11.4 Cut-off

Gli intervalli di confidenza per il punteggio vero possono essere utilizzati per confrontare i limiti dell’intervallo con un cut-off. Ci sono tre possibili esiti: il limite inferiore dell’intervallo di confidenza è maggiore del cut-off, il limite superiore dell’intervallo è minore del cut-off, o il valore del cut-off è compreso all’interno dell’intervallo. Nel primo caso, lo psicologo può affermare, con un grado di certezza \(1-\alpha\), che il valore vero del rispondente è superiore al cut-off. Nel secondo caso, lo psicologo può affermare, con un grado di certezza \(1-\alpha\), che il valore vero del rispondente è inferiore al cut-off. Nel terzo caso, lo psicologo non può concludere né che il valore vero sia inferiore né che sia superiore al cut-off, con un certo grado di incertezza.

Esercizio 11.3 Si considerino i punteggi del QI, per cui \(\bar{X}\) = 100 e \(s_X\) = 15. Sia l’attendibilità del test \(\rho_{XX^\prime}\) = 0.95. Supponiamo che il rispondente abbia un QI = 130. Poniamo che il cut-off per ammettere il rispondente ad un corso avanzato sia 120. Ci sono tre alternative: il valore vero del rispondente è sicuramente maggiore di 120; il valore vero del rispondente è sicuramente inferiore di 120; le evidenze disponibili ci lasciano in dubbio se il punteggio vero sia maggiore o minore di 120. Svolgiamo i calcoli per trovare l’intervallo di confidenza al livello di certezza del 95%:

xm <- 100
sx <- 15
rho <- .95
x <- 130
t.hat <- xm + rho * (x - xm)
t.hat
#> [1] 128.5
se.t <- sx * sqrt(rho * (1 - rho))
se.t
#> [1] 3.269174
t.hat + c(1, -1) * qnorm(.025, 0, 1) * se.t
#> [1] 122.0925 134.9075

Dato che il limite inferiore dell’intervallo di confidenza è maggiore del cut-off, lo psicologo conclude che il punteggio vero del rispondente è maggiore di 120. Quindi, raccomanda che il rispondente sia ammesso al corso avanzato.

Continuando con l’esempio precedente, supponiamo che l’attendibilità del test abbia un valore simile a quello che solitamente si ottiene empiricamente, ovvero 0.80.

xm <- 100
sx <- 15
rho <- .8
x <- 130
t.hat <- xm + rho * (x - xm)
t.hat
#> [1] 124
se.t <- sx * sqrt(rho * (1 - rho))
se.t
#> [1] 6
t.hat + c(1, -1) * qnorm(.025, 0, 1) * se.t
#> [1] 112.2402 135.7598

In questo secondo esempio, l’intervallo di confidenza al 95% è \([112.24, 135.76]\) e contiene il valore del cut-off. Dunque, la decisione dello psicologo è che non vi sono evidenze sufficienti che il vero valore del rispondente sia superiore al cut-off. Si noti come la diminuzione dell’attendibilità del test porta all’aumento delle dimensioni dell’intervallo di confidenza.