Probabilità

Questa sezione della dispensa introduce la teoria della probabilità, una componente essenziale per la ricerca scientifica. Nell’ambito della scienza, l’inferenza induttiva è di fondamentale importanza, e la probabilità svolge un ruolo cruciale in questo processo. Poiché la scienza non può garantire verità assolute, ma solo approssimazioni corroborate da evidenze, la probabilità diventa lo strumento chiave per quantificare il grado di incertezza associato a un’ipotesi, a una previsione o a un modello. Due scuole di pensiero dominano questo scenario: l’approccio bayesiano, che interpreta la probabilità come misura soggettiva del grado di fiducia in una proposizione, e l’approccio frequentista, che la definisce come frequenza relativa di un evento osservabile in condizioni ripetute. Sebbene queste prospettive differiscano radicalmente nell’interpretazione filosofica, entrambe poggiano sullo stesso formalismo matematico. Padroneggiare i concetti fondamentali della probabilità è dunque essenziale per comprendere sia gli strumenti dell’inferenza bayesiana, sia quelli classici dell’analisi statistica.

Questa sezione fornisce le basi teoriche necessarie per navigare entrambi i paradigmi. Partiremo dalle definizioni di probabilità e dalle sue regole fondamentali, per poi introdurre concetti come la probabilità condizionale e il teorema di Bayes, che stanno alla base dell’aggiornamento delle credenze alla luce di nuovi dati. Esploreremo inoltre le proprietà delle variabili casuali, distinguendo tra distribuzioni discrete (a massa di probabilità) e continue (a densità di probabilità). Infine, discuteremo la funzione di verosimiglianza, comune alle due scuole: mentre i bayesiani la integrano con informazioni a priori per costruire distribuzioni posteriori, i frequentisti ne sfruttano il principio della massima verosimiglianza per stimare parametri in modo puramente empirico, senza assumere conoscenze preliminari.