Appendice E — Sistemi numerici e intervalli

E.1 Numeri binari

I numeri binari costituiscono il sistema di rappresentazione fondamentale dell’informatica, essendo basati su due soli simboli: 0 e 1. Questa dicotomia si adatta perfettamente all’architettura dei calcolatori digitali, dove i due stati corrispondono fisicamente a presenza/assenza di segnale elettrico, permettendo operazioni logiche e aritmetiche estremamente efficienti.

Un’applicazione immediata si osserva nella codifica di risposte dicotomiche. Consideriamo un’indagine in cui si chiede a 10 studenti: “Ti piacciono i mirtilli?”. Le risposte possono essere memorizzate come valori logici.

In R:

opinione <- c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, TRUE, TRUE, FALSE)
opinione

In Python, si avrebbe l’analogo con True e False. Questi valori booleani sono interpretati numericamente come 1 (TRUE/True) e 0 (FALSE/False). Tale corrispondenza permette di calcolare direttamente statistiche sintetiche tramite operazioni aritmetiche. Ad esempio, la proporzione di risposte affermative si ottiene semplicemente sommando i valori logici (dove ogni TRUE contribuisce 1) e dividendo per il numero totale di osservazioni:

sum(opinione) / length(opinione)

Il risultato fornisce la frazione di studenti che hanno risposto positivamente.

E.2 Numeri interi

I numeri interi sono caratterizzati dall’assenza di parte frazionaria. Comprendono i numeri naturali (usati tradizionalmente per contare), i loro opposti negativi e lo zero. L’insieme dei numeri naturali è denotato con \(\mathbb{N}\), mentre l’insieme completo degli interi è indicato con \(\mathbb{Z}\):

\[ \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}. \]

E.3 Numeri razionali

Un numero razionale è un numero esprimibile come rapporto tra due interi, con denominatore non nullo. L’insieme dei numeri razionali è indicato con \(\mathbb{Q}\):

\[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} \mid m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\right\}. \]

Ogni numero intero è anche razionale (ad esempio, \(5 = \frac{5}{1}\)), stabilendo così la relazione di inclusione:

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}. \]

Se si considerano solo i razionali non negativi, si usa la notazione \(\mathbb{Q}^+ = \{q \in \mathbb{Q} \mid q \geq 0\}\).

E.4 Numeri irrazionali

Esistono numeri reali che non possono essere espressi come frazione di due interi; questi sono detti irrazionali. La loro rappresentazione decimale è infinita e non periodica. Esempi classici includono:

• \(\sqrt{2}\) (la diagonale del quadrato di lato unitario);
• \(\pi\) (il rapporto tra circonferenza e diametro);
• \(e\) (la base dei logaritmi naturali).

E.5 Numeri reali

L’insieme dei numeri reali, denotato con \(\mathbb{R}\), comprende tutti i numeri razionali e irrazionali, coprendo così in modo continuo la retta numerica. La relazione di inclusione completa diventa:

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. \]

In ambito statistico e scientifico, le misurazioni sono generalmente espresse come numeri reali, sfruttandone la proprietà di continuità per rappresentare grandezze con il livello di precisione desiderato.

E.6 Intervalli numerici

Definizione: un intervallo numerico è un sottoinsieme connesso della retta reale, costituito da tutti i numeri compresi tra due estremi, detti estremo inferiore ed estremo superiore.

Classificazione: la natura di un intervallo è determinata dall’inclusione o esclusione dei suoi estremi.

• Intervallo chiuso \([a, b]\): include entrambi gli estremi. \[ [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}. \]

• Intervallo aperto \((a, b)\): esclude entrambi gli estremi. \[ (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}. \]

• Intervallo semiaperto (o semichiuso):

  • chiuso a sinistra: \([a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}\);
  • aperto a sinistra: \((a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}\).

Notazione: Le parentesi quadre [ ] indicano l’inclusione dell’estremo, mentre le parentesi tonde ( ) ne indicano l’esclusione. Questa notazione fornisce una rappresentazione compatta e univoca di sottoinsiemi continui della retta reale, ampiamente utilizzata in analisi matematica, probabilità e statistica per definire domini, codomini e regioni di interesse.