34  Stime, stimatori e parametri

In questo capitolo imparerai a

• comprendere e analizzare come le stime dei parametri della popolazione variano da campione a campione;
• definire le nozioni di popolazione, campione, parametro, stima e stimatore;
• esplorare la connessione tra stime campionarie e parametri reali della popolazione;
• calcolare e interpretare il valore atteso e la varianza della media campionaria;
• utilizzare l’errore standard per rappresentare l’incertezza nelle stime dei parametri;
• comprendere la convergenza delle medie campionarie alla media della popolazione;
• applicare il teorema per approssimare distribuzioni campionarie con distribuzioni normali;
• analizzare la distribuzione campionaria di statistiche come la varianza e il valore massimo del campione.

Prerequisiti

• Leggere il capitolo Sampling Distributions of Estimators (Schervish & DeGroot, 2014).

Preparazione del Notebook

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  source()

34.1 Introduzione

In psicologia, è comune voler comprendere determinate caratteristiche di una popolazione, ma spesso non è possibile raccogliere dati su tutti i suoi membri a causa di vincoli di tempo, budget o accessibilità. Ad esempio, potremmo essere interessati a stimare la percentuale di persone che soffrono di un particolare disturbo d’ansia o la media di un punteggio di memoria a breve termine in una data popolazione, ma non possiamo testare ogni singolo individuo. In questi casi, ricorriamo a un campione di partecipanti selezionati in modo casuale, dai quali estraiamo informazioni per inferire la caratteristica dell’intera popolazione, con un certo grado di incertezza.

Nel linguaggio statistico:

• Popolazione: l’insieme completo degli individui (o unità) di interesse. Ad esempio, tutte le persone che soddisfano determinati criteri diagnostici oppure tutti gli studenti di una scuola.
• Parametro: la quantità (sconosciuta) che descrive una caratteristica d’interesse della popolazione (ad es. la vera proporzione di soggetti con un certo disturbo, oppure la vera media di un test cognitivo).
• Campione: un sottoinsieme (idealmente casuale) di individui della popolazione.
• Stima: il valore numerico, calcolato dal campione, che fornisce un’approssimazione del parametro.
• Stimatore: la regola o funzione matematica applicata ai dati del campione per ottenere la stima.

Supponiamo, per esempio, di voler conoscere la proporzione di adulti che manifestano un determinato sintomo ansioso. Denotiamo questa proporzione come \(p\). Poiché non possiamo (o non vogliamo) valutare l’intera popolazione di adulti, estraiamo un campione casuale di \(N\) individui e registriamo quanti di loro presentano il sintomo. Il rapporto tra chi mostra il sintomo e il totale del campione diventa la nostra stima \(\hat{p}\) (la “stima campionaria” dell’incognita \(p\)). È intuitivo aspettarsi che \(\hat{p}\) non coincida esattamente con \(p\); tuttavia, la teoria probabilistica mostra che con buona probabilità \(\hat{p}\) non se ne discosterà troppo (in assenza di distorsioni sistematiche).

34.2 Popolazione e campione

Per concretezza, immaginiamo di voler quantificare la frequenza di un certo sintomo (per es. un indicatore di ansia) in una grande popolazione, come l’insieme di tutti gli studenti universitari di un paese. Poiché sarebbe impossibile valutare tutti gli studenti, selezioniamo un gruppo più piccolo di individui in modo idealmente casuale (il nostro campione). Poniamo a ciascuno di essi un questionario standardizzato per valutare la presenza/assenza del sintomo. Alla fine, vogliamo utilizzare il dato raccolto nel campione per stimare la reale proporzione di studenti con tale sintomo nella popolazione complessiva.

In statistica, questo processo di selezione di un sottogruppo rappresentativo è chiamato campionamento, mentre la proporzione di individui con il sintomo d’ansia all’interno del campione è la stima campionaria \(\bar{X}\). Se il nostro campione riflette bene la popolazione, \(\bar{X}\) sarà un buon surrogato di \(p\), il parametro che davvero ci interessa.

34.2.1 Lo stimatore: la proporzione campionaria

Se consideriamo un modello “urna” in cui la popolazione è come un’urna contenente “biglie” di due colori (ad esempio, “blu” per presenza del sintomo, “rosso” per assenza), possiamo immaginare di estrarre a caso \(N\) biglie dall’urna per ottenere il nostro campione. Definiamo \(X_i=1\) se l’individuo \(i\)-esimo riporta il sintomo (biglia blu) e \(X_i=0\) se non lo riporta (biglia rossa). La proporzione campionaria è allora \[ \bar{X} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i. \] In questo contesto:

• \(p\) è la vera proporzione di studenti con il sintomo nella popolazione.
• \(\bar{X}\) è la proporzione osservata nel campione (ossia la stima empirica di \(p\)).

34.3 Distribuzione campionaria: varianza e valore atteso di uno stimatore

Il passaggio cruciale per il ragionamento inferenziale è comprendere come \(\bar{X}\) (o un qualsiasi altro indice calcolato dal campione) varia se ripetiamo lo stesso tipo di campionamento molte volte. Questo comportamento probabilistico di \(\bar{X}\) è noto come distribuzione campionaria.

34.3.1 Valore atteso della media (o proporzione) campionaria

Se \(X_1, X_2, \dots, X_n\) sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (iid), e ciascuna ha valore atteso \(\mathbb{E}[X_i] = \mu\), allora la media campionaria \[ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \] ha a sua volta un valore atteso \[ \mathbb{E}[\bar{X}] = \mu. \] Ciò significa che \(\bar{X}\) è uno stimatore non distorto del vero parametro \(\mu\). Nel caso di variabili 0-1 (sintomo assente/presente), \(\mu\equiv p\). In parole semplici, se rifacessimo infinite volte lo stesso campionamento, la media di tutte le nostre stime campionarie coinciderebbe con la vera proporzione di interesse.

34.3.2 Varianza della media (o proporzione) campionaria

La variabilità di \(\bar{X}\) attorno a \(\mu\) si misura con la varianza: \[ \mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}, \] dove \(\sigma^2\) è la varianza individuale di ciascun \(X_i\). Per il caso Bernoulliano (0-1) con \(\mathbb{E}[X_i]=p\), si ha \(\sigma^2 = p(1-p)\). Quindi: \[ \mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}. \] La radice quadrata della varianza di \(\bar{X}\) è l’errore standard (o SE), ossia \[ \mathrm{SE}(\bar{X}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}. \] Più \(n\) è grande, più si riduce la varianza (e quindi l’incertezza) della nostra stima: ecco perché, in psicologia come in molti altri campi, campioni di maggiori dimensioni danno stime più precise.

34.4 La Distribuzione Campionaria della Media

Per illustrare il concetto di distribuzione campionaria, consideriamo un caso semplice e specifico: una popolazione finita di dimensioni ridotte. Sebbene stiamo esaminando un caso particolare, è fondamentale notare che le proprietà e i principi che analizzeremo in questo contesto sono perfettamente applicabili a popolazioni di qualsiasi dimensione.

La distribuzione campionaria ci dà una visione della variazione che potremmo aspettarci nelle stime derivate da diversi campioni estratti dalla stessa popolazione. Ogni volta che preleviamo un campione, otteniamo una stima diversa per il parametro di interesse (come la media). La distribuzione campionaria ci mostra come queste stime sono distribuite e ci aiuta a comprendere quanto siano affidabili.

In termini pratici, se vogliamo calcolare la media della popolazione, non possiamo farlo direttamente (a meno di non avere accesso all’intera popolazione). Invece, possiamo estrarre un campione casuale e calcolare la media del campione come stima di \(\mu\). Tuttavia, un altro campione fornirà una stima leggermente diversa. La distribuzione campionaria ci aiuta a capire quanto queste stime varino da campione a campione e ci fornisce un quadro completo dell’incertezza legata al processo di stima.

Nella simulazione seguente, ipotizziamo la seguente popolazione:

x <- c(2, 4.5, 5, 5.5)
x
#> [1] 2.0 4.5 5.0 5.5

L’istogramma seguente descrive la distribuzione della popolazione.

ggplot(data.frame(x = x), aes(x)) +
  geom_histogram(
    bins = 5,
    aes(y = after_stat(density)),
    fill = "lightblue",
    color = "black"
  )

Calcoliamo la media e la varianza della popolazione. Media:

mean_x <- mean(x) # Media della popolazione
mean_x
#> [1] 4.25

Varianza:

var_x <- var(x) * ((length(x) - 1) / length(x)) # Varianza popolazione
var_x
#> [1] 1.812

Consideriamo tutti i possibili campioni di dimensione \(n = 2\) che possono essere estratti dalla popolazione rappresentata dal vettore x. Per generare questi campioni, utilizziamo la funzione expand.grid in R, che consente di creare tutte le combinazioni possibili di valori, includendo le ripetizioni.

Il risultato sarà un data frame con 16 righe e 2 colonne, dove ogni riga rappresenta una coppia possibile di valori estratti dal vettore x. Questo risultato è in linea con il principio del calcolo combinatorio: quando selezioniamo \(n\) elementi da un insieme di \(k\) elementi e permettiamo ripetizioni, il numero totale di combinazioni è dato da \(k^n\). Nel nostro caso, con \(k = 4\) e \(n = 2\), otteniamo:

\[ 4^2 = 16 \text{ combinazioni}. \]

Utilizzando expand.grid, possiamo verificare questo risultato in R:

# Generazione delle combinazioni con ripetizione
samples <- expand.grid(x, x)

# Visualizzazione del risultato
print(samples)
#>    Var1 Var2
#> 1   2.0  2.0
#> 2   4.5  2.0
#> 3   5.0  2.0
#> 4   5.5  2.0
#> 5   2.0  4.5
#> 6   4.5  4.5
#> 7   5.0  4.5
#> 8   5.5  4.5
#> 9   2.0  5.0
#> 10  4.5  5.0
#> 11  5.0  5.0
#> 12  5.5  5.0
#> 13  2.0  5.5
#> 14  4.5  5.5
#> 15  5.0  5.5
#> 16  5.5  5.5

Il data frame risultante mostrerà tutte le possibili coppie \((x_1, x_2)\), dove \(x_1\) e \(x_2\) possono essere scelti indipendentemente dalla popolazione \(x = \{2, 4.5, 5, 5.5\}\).

Per calcolare la media di ogni campione di ampiezza \(n = 2\), possiamo utilizzare la funzione rowMeans, che calcola la media per ogni riga di una matrice. In questo modo, otteniamo un vettore contenente la media di ciascuna coppia di valori. Questo insieme di valori costituisce la distribuzione campionaria delle medie dei campioni di ampiezza \(n = 2\) che possono essere estratti dalla popolazione x.

# Calcolare la media di ciascun campione
sample_means <- rowMeans(samples)
print(sample_means)
#>  [1] 2.00 3.25 3.50 3.75 3.25 4.50 4.75 5.00 3.50 4.75 5.00 5.25 3.75 5.00
#> [15] 5.25 5.50

Una rappresentazione grafica della distribuzione campionaria delle medie dei campioni di ampiezza \(n = 2\) che possono essere estratti dalla popolazione x è fornita qui sotto.

# Istogramma delle medie campionarie
ggplot(data.frame(sample_means), aes(x = sample_means)) +
  geom_histogram(
    bins = 5,
    aes(y = after_stat(density)),
    fill = "lightblue",
    color = "black"
)

Mostriamo qui nuovamente la lista di tutti i possibili campioni di ampiezza 2 insieme alla media di ciascun campione.

# Creare un data frame con i campioni e le loro medie
df <- data.frame(
  Samples = apply(samples, 1, paste, collapse = ", "),
  x_bar = rowMeans(samples)
)
print(df)
#>     Samples x_bar
#> 1      2, 2  2.00
#> 2    4.5, 2  3.25
#> 3      5, 2  3.50
#> 4    5.5, 2  3.75
#> 5    2, 4.5  3.25
#> 6  4.5, 4.5  4.50
#> 7    5, 4.5  4.75
#> 8  5.5, 4.5  5.00
#> 9      2, 5  3.50
#> 10   4.5, 5  4.75
#> 11     5, 5  5.00
#> 12   5.5, 5  5.25
#> 13   2, 5.5  3.75
#> 14 4.5, 5.5  5.00
#> 15   5, 5.5  5.25
#> 16 5.5, 5.5  5.50

Procediamo ora al calcolo della media della distribuzione campionaria delle medie di campioni di ampiezza \(n = 2\) che possono essere estratti dalla popolazione x.

# Calcolare la media delle medie campionarie
mean(sample_means)
#> [1] 4.25

Si noti che questo valore coincide con la media della popolazione.

Ecco una versione corretta e migliorata del testo:

La varianza delle medie campionarie, calcolata empiricamente, può essere ottenuta direttamente dai dati utilizzando la seguente formula:

var(x) * (length(x) - 1) / length(x) / length(x)
#> [1] 0.4531

Questo calcolo riflette la formula teorica per la varianza della media campionaria, definita come la varianza dei dati divisa per la dimensione del campione \(n\). Tuttavia, poiché la funzione var() in R utilizza \(n-1\) al denominatore per fornire una stima non distorta della varianza della popolazione, è necessario applicare un fattore di correzione \(\frac{n-1}{n}\) per ottenere la varianza campionaria corretta. Successivamente, questa varianza viene divisa per \(n\) per ottenere la varianza della media campionaria.

In alternativa, possiamo calcolare lo stesso valore prendendo la varianza delle medie di tutti i campioni (16 in questo caso):

var(sample_means) * ((length(sample_means) - 1) / length(sample_means))
#> [1] 0.9062

Anche in questo caso applichiamo il fattore di correzione \(\frac{n-1}{n}\) per ottenere il calcolo corretto della varianza usando la funzione var() in R.

Entrambi i calcoli forniscono risultati coerenti con la teoria, dimostrando che la varianza delle medie campionarie è inferiore a quella della popolazione.

34.5 Dimostrazioni Formali

34.5.1 Valore Atteso della Media Campionaria

Applichiamo le proprietà della speranza matematica per calcolare \(\mathbb{E}(\bar{X})\):

\[ \begin{align*} \mathbb{E}(\bar{X}) & = \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) & \text{(definizione di media campionaria)} \\ & = \frac{1}{n} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) & \text{(linearità della speranza)} \\ & = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) & \text{(speranza della somma)} \\ & = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu & \text{(tutte le $X_i$ hanno valore atteso $\mu$)} \\ & = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu & \text{(semplificazione della somma)} \\ & = \mu. \end{align*} \]

Abbiamo dimostrato che il valore atteso della media campionaria è uguale al valore atteso delle singole variabili. In termini pratici, ciò implica che la media campionaria è un stimatore non distorto del valore atteso della popolazione: anche se la media campionaria può variare a seconda del campione, in media si avvicina sempre al valore atteso della popolazione, \(\mu\).

Questa proprietà è una delle basi della statistica inferenziale. La media campionaria è uno degli stimatori più utilizzati in pratica proprio perché, oltre a essere non distorta, presenta altre proprietà utili, come l’efficienza (soprattutto per \(n\) grande).

34.5.2 Varianza della Media Campionaria

Dato che le variabili \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sono indipendenti ed identicamente distribuite (iid) con valore atteso \(\mu\) e varianza \(\sigma^2\), possiamo calcolare la varianza della media campionaria \(\bar{X}\) come segue:

\[ \begin{align*} \text{Var}(\bar{X}) & = \text{Var}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) \\ & = \frac{1}{n^2} \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \\ & = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) \quad \text{(dato che le $X_i$ sono indipendenti, i termini incrociati si annullano)} \\ & = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 \\ & = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 \\ & = \frac{\sigma^2}{n} \end{align*} \]

Quindi, la varianza della media campionaria di \(n\) variabili iid è uguale alla varianza di ciascuna variabile singola divisa per \(n\), che in questo caso è \(\sigma^2/n\).

Questo risultato riflette un’importante proprietà statistica:

• all’aumentare di \(n\), la varianza della media campionaria diminuisce, rendendo la media campionaria una stima più precisa del valore atteso \(\mu\). La riduzione della varianza è proporzionale a \(1/n\), quindi raddoppiare il campione riduce la varianza della media campionaria di un fattore 2.

In conclusione, la formula \(\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}\) mostra che la precisione della media campionaria aumenta con la dimensione del campione, poiché la varianza diminuisce. Questo principio è alla base dell’importanza di campioni più grandi nella stima statistica.

34.6 Legge dei Grandi Numeri

La Legge dei Grandi Numeri (LLN, dall’inglese Law of Large Numbers) è uno dei pilastri fondamentali della teoria della probabilità. Essa descrive come, all’aumentare del numero di osservazioni, la media campionaria si avvicini stabilmente al valore atteso teorico. In termini formali, se \(\bar{X}_n\) rappresenta la media di \(n\) osservazioni indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) con valore atteso \(\mu\), allora \(\bar{X}_n \to \mu\) quando \(n \to \infty\). Questo principio è cruciale per comprendere la relazione tra dati empirici e modelli teorici, come discusso nella sezione sull’interpretazione della probabilità (Capitolo 25).

Esistono due versioni principali della Legge dei Grandi Numeri:

1. Legge Forte: La media campionaria \(\bar{X}_n\) converge quasi certamente a \(\mu\), il che significa che, con probabilità 1, la media osservata si avvicina indefinitamente al valore teorico al crescere di \(n\).

2. Legge Debole: La media campionaria \(\bar{X}_n\) converge a \(\mu\) in probabilità, ovvero, per ogni \(\varepsilon > 0\), la probabilità che la differenza tra \(\bar{X}_n\) e \(\mu\) superi \(\varepsilon\) tende a zero al crescere di \(n\). Formalmente:

   \[ \Pr\bigl(| \bar{X}_n - \mu| > \varepsilon\bigr) \to 0 \quad \text{al crescere di }n. \]

34.6.1 Applicazioni in Psicologia

In psicologia, la Legge dei Grandi Numeri ha implicazioni significative. Ad esempio, se si vuole stimare con precisione la proporzione di individui che manifestano un determinato comportamento o la media di un test cognitivo in una popolazione, è necessario raccogliere un numero sufficiente di osservazioni. Solo con un campione ampio la media campionaria si avvicinerà alla media “vera” della popolazione, riducendo l’incertezza e migliorando l’affidabilità delle stime.

34.6.2 Forma Debole della Legge dei Grandi Numeri

La forma debole della LGN, dimostrata per la prima volta da Jacob Bernoulli nel suo lavoro Ars Conjectandi, afferma che la media campionaria converge in probabilità alla media teorica (Hacking, 2006). In termini pratici, questo significa che, man mano che il numero di osservazioni aumenta, la probabilità che la differenza tra la media osservata e la media teorica superi un margine di errore \(\varepsilon\) diventa sempre più piccola. Formalmente:

\[ \lim_{{n \to \infty}} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu\right| \geq \varepsilon\right) = 0, \]

dove:

• \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sono variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.),
• \(\mu\) è la media teorica,
• \(\varepsilon\) è un numero positivo arbitrariamente piccolo.

34.6.3 Forma Forte della Legge dei Grandi Numeri

La forma forte della LGN, sviluppata successivamente da matematici come Kolmogorov, è un enunciato più potente. Essa stabilisce che la media campionaria converge quasi sicuramente alla media teorica. Questo implica che, con probabilità 1, la media osservata si avvicina indefinitamente al valore teorico man mano che il numero di prove tende all’infinito. Formalmente:

\[ P\left(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mu\right) = 1. \]

34.6.4 Importanza e Critiche

La Legge dei Grandi Numeri è fondamentale per garantire la validità delle stime empiriche, ma la sua applicazione pratica richiede attenzione. Ad esempio, in psicologia, la raccolta di un numero sufficiente di osservazioni può essere costosa o difficile, specialmente quando si studiano fenomeni rari o popolazioni specifiche. Inoltre, l’assunzione di indipendenza e identica distribuzione delle osservazioni potrebbe non essere sempre realistica in contesti applicativi complessi. Nonostante queste sfide, la LGN rimane un principio essenziale per comprendere come i dati empirici possano avvicinarsi alle proprietà teoriche di una popolazione.

34.7 Teorema del Limite Centrale

Oltre alla convergenza, un ulteriore risultato importante è che la distribuzione di \(\bar{X}_n\) si approssima alla normale man mano che \(n\) cresce, anche se i singoli \(X_i\) non sono distribuiti normalmente. Questo è il Teorema del Limite Centrale (TLC):

Enunciato (informale)
Se \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sono variabili iid con media \(\mu\) e deviazione standard \(\sigma\), la distribuzione di \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \] diventa approssimativamente normale con media \(\mu\) e deviazione standard \(\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) quando \(n\) è sufficientemente grande.

Per il caso 0-1 (presenza/assenza di un tratto), \(\bar{X}\) è quindi circa normale con media \(p\) e varianza \(\frac{p(1-p)}{n}\). Il TLC consente, tra l’altro, di costruire intervalli di confidenza e di calcolare probabilità che la stima si discosti di una certa quantità dal vero valore.

Esempio 34.1 Per visualizzare il Teorema del Limite Centrale (TLC) in azione, possiamo condurre una simulazione. Immaginiamo una popolazione distribuita in modo uniforme. Estraiamo 300 campioni di dimensione \(n = 30\) da questa popolazione e osserviamo come la distribuzione campionaria delle medie di questi campioni converga a una distribuzione normale. Questa simulazione fornirà un’illustrazione concreta dell’efficacia del TLC nell’approssimare distribuzioni reali.

# Impostiamo il seed per la riproducibilità dei risultati
set.seed(42)

# Generiamo una popolazione con distribuzione uniforme
population <- runif(5000, min = 0, max = 1)

# Passo 1: Visualizziamo l'istogramma della popolazione utilizzando ggplot2
ggplot(data.frame(population), aes(x = population)) +
  geom_histogram(
    aes(y = after_stat(density)),
    bins = 30, fill = "lightblue", color = "black"
  ) +
  labs(title = "Distribuzione della Popolazione", x = "Valore", y = "Densità")

# Passo 2 e 3: Estraiamo campioni casuali e calcoliamo le medie campionarie
sample_size <- 30
num_samples <- 300

# Vettore vuoto per memorizzare le medie campionarie
sample_means <- c()

for (i in 1:num_samples) {
  # Estraiamo un campione casuale
  sample <- sample(population, size = sample_size, replace = TRUE)
  
  # Calcoliamo la media del campione
  sample_means[i] <- mean(sample)
}

# Calcoliamo media e varianza delle medie campionarie
x_bar <- mean(sample_means)
std <- sd(sample_means)

print('Media e Varianza delle Medie Campionarie')
#> [1] "Media e Varianza delle Medie Campionarie"
print(x_bar)
#> [1] 0.501
print(std**2)
#> [1] 0.002745

# Calcoliamo media e varianza della popolazione
mu <- mean(population)
sigma <- sd(population)

print('Media e Varianza della Popolazione')
#> [1] "Media e Varianza della Popolazione"
print(mu)
#> [1] 0.5032
print((sigma**2)/sample_size)
#> [1] 0.002824

# Passo 4: Visualizziamo l'istogramma delle medie campionarie utilizzando ggplot2
ggplot(data.frame(sample_means), aes(x = sample_means)) +
  geom_histogram(
    aes(y = after_stat(density)),
    bins = 30, fill = "lightblue", color = "black"
  ) +
  stat_function(
    fun = dnorm, args = list(mean = x_bar, sd = std), color = "black", size = 1
  ) +
  labs(
    title = "Distribuzione delle Medie Campionarie", x = "Media Campionaria", y = "Densità"
  ) +
  theme(legend.position = "top") 

Spiegazione del codice e dei risultati

1. Popolazione: Abbiamo generato una popolazione di 5000 osservazioni distribuite uniformemente tra 0 e 1. La distribuzione uniforme è stata scelta perché è chiaramente non normale, il che rende più evidente l’effetto del TLC.

2. Campionamento: Abbiamo estratto 300 campioni casuali, ciascuno di dimensione \(n = 30\), dalla popolazione. Per ogni campione, abbiamo calcolato la media.

3. Distribuzione delle Medie Campionarie: Le medie dei campioni sono state raccolte e la loro distribuzione è stata visualizzata tramite un istogramma. Nonostante la popolazione originale non fosse normale, la distribuzione delle medie campionarie si avvicina a una distribuzione normale, dimostrando il TLC.

4. Confronto tra Popolazione e Campioni: Abbiamo confrontato la media e la varianza della popolazione con quelle delle medie campionarie. Come previsto dal TLC, la media delle medie campionarie è molto vicina alla media della popolazione, mentre la varianza delle medie campionarie è ridotta di un fattore pari alla dimensione del campione (\(n = 30\)).

Questa simulazione illustra chiaramente come il TLC permetta di approssimare la distribuzione delle medie campionarie a una distribuzione normale, anche quando la popolazione originale non è normale. Questo risultato è fondamentale per molte applicazioni pratiche della statistica inferenziale.

Esempio 34.2 Sebbene i risultati teorici siano solidi, è comune utilizzare la simulazione Monte Carlo per verificarne la validità in contesti pratici. Supponiamo, ad esempio, che la proporzione reale di individui che soffrono di un certo sintomo in una popolazione sia \(p = 0.45\). Possiamo simulare campioni di dimensione \(n\) e calcolare la media campionaria \(\bar{X}\) (ovvero la proporzione osservata in ciascun campione). Ripetendo questo processo molte volte, otteniamo una distribuzione empirica delle \(\bar{X}\). Se l’approssimazione normale fornita dal Teorema del Limite Centrale (TLC) è valida, ci aspettiamo che:

1. La media delle \(\bar{X}\) sia molto vicina al valore teorico \(p = 0.45\).
2. La varianza delle \(\bar{X}\) sia approssimativamente uguale a \(p(1-p)/n\), come previsto dalla teoria.

Un esempio di codice in R per questa simulazione è il seguente:

p <- 0.45  # Proporzione reale nella popolazione
n <- 1000  # Dimensione del campione
B <- 10000 # Numero di campioni simulati

# Simulazione Monte Carlo: generiamo B campioni e calcoliamo le medie campionarie
x_hat <- replicate(B, {
  x <- sample(c(0, 1), size = n, replace = TRUE, prob = c(1-p, p))
  mean(x)
})

# Media delle medie campionarie (dovrebbe essere vicina a p)
mean(x_hat)  # Risultato atteso: ~ 0.45
#> [1] 0.4501

# Deviazione standard delle medie campionarie (dovrebbe essere vicina a sqrt(p*(1-p)/n))
sd(x_hat)    # Risultato atteso: ~ sqrt(0.45 * 0.55 / 1000)
#> [1] 0.0157

Risultati attesi e interpretazione:

• Media delle medie campionarie: Il valore medio di x_hat dovrebbe essere molto vicino a \(0.45\), confermando che la media campionaria è uno stimatore non distorto della proporzione reale \(p\).
• Deviazione standard delle medie campionarie: La deviazione standard di x_hat dovrebbe avvicinarsi a \(\sqrt{0.45 \times 0.55 / 1000} \approx 0.0157\), in linea con la formula teorica \(\sqrt{p(1-p)/n}\). Questo valore rappresenta l’incertezza associata alla stima della proporzione.

Effetto della dimensione del campione:

• Aumentando la dimensione del campione \(n\), l’ampiezza della distribuzione delle medie campionarie (e quindi l’incertezza di \(\bar{X}\)) diminuisce. Questo è coerente con la teoria, poiché la varianza delle medie campionarie è inversamente proporzionale a \(n\). In altre parole, campioni più grandi forniscono stime più precise del parametro della popolazione.

Questa simulazione dimostra concretamente come il Teorema del Limite Centrale garantisca che, anche per popolazioni non normali (come in questo caso, dove i dati sono binari), la distribuzione delle medie campionarie si avvicini a una distribuzione normale con media \(p\) e varianza \(p(1-p)/n\), purché \(n\) sia sufficientemente grande.

34.7.1 Margine di errore e intervalli di confidenza

Se \(\bar{X}\) è approssimato da \(\mathcal{N}(p, \frac{p(1-p)}{n})\), allora \[ Z = \frac{\bar{X} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \] segue (approssimativamente) la distribuzione normale standard \(\mathcal{N}(0,1)\). In pratica, non conoscendo \(p\), possiamo sostituirlo con \(\bar{X}\) nello stimatore di errore standard (\(\mathrm{plug\text{-}in}\)):

\[ \hat{\mathrm{SE}}(\bar{X}) = \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}. \] Spesso si costruisce un intervallo di confidenza approssimato al 95% come:

\[ \bar{X} \,\pm\, 1.96 \times \hat{\mathrm{SE}}(\bar{X}), \] dove 1.96 deriva dal fatto che circa il 95% della distribuzione normale standard sta nell’intervallo \([-1.96,+1.96]\). Questo intervallo rappresenta la fascia di incertezza attorno alla stima, che si restringe all’aumentare di \(n\).

34.8 Oltre la Media: Altre Distribuzioni Campionarie

Finora ci siamo concentrati sulla media campionaria (o proporzione), ma in molti casi di interesse psicologico o più in generale statistico, potremmo voler studiare altre statistiche tratte da un campione. Due esempi importanti sono il massimo campionario (utile per analisi di eventi estremi, punteggi massimi nei test, tempi di reazione record, ecc.) e la varianza campionaria (fondamentale per misurare la variabilità dei punteggi in un test psicometrico, ad esempio).

34.8.1 Massimo campionario

Quando siamo interessati a misurare la performance “estrema” di un gruppo (ad esempio il punteggio più elevato in un test cognitivo, oppure la latenza di reazione più veloce se si ragiona in termini di minimi), la statistica di riferimento è il massimo (o il minimo) nel campione.

34.8.1.1 Teoria e concetti chiave

• Definizione: Dato un campione \(\{X_1, X_2, \dots, X_n\}\), il massimo campionario è \[ M = \max\{X_1, X_2, \dots, X_n\}. \] Questa variabile casuale dipende ovviamente dalla distribuzione dei singoli \(X_i\).

• Proprietà:

  • La distribuzione di \(M\) spesso risulta asimmetrica e “spostata a destra” rispetto alla distribuzione di partenza. Anche se la popolazione originaria fosse normalmente distribuita, la distribuzione del massimo non sarà normale.
    
  • Il valore atteso \(E[M]\) supera la media \(\mu\) della popolazione perché, fra i \(n\) individui osservati, “vince” sempre il più grande.

• Implicazioni pratiche:

  • Analizzare i massimi (o i minimi) è cruciale nello studio di fenomeni estremi (per esempio, individuare il picco di stress in un compito cognitivo o la più alta temperatura registrata in una sperimentazione ambientale).
  • La cosiddetta teoria degli estremi si fonda proprio sull’analisi di come i massimi (o minimi) si distribuiscono al crescere di \(n\). Questa ha applicazioni in diverse discipline: dalla psicologia (prestazione massima) all’ingegneria (carichi estremi) fino alla finanza (rischi estremi).

Esempio 34.3 Nel seguente esempio, simuliamo 10.000 esperimenti. In ognuno:

1. Generiamo 5 osservazioni da una popolazione normale con media \(\mu = 100\) e deviazione standard \(\sigma = 15\).
   
2. Ne calcoliamo il massimo campionario.

Infine, confrontiamo la distribuzione di questi massimi con la densità della distribuzione di partenza (cioè la normale \(\mathcal{N}(100, 15^2)\)).

# Impostazioni iniziali
mu <- 100
sigma <- 15
x <- seq(mu - 3 * sigma, mu + 3 * sigma, length.out = 100)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma)

# Simulazione di 10.000 esperimenti con campioni di 5 osservazioni
set.seed(123)  # Per riproducibilità
sample_maxes <- replicate(10000, max(rnorm(5, mean = mu, sd = sigma)))

# Creiamo un data frame per il grafico
data <- data.frame(SampleMaxes = sample_maxes)
density_data <- data.frame(x = x, y = y)

# Grafico con ggplot2
ggplot(data, aes(x = SampleMaxes)) +
  geom_histogram(
    aes(y = after_stat(density)),
    bins = 30,
    fill = "lightblue",
    color = "black",
    alpha = 0.7
  ) +
  geom_line(data = density_data, aes(x = x, y = y), size = 1, color = "black") +
  labs(
    title = "Distribuzione dei massimi campionari",
    subtitle = "Confronto con la distribuzione originale",
    x = "Massimo campionario",
    y = "Densità"
  ) +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5)
  )

Osservazioni:

• L’istogramma, che rappresenta la distribuzione dei massimi campionari, è spostato a destra rispetto alla distribuzione della popolazione (tracciata in rosso).
• Ciò evidenzia che \(M\) tende a fornire valori più alti della media \(\mu = 100\). Se ripetessimo l’esperimento con campioni di dimensione maggiore di 5, questo effetto si accentuerebbe ulteriormente.

34.8.2 2. Varianza campionaria

Lo studio della varianza (o in generale della variabilità) è un altro esempio cruciale in contesti psicologici. Se vogliamo descrivere quanto differiscono i punteggi di un test di personalità, o di un test cognitivo, non basta guardare solo alla media campionaria: ci interessa anche la dispersione.

34.8.2.1 Teoria e concetti chiave

• Stima della varianza:
  Stimare la varianza \(\sigma^2\) di una popolazione non è banale. La formula \[ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \] tende a sottostimare \(\sigma^2\). Per ottenere uno stimatore non distorto, si usa invece: \[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2. \] L’uso di \(n-1\) serve a correggere la perdita di un grado di libertà (poiché \(\bar{Y}\) è calcolata sui dati) e garantisce che \(E[S^2] = \sigma^2\).

• Concetto di distorsione:
  Chiamiamo uno stimatore \(\hat{\theta}\) non distorto se il suo valore atteso è uguale al parametro vero \(\theta\): \(E[\hat{\theta}] = \theta\). Con la formula a denominatore \(n-1\), la varianza campionaria risulta appunto non distorta.

Esempio 34.4 Simuliamo 10.000 esperimenti, ognuno con \(n=5\) osservazioni generate da \(\mathcal{N}(100, 15^2)\). Per ciascun campione, calcoliamo: 1. La varianza “distorta” \(\frac{1}{n}\sum_i (X_i - \bar{X})^2\). 2. La varianza “corretta” con \(n-1\).

set.seed(123)  # Per riproducibilità

# Funzione per calcolare varianze con n e con n-1
calc_vars <- function(n = 5, mu = 100, sigma = 15) {
  sample_data <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)
  var_n <- sum((sample_data - mean(sample_data))^2) / n
  var_n_minus_1 <- var(sample_data)  # In R, var() usa di default n-1
  c(var_n, var_n_minus_1)
}

# Simuliamo 10.000 campioni
B <- 10000
vars_matrix <- replicate(B, calc_vars())
sample_vars_n <- vars_matrix[1, ]
sample_vars_n_minus_1 <- vars_matrix[2, ]

# Confrontiamo graficamente
data_n <- data.frame(SampleVars = sample_vars_n, Type = "Con n")
data_n_minus_1 <- data.frame(SampleVars = sample_vars_n_minus_1, Type = "Con n-1")
combined_data <- rbind(data_n, data_n_minus_1)

ggplot(combined_data, aes(x = SampleVars, color = Type)) +
  geom_density(size = 1.1) +
  labs(
    title = "Distribuzione delle varianze campionarie",
    subtitle = "Confronto: denominatore n vs. n-1",
    x = "Varianza campionaria",
    y = "Densità"
  ) +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5)
  ) +
  scale_color_manual(values = c("Con n" = "gray", "Con n-1" = "black"))

Osservazioni:

• La curva corrispondente a “Con \(n\)” tende a sottostimare la varianza, mentre quella “Con \(n-1\)” si centra meglio attorno a \(\sigma^2 = 15^2 = 225\).

• Se verifichiamo le medie delle due distribuzioni:

  mean(sample_vars_n)
  #> [1] 180.7
  mean(sample_vars_n_minus_1)
  #> [1] 225.8

  troveremo che la prima è sensibilmente inferiore a 225, mentre la seconda si avvicina di più al valore vero.

Sia il massimo campionario sia la varianza campionaria dimostrano come non tutte le distribuzioni campionarie ereditino le stesse proprietà della media. Nel caso del massimo, la variabile risulta spostata verso valori elevati e non segue una forma gaussiana; nel caso della varianza, si deve porre attenzione alla formula usata, per evitare distorsioni sistematiche.

In sintesi:

1. Massimo campionario: utile per l’analisi di fenomeni estremi (o massimi prestazionali), con una distribuzione tipicamente asimmetrica.
   
2. Varianza campionaria: richiede la correzione di Bessel (denominatore \(n-1\)) per essere uno stimatore non distorto di \(\sigma^2\).

Capire le proprietà di queste (e altre) distribuzioni campionarie consente allo sperimentatore di valutare correttamente le incertezze nelle stime, di evitare errori di interpretazione e di utilizzare gli stimatori più appropriati in base al tipo di fenomeno studiato.

34.9 Errore standard, incertezza inferenziale e bias

34.9.1 Errore standard e incertezza

L’errore standard (SE) è la misura di quanto una data statistica (ad esempio la media) può variare da un campione all’altro per pura casualità di campionamento. In un contesto psicologico, può essere usato per mostrare graficamente l’affidabilità di una misura. Esporre i risultati di un test psicometrico riportando solo la media, senza un’idea dell’errore standard o di un intervallo di confidenza, rischia di dare un’illusione di precisione non giustificata.

34.9.2 Bias: perché non basta un campione grandissimo

Aumentare la dimensione campionaria \(n\) riduce l’errore standard, ma non elimina possibili bias sistematici (si veda, ad esempio, la disussione fornita dal Andrew Gelman su questo tema). Ad esempio:

• Se i partecipanti più ansiosi evitano di partecipare allo studio (bias di selezione), la proporzione \(\bar{X}\) sarà sistematicamente sottostimata.
• Se qualcuno falsifica le risposte per desiderabilità sociale (bias di risposta), la media misurata può allontanarsi dal valore vero in maniera non corretta da un semplice aumento del campione.
• Se lo strumento di misura (ad es. un questionario) è mal tarato o concettualmente scorretto, l’intero studio può soffrirne (misurazione errata).

Quando è presente un bias, nessun aumento del numero di partecipanti potrà rimuoverlo: si otterranno stime molto “precise” (varianza piccola) ma sistematicamente lontane dal valore reale.

34.10 Riflessioni Conclusive

Questo percorso illustra come, in un contesto frequentista, sia essenziale distinguere fra:

1. Popolazione e parametro (ad es. la vera proporzione di un sintomo psicologico, o la vera media di un punteggio): entità teoriche che non osserviamo direttamente.
2. Campione e stima (il dato empirico raccolto su un campione, e il calcolo – ad esempio la media – derivato dal campione).

La distribuzione campionaria di una statistica, specialmente la media o la proporzione, rivela:

• Che la media campionaria è uno stimatore non distorto (il suo valore atteso coincide con quello della popolazione).
• Che la sua precisione (cioè \(\frac{1}{\mathrm{Var}(\bar{X})}\)) aumenta con la dimensione del campione.
• Che il Teorema del Limite Centrale garantisce un’approssimazione normale per \(\bar{X}\) se \(n\) è sufficientemente ampio, consentendo di costruire intervalli di confidenza e valutare probabilisticamente le stime.
• Che l’errore standard (SE) descrive la variabilità dovuta al campionamento, mentre i bias sistematici non vengono rimossi aumentando \(n\).

In sostanza, chi effettua ricerche in psicologia – come in qualunque altra disciplina – deve considerare sia l’incertezza intrinseca (errore casuale di campionamento) sia l’eventuale presenza di bias strutturali. Solo in questo modo si possono interpretare in modo appropriato i risultati delle analisi e valutare correttamente la credibilità delle conclusioni sui processi psicologici o sui fenomeni clinici d’interesse.

Esercizi

Problemi

Esercizi sulla distribuzione campionaria sono disponibili sulla seguente pagina web.

Informazioni sull’Ambiente di Sviluppo

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#> R version 4.4.2 (2024-10-31)
#> Platform: aarch64-apple-darwin20
#> Running under: macOS Sequoia 15.3.1
#> 
#> Matrix products: default
#> BLAS:   /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.4-arm64/Resources/lib/libRblas.0.dylib 
#> LAPACK: /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.4-arm64/Resources/lib/libRlapack.dylib;  LAPACK version 3.12.0
#> 
#> locale:
#> [1] C/UTF-8/C/C/C/C
#> 
#> time zone: Europe/Rome
#> tzcode source: internal
#> 
#> attached base packages:
#> [1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     
#> 
#> other attached packages:
#>  [1] thematic_0.1.6   MetBrewer_0.2.0  ggokabeito_0.1.0 see_0.10.0      
#>  [5] gridExtra_2.3    patchwork_1.3.0  bayesplot_1.11.1 psych_2.4.12    
#>  [9] scales_1.3.0     markdown_1.13    knitr_1.49       lubridate_1.9.4 
#> [13] forcats_1.0.0    stringr_1.5.1    dplyr_1.1.4      purrr_1.0.4     
#> [17] readr_2.1.5      tidyr_1.3.1      tibble_3.2.1     ggplot2_3.5.1   
#> [21] tidyverse_2.0.0  rio_1.2.3        here_1.0.1      
#> 
#> loaded via a namespace (and not attached):
#>  [1] generics_0.1.3    stringi_1.8.4     lattice_0.22-6    hms_1.1.3        
#>  [5] digest_0.6.37     magrittr_2.0.3    evaluate_1.0.3    grid_4.4.2       
#>  [9] timechange_0.3.0  fastmap_1.2.0     rprojroot_2.0.4   jsonlite_1.9.1   
#> [13] mnormt_2.1.1      cli_3.6.4         rlang_1.1.5       munsell_0.5.1    
#> [17] withr_3.0.2       tools_4.4.2       parallel_4.4.2    tzdb_0.4.0       
#> [21] colorspace_2.1-1  pacman_0.5.1      vctrs_0.6.5       R6_2.6.1         
#> [25] lifecycle_1.0.4   htmlwidgets_1.6.4 pkgconfig_2.0.3   pillar_1.10.1    
#> [29] gtable_0.3.6      glue_1.8.0        xfun_0.51         tidyselect_1.2.1 
#> [33] rstudioapi_0.17.1 farver_2.1.2      htmltools_0.5.8.1 nlme_3.1-167     
#> [37] labeling_0.4.3    rmarkdown_2.29    compiler_4.4.2

Bibliografia

Hacking, I. (2006). The emergence of probability: A philosophical study of early ideas about probability, induction and statistical inference. Cambridge University Press.

Schervish, M. J., & DeGroot, M. H. (2014). Probability and statistics (Vol. 563). Pearson Education London, UK: