^2 & \sigma_{T}^2 & \dots & \sigma_{T}^2 \\ \sigma_{T}^2 & \sigma_{T}^2 + \sigma^2 & \dots & \sigma_{T}^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \sigma_{T}^2 & \sigma_{T}^2 & \dots & \sigma_{T}^2 +\sigma^2 \notag \end{array} \right]. \]