18.5 Come calcolare i coefficienti di percorso?

Data una matrice di correlazione, i coefficienti di percorso possono essere calcolati risolvendo un sistema di equazioni simultanee. Si supponga che, per le tre variabili della figura precedente, vi sia la seguente matrice di correlazione:

	\(y\)	\(x_1\)	\(x_2\)
\(y\)	1.00
\(x_1\)	0.70	1.00
\(x_2\)	0.65	0.50	1.00

Esprimendo le tre correlazioni nei termini dei coefficienti del path diagram otteniamo:

\[\begin{equation} \begin{cases} r_{x_1x_2} &= 0.50\\ r_{yx_2} &= \beta_{yx_2} + 0.50 \beta_{yx_1} = 0.65\\ r_{x_1y} &= \beta_{yx_1} + 0.50 \beta_{yx_2} = 0.70 \end{cases} \end{equation}\]

Risolvendo il sistema di equazioni simultanee, si ottengono i valori dei coefficienti di percorso:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \beta_{yx_1} &= 0.50\notag\\ \beta_{yx_2} &= 0.40\notag \end{aligned} \end{equation}\]