Appendice C — Simbologia di base

Per una scrittura più sintetica possono essere utilizzati alcuni simboli matematici.

• \(\log(x)\): il logaritmo naturale di \(x\).
• L’operatore logico booleano \(\land\) significa “e” (congiunzione forte) mentre il connettivo di disgiunzione \(\lor\) significa “o” (oppure) (congiunzione debole).
• Il quantificatore esistenziale \(\exists\) vuol dire “esiste almeno un” e indica l’esistenza di almeno una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale di unicità \(\exists!\) (“esiste soltanto un”) indica l’esistenza di esattamente una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale \(\nexists\) nega l’esistenza del concetto/oggetto indicato.
• Il quantificatore universale \(\forall\) vuol dire “per ogni.”
• \(\mathcal{A, S}\): insiemi.
• \(x \in A\): \(x\) è un elemento dell’insieme \(A\).
• L’implicazione logica “\(\Rightarrow\)” significa “implica” (se …allora). \(P \Rightarrow Q\) vuol dire che \(P\) è condizione sufficiente per la verità di \(Q\) e che \(Q\) è condizione necessaria per la verità di \(P\).
• L’equivalenza matematica “\(\iff\)” significa “se e solo se” e indica una condizione necessaria e sufficiente, o corrispondenza biunivoca.
• Il simbolo \(\vert\) si legge “tale che.”
• Il simbolo \(\triangleq\) (o \(:=\)) si legge “uguale per definizione.”
• Il simbolo \(\Delta\) indica la differenza fra due valori della variabile scritta a destra del simbolo.
• Il simbolo \(\propto\) si legge “proporzionale a.”
• Il simbolo \(\approx\) si legge “circa.”
• Il simbolo \(\in\) della teoria degli insiemi vuol dire “appartiene” e indica l’appartenenza di un elemento ad un insieme. Il simbolo \(\notin\) vuol dire “non appartiene.”
• Il simbolo \(\subseteq\) si legge “è un sottoinsieme di” (può coincidere con l’insieme stesso). Il simbolo \(\subset\) si legge “è un sottoinsieme proprio di.”
• Il simbolo \(\#\) indica la cardinalità di un insieme.
• Il simbolo \(\cap\) indica l’intersezione di due insiemi. Il simbolo \(\cup\) indica l’unione di due insiemi.
• Il simbolo \(\emptyset\) indica l’insieme vuoto o evento impossibile.
• In matematica, \(\mbox{argmax}\) identifica l’insieme dei punti per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo. In altre parole, \(\mbox{argmax}_x f(x)\) è l’insieme dei valori di \(x\) per i quali \(f(x)\) raggiunge il valore più alto.
• \(a, c, \alpha, \gamma\): scalari.
• \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\): vettori.
• \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}\): matrici.
• \(X \sim p\): la variabile casuale \(X\) si distribuisce come \(p\).
• \(p(\cdot)\): distribuzione di massa o di densità di probabilità.
• \(p(y \mid \boldsymbol{x})\): la probabilità o densità di \(y\) dato \(\boldsymbol{x}\), ovvero \(p(y = \boldsymbol{Y} \mid x = \boldsymbol{X})\).
• \(f(x)\): una funzione arbitraria di \(x\).
• \(f(\boldsymbol{X}; \theta, \gamma)\): \(f\) è una funzione di \(\boldsymbol{X}\) con parametri \(\theta, \gamma\). Questa notazione indica che \(\boldsymbol{X}\) sono i dati che vengono passati ad un modello di parametri \(\theta, \gamma\).
• \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\): distribuzione gaussiana di media \(\mu\) e varianza \(sigma^2\).
• \(\mbox{Beta}(\alpha, \beta)\): distribuzione Beta di parametri \(\alpha\) e \(\beta\).
• \(\mathcal{U}(a, b)\): distribuzione uniforme con limite inferiore \(a\) e limite superiore \(b\).
• \(\mbox{Cauchy}(\alpha, \beta)\): distribuzione di Cauchy di parametri \(\alpha\) (posizione: media) e \(\beta\) (scala: radice quadrata della varianza).
• \(\mathcal{B}(p)\): distribuzione di Bernoulli di parametro \(p\) (probabilità di successo).
• \(\mbox{Bin}(n, p)\): distribuzione binomiale di parametri \(n\) (numero di prove) e \(p\) (probabilità di successo).
• \(\mathbb{KL} (p \mid\mid q)\): la divergenza di Kullback-Leibler da \(p\) a \(q\).