Riflessioni conclusive sulla sezione

In questa sezione è stato illustrato come i metodi Monte Carlo basati su catene di Markov (MCMC) rendano fattibile l’inferenza bayesiana in contesti modellistici complessi, dove soluzioni analitiche risultano impraticabili. L’esposizione è stata strutturata secondo un approccio progressivo, partendo dai fondamenti concettuali – quali la simulazione stocastica e l’algoritmo di Metropolis – per giungere all’applicazione corrente mediante strumenti come Stan e l’algoritmo HMC-NUTS, passando attraverso stadi essenziali quali la diagnostica delle catene, la predizione e l’analisi di casi di studio via via più articolati. Tra questi, abbiamo esaminato modelli per la differenza tra medie e per l’odds ratio, modelli Poisson per dati di conteggio, misture gaussiane con problematiche di identificabilità, modelli con parametri di disturbo e modelli a struttura gerarchica.

Principali acquisizioni concettuali e metodologiche

Il campionamento MCMC dalla distribuzione a posteriori costituisce l’oggetto primario dell’inferenza. Da esso è possibile derivare non solo stime puntuali e intervalli di credibilità, ma anche distribuzioni predittive posteriori per future replicazioni o nuove osservazioni, nonché qualsiasi funzione dei parametri di interesse, come ad esempio l’odds ratio.

La diagnostica delle catene rappresenta una fase imprescindibile. Affinché i risultati siano validi, è necessario verificare la convergenza e l’adeguatezza dell’esplorazione dello spazio dei parametri. A tal fine, è opportuno assicurarsi che l’indice R-hat sia prossimo a 1, che le dimensioni effettive del campione (ESS, sia nella parte centrale che nelle code) siano sufficienti, e che non siano presenti divergenze. Ulteriori indicatori da monitorare includono il treedepth massimo e l’E-BFMI. In caso di anomalie, strategie correttive possono comprendere la riparametrizzazione del modello (ad esempio in forma non-centered per modelli gerarchici), l’utilizzo di prior più informative, la riscalatura delle variabili, o l’aggiustamento di parametri come adapt_delta.

Le distribuzioni a priori, spesso trascurate, svolgono un ruolo cruciale nella specificazione del modello. Prior debolmente informative possono favorire sia l’identificabilità numerica che quella sostantiva. Inoltre, la simulazione predittiva a priori (prior predictive check) consente di valutare se le assunzioni del modello generino dati plausibili, ancor prima di osservare i dati reali.

La verifica di adeguatezza del modello si avvale in modo essenziale della distribuzione predittiva a posteriori. I posterior predictive checks (PPC), che confrontano la distribuzione dei dati replicati con quelli osservati, permettono di identificare discrepanze strutturali in modo più efficace della sola valutazione di indici di adattamento.

Il confronto tra modelli deve essere guidato dalla loro capacità predittiva. L’Expected Log Predictive Density (ELPD), stimabile mediante metodi come LOO o WAIC, fornisce un criterio solido per selezionare il modello che generalizza meglio, superando la mera aderenza ai dati osservati.

Dall’analisi di casi specifici è possibile trarre indicazioni generali. Nei modelli per la differenza tra medie, per l’odds ratio o per dati di conteggio (Poisson), la distribuzione a posteriori fornisce probabilità direttamente interpretabili (quali la probabilità che un effetto sia positivo) nonché predizioni per nuove unità. Le misture di distribuzioni, come le misture gaussiane, pongono sfide legate al label switching e all’identificabilità, che richiedono l’introduzione di vincoli, prior informative o un’appropriata post-elaborazione; al contempo, esse mostrano come gli MCMC possano esplorare spazi delle parametri multimodali. I parametri di disturbo possono essere gestiti in modo efficiente mediante marginalizzazione o attraverso un’impostazione gerarchica. I modelli gerarchici, come il modello beta-binomiale, permettono di ottenere stime per gruppi specifici (partial pooling) più robuste e al tempo stesso di compiere inferenze sulla popolazione sottostante.

Un aspetto pratico cruciale riguarda l’efficienza computazionale. Più che il numero assoluto di iterazioni, conta l’ESS per unità di tempo di calcolo. L’operazione di thinning è generalmente superflua; è preferibile impiegare poche catene, sufficientemente lunghe e ben miscelate, piuttosto che molte catene corte e potenzialmente problematiche.

Workflow operativo consolidato

La trattazione si conclude proponendo una visione dell’inferenza bayesiana non come procedura meccanica, ma come processo iterativo e circolare. Tale processo si articola nelle seguenti fasi:

1. Specifica del modello, includendo prior sostantivamente giustificate;
2. Simulazione predittiva (a priori e a posteriori) per comprendere le implicazioni del modello e verificarne la coerenza con la conoscenza di dominio;
3. Stima mediante MCMC e diagnostica accurata delle catene;
4. Valutazione della capacità predittiva del modello mediante strumenti come LOO o WAIC;
5. Affinamento delle assunzioni, dei parametri, delle trasformazioni o della qualità dei dati, sulla base dei risultati delle fasi precedenti;
6. Comunicazione dei risultati in termini interpretabili, enfatizzando la quantificazione dell’incertezza attraverso probabilità, intervalli credibili e scenari predittivi.

In sintesi, i metodi MCMC non costituiscono un mero strumento numerico, ma rappresentano la vera e propria infrastruttura che abilita l’implementazione di modelli realistici e informativi. Grazie a pratiche rigorose di diagnostica, predizione e confronto, essi forniscono uno strumento essenziale per una psicologia quantitativa di tipo esplicativo, i cui esiti non si riducono a risposte dicotomiche, ma si esprimono attraverso distribuzioni di probabilità. Queste ultime quantificano coerentemente ciò che è stato appreso, il grado di incertezza associato e le previsioni su osservazioni future.