[22  Causalità dai dati osservazionali]{#sec-eda-causalit\(Y\) .quarto-section-identifier}

In questo capitolo imparerai a

• affrontare il problema della causalità anche in assenza di esperimenti;
• riconoscere i quattro confondenti fondamentali (catena, biforcazione, collider, discendente);
• valutare con cautela le inferenze dai dati osservazionali, tenendo conto di debolezze e assunzioni.

Prerequisiti

• Leggere Statistical Rethinking. Focalizzati sul capitolo 1 The Golem of Prague.
• Leggere Causal inference with observational data and unobserved confounding variables di Byrnes & Dee (2024).
• Leggere Causal design patterns for data anal\(Y\)sts (Riederer, 2021). Questo post sul blog fornisce una panoramica di diversi approcci per fare affermazioni causali dai dati osservazionali.
• Leggere The Effect: An Introduction to Research Design and Causality. Focalizzati sul capitolo 10 Treatment Effects.
• Leggere Causal Inference di Scott Cunningham. Focalizzati sul capitolo 3 Directed Acyclic Graphs.
• Leggere Telling Stories with Data (Alexander, 2023). Concentrati sul capitolo 15 Causalit\(Y\) from observational data.

22.1 Introduzione

La pura osservazione dei dati può rivelare correlazioni e pattern nei dati, ma senza un’indagine sulle cause che stanno alla base di tali correlazioni, le conclusioni tratte possono essere fuorvianti o incomplete.

Richard McElreath, nel suo libro “Statistical Rethinking” (McElreath, 2020), utilizza l’analogia dei Golem - creature potenti ma prive di saggezza - per descrivere un approccio metodologico che è stato a lungo predominante in psicologia. Questo approccio si basa esclusivamente sull’analisi delle associazioni statistiche tra variabili, trascurando considerazioni più profonde sulla causalità.

Il metodo in questione si concentra principalmente sul test delle ipotesi nulle, senza stabilire una chiara connessione tra le domande di ricerca riguardanti le relazioni causali e i test statistici impiegati. Questa disconnessione è evidente nella figura successiva, tratta da un manuale di analisi dati di impostazione frequentista, che illustra la procedura raccomandata dai sostenitori di questo approccio per descrivere le associazioni tra variabili.

Esempio di albero decisionale per la selezione di una procedura statistica appropriata. Iniziando dall’alto, l’utente risponde a una serie di domande riguardanti la misurazione e l’intento, arrivando infine al nome di una procedura. Sono possibili molti alberi decisionali simili. (Figura tratta da McElreath (2020)).

È importante notare come tale procedura non fornisca strumenti utili per identificare le effettive cause sottostanti ai fenomeni osservati. Questa limitazione metodologica è stata identificata come uno dei fattori principali che hanno contribuito alla crisi di replicabilità nella ricerca psicologica, come approfondito nel Capitolo 81. L’approccio descritto sopra, pur essendo potente nell’individuare correlazioni, manca della “saggezza” necessaria per distinguere tra semplici associazioni e vere relazioni causali, analogamente ai Golem della metafora di McElreath.

Un problema evidenziato da McElreath (2020) è che processi causali completamente distinti possono generare la stessa distribuzione di risultati osservati. Pertanto, un approccio focalizzato esclusivamente sull’analisi delle associazioni mediante il test dell’ipotesi nulla non è in grado di distinguere tra questi diversi scenari.

L’approccio frequentista, che si limita a descrivere le associazioni tra le variabili, ha una scarsa capacità di rilevare le caratteristiche cruciali dei fenomeni studiati e tende a produrre un alto tasso di falsi positivi (Zwet et al., 2023). È invece necessario utilizzare una metodologia che non si limiti a confutare ipotesi nulle, ma sia in grado di sviluppare modelli causali che rispondano direttamente alle domande di ricerca. In questo capitolo, ci concentreremo sull’introduzione dei concetti fondamentali dell’analisi causale.

22.2 Cos’è la causalità?

Hardt & Recht (2022) introducono il concetto di causalità distinguendo tra osservazione e azione. Ciò che vediamo nell’osservazione passiva è il modo in cui le persone seguono i loro comportamenti abituali, le loro inclinazioni naturali, proiettando lo stato del mondo su un insieme di caratteristiche che abbiamo scelto di evidenziare. Tuttavia, le domande più importanti spesso non riguardano semplici osservazioni.

• Non ci basta sapere che le persone che praticano regolarmente attività fisica soffrono meno d’ansia; vogliamo capire se l’attività fisica riduce effettivamente i livelli d’ansia.
• Non ci accontentiamo di osservare che chi segue una terapia cognitivo-comportamentale (CBT) presenta meno sintomi depressivi; desideriamo verificare se la CBT riduce realmente questi sintomi.
• Non ci limitiamo a constatare che l’uso frequente dei social media è associato a un calo del benessere mentale; vogliamo determinare se l’uso intensivo dei social media causa effettivamente una diminuzione del benessere mentale.

Alla base, il ragionamento causale è un quadro concettuale per affrontare domande sugli effetti di azioni o interventi ipotetici. Una volta compreso quale sia l’effetto di un’azione, possiamo invertire la domanda e chiederci quale azione plausibile abbia causato un determinato evento.

22.3 Effetto Causale

La causalità è un concetto fondamentale in molte discipline, ma non esiste una definizione univoca universalmente accettata. Tuttavia, possiamo adottare una definizione operativa utile per l’analisi empirica.

Definizione 22.1 Diciamo che \(X\) causa \(Y\) se, intervenendo e modificando il valore di \(X\) (il trattamento), la distribuzione di \(Y\) cambia di conseguenza.

Questa definizione enfatizza il ruolo centrale dell’intervento nel determinare una relazione causale. A differenza della correlazione, che si basa sull’osservazione passiva, la causalità implica un’azione attiva che modifica il sistema in esame.

22.3.1 Effetto Medio del Trattamento

Se \(X\) è una variabile binaria, rappresentante la presenza (\(X=1\)) o l’assenza (\(X=0\)) del trattamento, l’effetto dell’intervento è misurato tramite l’effetto medio del trattamento (Average Treatment Effect, ATE):

\[ ATE = \mathbb{E}[Y \mid X=1] - \mathbb{E}[Y \mid X=0] .\]

Questo valore rappresenta quanto, in media, il trattamento modifica l’attesa di \(Y\). È essenziale notare che gli effetti causali sono definiti a livello di popolazione e possono variare tra individui o gruppi, dando origine a effetti di trattamento eterogenei.

22.3.2 Esempio: Terapia Cognitivo-Comportamentale e Ansia

Consideriamo un esempio concreto: supponiamo di voler studiare l’efficacia della terapia cognitivo-comportamentale (CBT) nella riduzione dell’ansia. Se un gruppo di persone ansiose non riceve alcun trattamento, il loro livello d’ansia rimarrà invariato in media. Se invece interveniamo introducendo la CBT (modificando \(X\) da 0 a 1), il livello medio d’ansia nel gruppo tenderà a diminuire (modificando così la distribuzione di \(Y\)).

Questo esempio chiarisce la distinzione tra correlazione e causalità:

• Se osserviamo che le persone che fanno CBT hanno meno ansia, potremmo erroneamente concludere che la CBT è efficace. Tuttavia, la riduzione dell’ansia potrebbe essere dovuta a fattori confondenti, come la maggiore motivazione delle persone che scelgono la terapia.
• Solo un intervento controllato (ad esempio, un esperimento randomizzato in cui è presente un gruppo di controllo) permette di stabilire con certezza l’effetto causale della CBT.

22.3.3 Causalità Diretta e Indiretta

In alcuni casi, un effetto causale può non essere diretto, ma manifestarsi attraverso un meccanismo intermedio. Ad esempio, l’autoefficacia potrebbe non influenzare direttamente le prestazioni accademiche, ma se un intervento aumenta l’autoefficacia, potremmo osservare un miglioramento nell’impegno allo studio, che a sua volta porta a migliori prestazioni. In questo caso, possiamo dire che l’autoefficacia ha un effetto causale indiretto sulle prestazioni accademiche.

22.3.4 Causalità Probabilistica

È importante sottolineare che una relazione causale tra \(X\) e \(Y\) non implica necessariamente che ogni cambiamento in \(X\) porti a un cambiamento immediato o deterministico in \(Y\). In molti contesti, specialmente in psicologia, le relazioni causali sono probabilistiche: l’intervento su \(X\) altera la distribuzione di probabilità di \(Y\), senza garantire un esito certo per ogni individuo. Questo approccio probabilistico è cruciale per comprendere le dinamiche causali in sistemi complessi e multifattoriali.

In sintesi, l’analisi causale è uno strumento essenziale per la ricerca empirica, permettendo di andare oltre la semplice correlazione e comprendere i meccanismi che regolano i fenomeni osservati. La chiave per stabilire una relazione causale solida risiede nella progettazione di esperimenti o nell’uso di metodi statistici avanzati per identificare e correggere i possibili bias derivanti da fattori confondenti.

22.4 I Limiti dell’Osservazione

Per comprendere i limiti dell’osservazione passiva e la necessità di indagare le relazioni causali sottostanti, Hardt & Recht (2022) citano il celebre esempio delle ammissioni ai corsi di laurea dell’Università della California, Berkeley, nel 1973. In quell’anno, 12,763 candidati furono considerati per l’ammissione in uno dei 101 dipartimenti o major interdipartimentali. Di questi, 4,321 erano donne e 8,442 erano uomini. I dati aggregati mostrano che circa il 35% delle donne fu ammesso, rispetto al 44% degli uomini. Test statistici indicano che questa differenza non è attribuibile al caso, suggerendo una disparità nei tassi di ammissione tra i generi.

Un’analisi simile si osserva considerando le decisioni aggregate di ammissione nei sei principali dipartimenti di UC Berkeley. Il tasso di ammissione complessivo per gli uomini era del 44%, mentre per le donne solo del 30%, una differenza statisticamente credibile.

Tuttavia, poiché ogni dipartimento ha autonomia nelle decisioni di ammissione, è utile esaminare il possibile bias di genere a livello di singolo dipartimento (dati disaggregati).

22.4.1 Analisi dei Dati Disaggregati

Uomini

Dipartimento	Candidati	Ammessi (%)
A	825	62
B	520	60
C	325	37
D	417	33
E	191	28
F	373	6

Donne

Dipartimento	Candidati	Ammessi (%)
A	108	82
B	25	68
C	593	34
D	375	35
E	393	24
F	341	7

Dall’analisi dei dati disaggregati emerge che, tra i sei dipartimenti più grandi, quattro presentano un tasso di ammissione più alto per le donne, mentre due favoriscono gli uomini. Tuttavia, questi due dipartimenti da soli non possono spiegare la grande differenza nei tassi di ammissione osservata nei dati aggregati. Questo suggerisce che la tendenza generale di un tasso di ammissione più alto per gli uomini si inverte quando si analizzano i dati suddivisi per dipartimento.

22.4.2 La Vera Ragione della Differenza nei Tassi di Ammissione

L’analisi di questi dati suggerisce che l’apparente svantaggio per le donne non derivava da una discriminazione diretta nei criteri di selezione, ma piuttosto da una scelta differente dei corsi di studio. In generale, le donne tendevano a candidarsi per dipartimenti con un numero elevato di concorrenti e tassi di ammissione più bassi (come lettere o psicologia), mentre gli uomini erano più propensi a fare domanda per dipartimenti con tassi di accettazione più alti (come ingegneria o fisica).

Questa dinamica riflette differenze sistemiche e strutturali nei percorsi educativi e professionali, più che una discriminazione esplicita nei criteri di ammissione. Lo studio originale evidenzia che le donne erano spesso indirizzate, fin dalla scuola, verso campi di studio con meno finanziamenti, prospettive di carriera più limitate e tassi di completamento inferiori.

La vera forma di discriminazione, dunque, non risiedeva nelle politiche di ammissione di UC Berkeley, ma in una cultura che alimentava aspettative diverse in base al genere, influenzando le scelte accademiche e professionali delle donne sin dall’infanzia.

22.4.3 Perché il Paradosso di Simpson Inganna?

Il paradosso di Simpson (che si manifesta nei dati sulle ammissioni ai corsi di laurea dell’Università della California, Berkeley, nel 1973) mette in luce un errore comune: assumere che una tendenza osservata nei dati aggregati sia necessariamente valida a livello di sottogruppi. L’intuizione ci porta a credere che, se nel complesso le donne hanno un tasso di ammissione più basso, questo debba essere vero anche per ciascun dipartimento. In realtà, il paradosso dimostra che le statistiche aggregate possono essere fuorvianti se non si tiene conto della distribuzione interna dei dati.

Questo caso ci ricorda anche l’importanza di distinguere tra correlazione e causalità. Osservare un dato (meno donne ammesse) non implica automaticamente una causa (discriminazione diretta). Solo un’analisi più approfondita, che consideri le scelte individuali e le strutture socio-culturali di riferimento, può portare a conclusioni più accurate.

In sintesi, i dati delle ammissioni a UC Berkeley non dimostrano necessariamente una discriminazione di genere diretta, ma sollevano questioni più ampie sulle differenze nei percorsi accademici di uomini e donne. Per comprendere realmente il fenomeno, servirebbero studi più approfonditi, capaci di analizzare le cause profonde di queste scelte educative. L’inferenza causale è uno strumento fondamentale in questo processo, poiché permette non solo di selezionare le variabili chiave da analizzare, ma anche di formulare spiegazioni più solide e plausibili.

22.5 Come Scoprire le Relazioni Causali?

Il metodo più rigoroso per identificare relazioni causali è rappresentato dagli studi randomizzati controllati (RCT, Randomized Controlled Trials). La randomizzazione, ovvero l’assegnazione casuale dei partecipanti ai gruppi di trattamento e controllo, assicura che l’influenza di eventuali variabili confondenti sia equamente distribuita tra i gruppi. Di conseguenza, se dopo l’intervento si osserva una differenza sistematica tra i gruppi, questa può essere attribuita con elevata probabilità all’effetto del trattamento, poiché tutte le altre fonti di variazione sono state bilanciate grazie alla randomizzazione.

Gli RCT sono considerati il gold standard per l’inferenza causale, ma presentano alcuni limiti. In molti casi, l’implementazione di un esperimento controllato è impossibile per vincoli etici o pratici. Ad esempio, non si può randomizzare l’esposizione a fattori di rischio nocivi o imporre determinate condizioni di vita ai partecipanti. Inoltre, le condizioni sperimentali sono spesso artificiali, il che pone un problema di validità esterna: i risultati ottenuti in un contesto controllato potrebbero non generalizzarsi a contesti reali.

Quando gli RCT non sono praticabili, i ricercatori ricorrono a disegni osservazionali, che offrono maggiore flessibilità e adattabilità ai contesti naturali. Tuttavia, il principale limite di questi studi è la difficoltà nell’identificazione causale, poiché l’assenza di randomizzazione espone i risultati al rischio di bias da confondimento. Per affrontare questa sfida, vengono adottate tecniche statistiche avanzate che permettono di avvicinarsi a stime causali più affidabili.

22.5.1 Variabili Confondenti

Le variabili confondenti rappresentano uno degli ostacoli principali nell’analisi causale. Una variabile confondente è un fattore che influenza sia la variabile indipendente (\(X\)) sia la variabile dipendente (\(Y\)), generando un’associazione spuria tra le due. In altre parole, la relazione osservata tra \(X\) e \(Y\) potrebbe non riflettere un nesso causale diretto, ma essere il risultato dell’influenza esercitata da una terza variabile.

Negli studi osservazionali, se le variabili confondenti non vengono adeguatamente identificate e controllate, possono introdurre bias nelle stime degli effetti, portando a conclusioni errate. In assenza di un disegno sperimentale controllato, ciò che si osserva nei dati potrebbe non corrispondere a ciò che accadrebbe se si potesse manipolare direttamente \(X\) in un esperimento randomizzato.

22.5.2 Approcci per il Controllo delle Variabili Confondenti

Per stabilire relazioni causali affidabili, è fondamentale distinguere gli effetti della variabile indipendente (\(X\)) da quelli delle variabili confondenti (\(Z\)), che potrebbero generare associazioni spurie. Se le variabili confondenti non vengono adeguatamente controllate, possono introdurre bias nelle stime degli effetti e compromettere la validità delle conclusioni tratte dai dati osservazionali. Esistono due approcci principali per affrontare questo problema:

1. Controllo sperimentale: Questo metodo viene implementato attraverso il disegno dello studio e si basa sulla randomizzazione, che assicura una distribuzione casuale delle variabili confondenti tra il gruppo di trattamento e il gruppo di controllo. In questo modo, ogni differenza osservata tra i gruppi dopo il trattamento può essere attribuita con maggiore certezza all’intervento, poiché tutte le altre fonti di variazione sono bilanciate in media.
2. Controllo statistico: Quando la randomizzazione non è possibile, è necessario applicare tecniche statistiche per correggere il bias da confondimento. Questo approccio mira a stimare l’effetto causale di \(X\) su \(Y\) eliminando l’influenza di eventuali variabili confondenti attraverso modelli appropriati.

22.5.2.1 Controllo Statistico e le sue Sfide

Uno dei metodi più comuni per il controllo statistico delle variabili confondenti è il condizionamento su \(Z\). Questo implica stimare l’effetto di \(X\) su \(Y\) all’interno di ciascun livello della variabile confondente \(Z\), per poi calcolare una media ponderata dell’effetto su tutta la popolazione. Tuttavia, questo approccio presenta due sfide fondamentali:

1. Identificazione delle variabili confondenti: È necessario conoscere e includere tutte le possibili variabili confondenti nel modello. Tuttavia, alcune potrebbero essere sconosciute o latenti, rendendo incompleto il controllo del confondimento.
2. Accuratezza della misurazione: Anche quando le variabili confondenti sono note, la loro misurazione potrebbe essere imprecisa o soggetta a errori, compromettendo la validità dell’analisi e introducendo ulteriore bias.

Per ovviare a questi problemi, vengono impiegate tecniche avanzate di controllo statistico, come:

• Regressione multipla: Include le variabili confondenti come covariate in un modello di regressione per stimare l’effetto netto di \(X\) su \(Y\).
• Propensity Score Matching (PSM): Confronta individui con caratteristiche simili nei gruppi di trattamento e controllo, riducendo il bias da confondimento.
• Stratificazione: Suddivide il campione in sottogruppi omogenei rispetto alle variabili confondenti e stima l’effetto del trattamento all’interno di ciascun sottogruppo.

22.5.2.2 Inferenza Causale nei Dati Osservazionali

L’assenza di randomizzazione negli studi osservazionali ha portato alla famosa affermazione “la correlazione non implica causalità”. Tuttavia, questo non significa che l’inferenza causale sia impossibile senza esperimenti controllati. Esistono metodi statistici che permettono di affrontare il problema del confondimento e avvicinarsi a stime causali più affidabili. Tra questi:

• Grafi Aciclici Diretti (DAG): Strumenti grafici che rappresentano le relazioni causali tra variabili e aiutano a identificare le variabili confondenti che devono essere controllate.
• Modelli Causali Strutturali (SCM): Formalismi matematici che descrivono le relazioni causali e stabiliscono le condizioni necessarie per l’identificazione degli effetti.
• Differenze-differenze (DiD): Metodo che confronta l’evoluzione di \(Y\) prima e dopo il trattamento in gruppi esposti e non esposti, controllando per le tendenze temporali comuni.
• Variabili strumentali (IV): Tecnica che utilizza una variabile esogena correlata con \(X\) ma non direttamente con \(Y\), per isolare la parte di variazione di \(X\) non influenzata da confondenti.
• Regressione discontinua (RD): Metodo che sfrutta soglie arbitrarie per identificare effetti causali in situazioni quasi-sperimentali.

In sintesi, le variabili confondenti rappresentano una delle principali sfide nell’inferenza causale da dati osservazionali. Tuttavia, lo sviluppo di tecniche avanzate di analisi causale consente di ridurre il rischio di bias e migliorare l’affidabilità delle stime. Sebbene nessun metodo osservazionale possa replicare perfettamente i benefici della randomizzazione, l’utilizzo di strumenti come DAG, SCM e tecniche di identificazione causale permette di ottenere risultati più solidi e interpretabili. L’adozione di questi approcci è fondamentale per garantire che le conclusioni tratte dai dati osservazionali siano quanto più possibile accurate e prive di distorsioni.

22.6 Modelli Causali Strutturali

I modelli causali strutturali (Structural Causal Models, SCM) sono strumenti fondamentali per l’inferenza causale nei dati osservazionali. Essi permettono di rappresentare il processo generativo sottostante a un fenomeno e di prevedere gli effetti di un intervento. Oltre a descrivere le relazioni causali tra variabili, gli SCM consentono di esplorare scenari controfattuali, ovvero ipotetiche alternative a ciò che è stato osservato, offrendo un quadro formale per rispondere a domande del tipo cosa sarebbe successo se…?

22.6.1 Struttura di un Modello Causale Strutturale

Un SCM è definito da un insieme di equazioni strutturali che descrivono come ciascuna variabile dipende causalmente dalle altre. Il modello è composto da:

• Variabili esogene: Fonti di variazione esterne al sistema modellato, che non dipendono da nessuna altra variabile del modello.
• Variabili endogene: Determinate dalle equazioni del modello e influenzate da altre variabili all’interno dello stesso.
• Relazioni causali esplicite: Specificate attraverso funzioni matematiche che descrivono i meccanismi di generazione dei dati.

Il processo di costruzione di un SCM segue una logica ben definita: si parte dalle variabili esogene e, attraverso una serie di assegnazioni, si generano le variabili endogene, costruendo progressivamente una distribuzione congiunta delle variabili osservate.

22.6.2 Vantaggi degli SCM

Uno degli aspetti distintivi degli SCM è la loro duplice funzione:

1. Descrivono il processo generativo dei dati, rendendo esplicite le ipotesi sui meccanismi causali.
2. Inducono una distribuzione probabilistica congiunta, consentendo l’analisi sia delle relazioni statistiche tra le variabili sia delle connessioni causali sottostanti.

Questa struttura consente di superare i limiti dei modelli puramente correlazionali, offrendo un framework solido per distinguere tra causalità e semplice associazione.

22.6.3 Rappresentazione Grafica: DAG

Gli SCM sono spesso rappresentati graficamente tramite Grafi Aciclici Diretti (Directed Acyclic Graphs, DAG). Un DAG è una rete di nodi (variabili) e archi direzionati che indicano relazioni causali. Questa rappresentazione:

• facilita l’individuazione delle variabili confondenti e dei percorsi di causalità indiretti;
• aiuta a identificare strategie per il controllo del confondimento, come il criterio di separazione (d-separation);
• permette di determinare se un effetto causale è identificabile o se è necessario raccogliere dati aggiuntivi.

In sintesi, gli SCM rappresentano un’evoluzione rispetto ai modelli statistici tradizionali, poiché incorporano esplicitamente informazioni sulle relazioni causali. L’uso combinato di equazioni strutturali e rappresentazioni grafiche tramite DAG consente di affrontare problemi di confondimento, identificare effetti causali e analizzare scenari controfattuali con maggiore rigore rispetto a modelli puramente correlazionali.

L’adozione di SCM è particolarmente utile nei dati osservazionali, dove la mancanza di randomizzazione rende necessaria una modellazione esplicita delle relazioni causali per ottenere inferenze affidabili.

22.7 Bias da Variabile Omessa

L’omissione di variabili confondenti rappresenta una delle principali fonti di distorsione nelle stime statistiche. Il bias da variabile omessa [Omitted Variable Bias, OVB; Wilms et al. (2021)] si verifica quando una variabile confondente, nota ma non misurata, o sconosciuta, viene esclusa dall’analisi, alterando la stima dell’effetto causale. Come evidenziato da Byrnes & Dee (2024), l’OVB può portare a stime distorte della magnitudine degli effetti, inversioni del segno delle stime, correlazioni spurie e al mascheramento di reali relazioni causali.

Un’illustrazione di questa problematica è mostrata nella Figura 22.1, che rappresenta tre scenari diversi in cui una variabile non osservata (\(U\)) può influenzare un modello causale:

• Pannello di sinistra: La variabile non osservata \(U\) non è correlata con la variabile indipendente \(X\), quindi la sua omissione non introduce bias nella stima dell’effetto di \(X\) su \(Y\), ma può ridurre la precisione del modello aumentando l’errore standard della stima.
• Pannello centrale: La variabile non osservata \(U\) è una variabile confondente, poiché influenza sia \(X\) che \(Y\). La sua omissione causa bias nella stima dell’effetto di \(X\) su \(Y\), alterando le conclusioni causali.
• Pannello di destra: \(U\) e \(X\) sono entrambi influenzati da un fattore comune \(Z\), generando un confondimento indiretto. In questo caso, omettere \(U\) introduce distorsione nella stima dell’effetto di \(X\) su \(Y\).

Figura 22.1: La figura mostra come l’omissione di una variabile confondente possa o meno introdurre bias nella stima dell’effetto di \(X\) su \(Y\). Nel pannello di sinistra, \(X\) e \(U\) sono indipendenti, quindi la mancata inclusione di \(U\) non altera la stima dell’effetto di \(X\) su \(Y\), ma riduce la precisione del modello. Nel pannello centrale, \(U\) influenza sia \(X\) che \(Y\), generando un bias da variabile omessa. Nel pannello di destra, \(X\) e \(U\) sono correlati tramite un fattore comune \(Z\), creando un confondimento indiretto. In entrambi questi ultimi casi, il controllo delle variabili confondenti è essenziale per effettuare inferenze causali affidabili. La figura è ispirata da Byrnes & Dee (2024).

22.7.1 Superare il Bias da Variabile Omessa con gli SCM

Affrontare il bias da variabile omessa è una delle sfide principali nell’inferenza causale dai dati osservazionali. A differenza dell’errore di misurazione nelle variabili predittive, che tende a ridurre l’ampiezza delle stime senza necessariamente invertirne il segno (McElreath, 2020; Schennach, 2016), il bias da variabile omessa può alterare in modo imprevedibile le stime, rendendole fuorvianti.

Nonostante queste difficoltà, i dati osservazionali possono comunque essere utilizzati per l’inferenza causale, a condizione che vengano applicate strategie adeguate. L’adozione dei modelli causali strutturali (SCM) consente di esplicitare il meccanismo generativo sottostante ai dati, permettendo di modellare le relazioni tra variabili e di controllare il confondimento in modo più rigoroso.

22.7.2 Il Ruolo della Modellazione Esplicita

L’uso degli SCM non elimina del tutto il problema delle variabili omesse, ma offre un quadro concettuale per affrontarlo. Questo approccio ha due vantaggi principali:

1. Esplicitazione del modello generativo: Un SCM rende trasparente la struttura causale ipotizzata e permette di individuare le variabili mancanti che potrebbero influenzare le stime.
2. Possibilità di affinamento progressivo: Ogni nuova evidenza empirica può essere utilizzata per migliorare il modello, testando ipotesi alternative e perfezionando la comprensione dei meccanismi causali sottostanti.

In sintesi, l’inferenza causale non può basarsi esclusivamente su correlazioni osservate tra variabili, poiché il confondimento dovuto a variabili omesse può distorcere le stime. L’utilizzo di modelli causali strutturali, supportati dall’analisi tramite DAG, consente di ridurre questi problemi e di formulare inferenze più affidabili. Sebbene nessun modello possa garantire conclusioni definitive, la costruzione di un quadro causale esplicito favorisce il progresso scientifico, permettendo di testare, correggere e affinare le ipotesi sui meccanismi che regolano i fenomeni psicologici.

22.8 Grafi Aciclici Diretti

I Grafi Aciclici Diretti (Directed Acyclic Graphs, DAG) sono strumenti fondamentali per rappresentare e analizzare relazioni causali. Offrono una rappresentazione visiva chiara delle ipotesi sui meccanismi causali e aiutano a identificare le variabili confondenti da controllare per ottenere stime causali affidabili.

Un DAG è un grafo in cui:

• i nodi rappresentano le variabili coinvolte nel fenomeno studiato;
• le frecce direzionate tra i nodi indicano relazioni causali;
• il grafo è aciclico, il che significa che non si possono formare cicli: non esiste un percorso chiuso che permetta di tornare a un nodo di partenza seguendo le frecce.

22.8.1 Terminologia nei DAG

• Un nodo \(X\) con una freccia diretta verso un altro nodo \(Y\) indica che \(X\) causa \(Y\).
• Il nodo che origina una freccia è detto genitore, mentre quello di destinazione è detto figlio.
• Se esiste un percorso tra un nodo \(A\) e un nodo \(B\), \(A\) è detto antenato di \(B\), e \(B\) è un discendente di \(A\).

Questa struttura permette di distinguere tra cause dirette e indirette: una causa diretta è un nodo genitore, mentre una causa indiretta è un qualsiasi antenato lungo un percorso nel grafo.

I DAG sono particolarmente utili per l’identificazione delle variabili confondenti e per stabilire quali variabili devono essere controllate per ottenere inferenze causali non distorte.

22.8.2 La d-separazione

La d-separazione è una regola che ci permette di capire se due variabili in un DAG sono indipendenti una volta che si è controllato per un insieme di altre variabili. In termini semplici, ci aiuta a rispondere alla domanda: possiamo dire che due variabili non sono collegate dopo aver considerato certe informazioni?

Immaginiamo un DAG come un sistema di percorsi attraverso cui scorre l’informazione. Se due variabili sono collegate da un percorso aperto, significa che possono influenzarsi a vicenda, direttamente o indirettamente. Se invece il percorso è bloccato, l’informazione non può passare e possiamo considerarle indipendenti. La d-separazione ci indica quando un percorso è aperto e quando è bloccato.

Per determinare se due variabili sono indipendenti, si deve controllare il percorso che le collega nel DAG e verificare se ci sono ostacoli che ne impediscono il flusso informativo. Un percorso può essere bloccato in tre modi principali:

1. Catena (\(X\) → \(Z\) → \(Y\)): Il nodo intermedio (\(Z\)) è un mediatore. Se si controlla per \(Z\), il flusso di informazioni tra \(X\) e \(Y\) viene interrotto, rendendole indipendenti.
2. Fork (\(X\) ← \(Z\) → \(Y\)): \(Z\) è una causa comune di \(X\) e \(Y\). Se si controlla per \(Z\), si elimina la correlazione spuria tra \(X\) e \(Y\), bloccando il percorso.
3. Collider (\(X\) → \(Z\) ← \(Y\)): \(Z\) è un effetto comune di \(X\) e \(Y\). Se non si controlla per \(Z\), il percorso è già bloccato e \(X\) e \(Y\) sono indipendenti. Attenzione! Controllare per \(Z\) (o per una sua conseguenza) apre il percorso e introduce una correlazione spuria tra \(X\) e \(Y\).

La d-separazione è cruciale perché ci permette di leggere direttamente dal DAG quali variabili dobbiamo controllare per ottenere inferenze causali affidabili, senza dover fare complessi calcoli probabilistici.

22.8.3 Il Criterio del Back-Door e la d-separazione

Il criterio del back-door è strettamente legato alla d-separazione e serve a identificare un insieme di variabili da controllare per ottenere una stima non distorta dell’effetto causale di \(X\) su \(Y\).

Un back-door path è un percorso tra \(X\) e \(Y\) che inizia con una freccia entrante in \(X\). Questo tipo di percorso rappresenta una fonte di confondimento che deve essere bloccata per stimare correttamente l’effetto causale di \(X\) su \(Y\).

22.8.3.1 Come bloccare i percorsi back-door

1. Se il percorso contiene una catena (\(X\) ← \(A\) → \(B\) → \(Y\)), si blocca condizionando su una delle variabili intermedie (\(A\) o \(B\)).
2. Se il percorso contiene un collider (\(X\) → \(Z\) ← \(Y\)), il percorso è già bloccato e non bisogna condizionare su \(Z\).
3. Se il percorso contiene un fork (\(X\) ← \(Z\) → \(Y\)), il percorso si blocca condizionando su \(Z\).

22.8.4 Relazione tra d-separazione e il criterio del back-door

La d-separazione ci permette di determinare se esiste un percorso aperto tra \(X\) e \(Y\). Se vogliamo stimare un effetto causale, dobbiamo assicurarci che tra \(X\) e \(Y\) esista solo il percorso causale diretto e che tutti gli altri percorsi (in particolare i back-door paths) siano bloccati.

Quindi:

• se due variabili risultano d-separate dopo aver condizionato su un insieme di variabili di controllo, significa che ogni percorso non causale tra di esse è stato bloccato, permettendo un’interpretazione causale dell’effetto stimato;
• se invece esistono percorsi back-door non bloccati, la stima dell’effetto causale sarà distorta a causa della presenza di confondimento.

In sintesi, l’uso dei DAG consente di visualizzare in modo chiaro le relazioni causali tra le variabili e di determinare quali percorsi devono essere chiusi per ottenere inferenze non distorte. Strumenti come la d-separazione e il criterio del back-door permettono di evitare errori comuni nell’analisi causale e di migliorare la validità delle stime statistiche. L’adozione di questi metodi è essenziale per garantire che le conclusioni tratte dai dati osservazionali siano affidabili e prive di bias.

22.8.5 Applicazioni

Consideriamo la struttura causale illustrata nella Figura 22.1, pannello centrale. Dopo aver costruito un DAG come descritto nella sezione precedente, possiamo identificare le possibili fonti di bias da variabili omesse, incluse quelle non misurate (ad esempio, \(U\)). Se una variabile confondente non viene inclusa nell’analisi, si apre un back-door path, permettendo alla variazione confondente di influenzare la relazione tra la variabile causale e la variabile di risposta attraverso un percorso non controllato (Pearl, 2009).

In altre parole, omettere una variabile confondente come \(U\) nella Figura 22.1 (pannello centrale) implica che la sua influenza venga incorporata nel termine di errore del modello statistico, insieme ad altre fonti di errore casuali. Questo può distorcere la stima dell’effetto causale di \(X\) su \(Y\).

La Figura 22.2 illustra le conseguenze di un confondente \(U\) che ha un effetto positivo su \(X\) ma un effetto negativo su \(Y\):

• Se controlliamo per \(U\), come mostrato nella Figura 22.2 (Bi), l’effetto stimato di \(X\) su \(Y\) riflette la relazione causale effettiva.
• Se non controlliamo per \(U\), come mostrato nella Figura 22.2 (Bii), \(U\) viene inglobato nel termine di errore, creando una correlazione spuriosa tra l’errore e \(X\) (Figura 22.2, Biii). Questo induce una stima distorta dell’effetto di \(X\) su \(Y\), evidenziata in blu.

L’omissione di una variabile indipendente che è correlata con altre variabili indipendenti nel modello e che ha un effetto diretto su \(Y\) costituisce un errore di specificazione. Nei modelli lineari, questa omissione viola un’ipotesi fondamentale del teorema di Gauss-Markov, secondo cui il termine di errore deve essere incorrelato con le variabili esplicative. Di conseguenza, la stima dell’effetto causale di \(X\) su \(Y\) risulta distorta, compromettendo l’affidabilità dell’analisi.

Figura 22.2: Una visualizzazione del bias da variabile omessa e delle conseguenze per l’inferenza causale. (A) mostra un DAG di un sistema in cui \(X\) ha un effetto positivo su \(Y\), e una variabile confondente U ha un effetto positivo su \(Y\) ma un effetto negativo su \(X\). Le variabili non osservate (cioè non misurate) sono rappresentate in ellissi, come la variabile U e il termine di errore e nel pannello B. (B) illustra diverse stime del DAG in (A) utilizzando un’analisi del percorso. Vedi Bo\(X\) 1 per una breve spiegazione delle principali differenze tra DAG e diagrammi dei percorsi. Presumiamo che U non sia misurata. In (Bi), presumiamo di poter misurare e controllare U, rappresentata dalla freccia a doppia testa tra U e \(X\), che rappresenta la correlazione tra le due variabili considerata dal modello. La variabile non misurata e è la fonte residua di variazione che si presume non sia correlata con nessun predittore. La freccia rossa rappresenta il percorso stimato. Al contrario, (Bii) e (Biii) rappresentano la realtà, dove non abbiamo una misurazione di U e non la controlliamo nel modello dei percorsi. Il ricercatore pensa di adattare il modello in (Bii) ma in realtà sta adattando il modello in (Biii), dove il termine di errore non è solo e, ma la somma di e e la variazione dovuta alla variabile omessa U. A causa di ciò, c’è un percorso diretto dal termine di errore del modello a \(X\) (e quindi \(X\) è endogeno). (C) mostra le relazioni stimate risultanti dai modelli in (Bi) rispetto a (Bii). Le linee rappresentano la relazione stimata tra \(X\) e \(Y\) dai rispettivi modelli. La linea rossa è la vera relazione causale, stimata da (Bi), mentre la linea blu contiene il bias da variabile omessa, poiché non si tiene conto della variabile confondente U, come stimato dal modello in Bii/Biii (Figura tratta da Byrnes & Dee (2024)).

22.9 Le Pratiche Scientifiche per Inferire la Causalità

In qualsiasi sistema complesso, possiamo osservare la distribuzione congiunta di due variabili, \(X\) e \(Y\), ma determinare se \(X\) causa \(Y\), se \(Y\) causa \(X\), o se una terza variabile \(Z\) influenza entrambe, è un problema complesso (Salmon, 1984). Questa difficoltà è alla base del dibattito filosofico sulla causalità e ha stimolato lo sviluppo di metodi scientifici rigorosi per decifrare i meccanismi causali. Ad esempio, per stabilire se la terapia cognitivo-comportamentale (CBT) riduce i sintomi di ansia o se l’attivazione di un neurone influenza il comportamento, è necessario adottare pratiche scientifiche che distinguano la correlazione dalla causalità.

22.9.1 Il Framework Interventista di Judea Pearl

Il lavoro di Judea Pearl ha rivoluzionato la formalizzazione dell’inferenza causale introducendo l’operatore “do”, che distingue tra correlazione osservata e causalità determinata da un intervento attivo (ricordiamo il punto di vista di Hardt & Recht, 2022 descritto in precedenza). La probabilità condizionale tradizionale, \(p(Y \mid X)\), descrive l’associazione tra due variabili, ma non implica necessariamente causalità. L’operatore do, invece, introduce il concetto di intervento forzato: \(p(Y \mid do(X))\) rappresenta la probabilità di \(Y\) quando \(X\) viene manipolato direttamente (Pearl, 2009).

Ad esempio, osservare che i pazienti che partecipano alla CBT tendono a mostrare una riduzione dell’ansia non è sufficiente per concludere che la CBT ne sia la causa. Il problema è che la decisione di seguire la CBT potrebbe dipendere da fattori come il livello di gravità dell’ansia, lo stato socioeconomico o la predisposizione genetica, che possono influenzare sia la scelta di intraprendere la terapia sia la variazione nei sintomi.

Utilizzando un modello causale strutturale (SCM) completo, possiamo esprimere formalmente le relazioni tra le variabili e determinare se l’effetto di \(X\) su \(Y\) può essere identificato, ovvero stimato correttamente dai dati. L’operatore do ci consente di rispondere alla domanda: “Cosa accadrebbe se tutti i pazienti seguissero la CBT indipendentemente da altri fattori?”. In pratica, uno SCM ben specificato permette di controllare statisticamente le variabili di disturbo e di rimuovere i percorsi di confondimento, simulando una condizione sperimentale in cui l’assegnazione al trattamento è indipendente da fattori che influenzano sia la terapia sia l’outcome.

Questa capacità di simulare interventi e stimare effetti causali è ciò che distingue i modelli causali strutturali dagli approcci puramente correlazionali e permette di ottenere inferenze più affidabili anche in assenza di esperimenti randomizzati.

22.9.2 Tre Fonti di Conoscenza Causale

Alla luce delle considerazioni precedenti, possiamo individuare tre fonti fondamentali per inferire la causalità.

1. Esperimenti Randomizzati Controllati (RCT). Gli RCT rappresentano il metodo più affidabile per stabilire relazioni causali, assegnando casualmente i partecipanti a gruppi di trattamento e controllo. Questo processo minimizza l’influenza di confondenti e garantisce stime non distorte dell’effetto di un intervento. Ad esempio, per verificare se il sonno migliora la memoria, possiamo assegnare casualmente alcuni volontari a dormire 8 ore e altri a restare svegli prima di un test cognitivo. Questo approccio elimina l’influenza di fattori come l’età o il livello di stress, consentendo di attribuire le differenze di performance esclusivamente alla quantità di sonno.

2. Conoscenza Specifica del Dominio. In discipline come la psicologia e le neuroscienze, la conoscenza specialistica permette di formulare ipotesi causali informate. Ad esempio, sebbene un semplice movimento della mano non causi direttamente l’accensione di una luce, sappiamo che chiudere un interruttore completa un circuito elettrico. Questa comprensione ci guida nella progettazione di esperimenti e nell’interpretazione dei risultati. Un esempio in neuroscienze è il ruolo dell’amigdala nella risposta alla paura. Studi su pazienti con danni all’amigdala mostrano una ridotta capacità di riconoscere espressioni di paura, suggerendo un legame causale tra l’attività dell’amigdala e la regolazione della paura. Allo stesso modo, la scoperta dell’afasia di Broca ha dimostrato il ruolo causale dell’area di Broca nella produzione del linguaggio. Questa conoscenza permette di formulare ipotesi precise anche in assenza di RCT, come nel caso di studi clinici su pazienti con condizioni neurologiche rare.

3. Prove Cumulative e Consenso Scientifico. La conoscenza scientifica avanza attraverso la validazione collettiva dei risultati. Quando numerosi studi indipendenti convergono su una relazione causale, la comunità scientifica acquisisce una comprensione più solida del fenomeno. Ad esempio, molteplici studi indicano che relazioni sociali positive aumentano il benessere psicologico. Anche se nessuno studio singolo può offrire una prova definitiva, la convergenza di evidenze rafforza l’ipotesi causale.

Si noti che, mentre nel primo caso l’inferenza causale deriva direttamente da esperimenti randomizzati controllati (RCT), nei secondi due la conoscenza causale si basa su studi osservazionali e sulla convergenza di evidenze empiriche. La validità di queste inferenze dipende dall’uso di modelli adeguati, dal controllo delle variabili confondenti e dalla replicabilità dei risultati.

22.10 Conciliare Pragmatismo con Scetticismo Filosofico

Nonostante l’efficacia degli RCT e degli strumenti teorici come l’operatore do, il problema epistemologico della causalità, sollevato da filosofi come Hume, rimane aperto. Hume sosteneva che la causalità non è direttamente osservabile, ma è inferita dall’esperienza e dalla regolarità delle osservazioni. Questo scetticismo ci ricorda che la nostra comprensione causale è sempre mediata da modelli, assunzioni e interpretazioni.

Tuttavia, l’approccio pragmatico alla causalità non richiede una dimostrazione metafisica assoluta, ma si concentra sulla sua utilità pratica: se un intervento produce risultati coerenti e prevedibili, allora possiamo considerarlo una causa per tutti gli scopi pratici.

Ad esempio, la nostra fiducia nel volo aereo non deriva da una prova definitiva della causalità tra il design di un aereo e la sua capacità di volare, ma dall’affidabilità e replicabilità delle leggi dell’aerodinamica. Analogamente, la CBT è riconosciuta come trattamento efficace per l’ansia non perché possiamo dimostrare una causalità assoluta, ma perché numerosi studi, tra cui RCT e analisi basate su modelli causali, ne confermano ripetutamente l’efficacia in diversi contesti.

In sintesi, l’inferenza causale è una delle sfide centrali della scienza, ma strumenti come gli RCT, i modelli causali strutturali, la conoscenza del dominio e le prove cumulative forniscono metodi robusti per affrontarla. L’approccio pragmatico ci consente di superare il problema filosofico della causalità, concentrandoci sulla replicabilità, sull’affidabilità e sull’applicabilità pratica dei risultati. Sebbene il dibattito sulla natura ultima della causalità rimanga aperto, le pratiche scientifiche ci permettono di prendere decisioni informate e mettere in atti interventi efficaci.

22.11 Riflessioni Conclusive

Il dibattito filosofico sulla causalità resta aperto, ma i progressi metodologici degli ultimi decenni hanno trasformato l’inferenza causale in una disciplina rigorosa e applicabile. L’uso di esperimenti randomizzati controllati (RCT), diagrammi causali (DAG) e l’operatore do di Judea Pearl ha reso possibile analizzare le relazioni causali in modo più trasparente e sistematico, senza dover risolvere le questioni metafisiche sulla natura ultima della causalità. La scienza, dunque, procede non con certezze assolute, ma con modelli sempre più raffinati e verificabili.

I DAG si sono affermati come strumenti essenziali per visualizzare e analizzare i rapporti causali, permettendo di esplicitare le assunzioni e di individuare le fonti di bias. Tuttavia, la loro validità dipende strettamente dalla qualità delle conoscenze del dominio: un DAG ben costruito può guidare verso inferenze affidabili, ma un DAG con specificazioni errate o incomplete rischia di produrre conclusioni distorte. Per questa ragione, la loro applicazione richiede non solo competenza metodologica, ma anche un solido ancoraggio alla realtà empirica.

L’approccio pragmatico alla causalità si fonda su un equilibrio tra fiducia nei modelli empirici e consapevolezza dei loro limiti. La nostra capacità di fare previsioni e intervenire sui fenomeni — dall’ingegneria aeronautica all’efficacia delle terapie psicologiche — non si basa su una conoscenza definitiva della causalità, ma sulla robustezza delle evidenze accumulate. Questo pragmatismo non è una debolezza, ma una strategia vincente per affrontare l’incertezza in modo efficace e produttivo.

Tuttavia, la solidità degli strumenti causali non è garantita a priori: la qualità delle inferenze dipende dalla cura con cui vengono costruiti e validati. Un uso acritico dei DAG, degli RCT o dei modelli causali strutturali può portare a interpretazioni fuorvianti, specialmente se si ignorano le limitazioni insite in ogni approccio. La ricerca causale, dunque, non è solo una questione di strumenti, ma di metodo: richiede una costante riflessione critica sulle ipotesi sottostanti e un rigoroso controllo empirico per evitare semplificazioni eccessive.

In definitiva, il progresso nella comprensione della causalità dipende dalla capacità di bilanciare pragmatismo e scetticismo epistemologico. Da un lato, dobbiamo costruire modelli che ci permettano di fare previsioni affidabili e di prendere decisioni informate; dall’altro, dobbiamo riconoscere che ogni modello è una rappresentazione semplificata della realtà e che le nostre inferenze devono essere costantemente riviste alla luce di nuove evidenze. Accettare questa tensione tra conoscenza e incertezza non è una limitazione, ma una condizione essenziale per il progresso scientifico. In questo equilibrio tra umiltà teorica e fiducia operativa risiede la vera forza dell’indagine causale.

Un riassunto ironico di questi concetti è offerto dalla vignetta di xkcd.

22.12 Esercizi

Esercizio

Esercizi teorici

Esercizio 1: Concetti chiave della causalità

Per ciascuna delle seguenti affermazioni, indica se è vera o falsa e spiega il motivo della tua risposta.

1. Se \(X\) e \(Y\) sono correlate, allora \(X\) causa \(Y\).
   
2. Se condizioniamo su una variabile collider, la correlazione tra \(X\) e \(Y\) aumenta.
   
3. Il paradosso di Simpson dimostra che i risultati osservati in gruppi disaggregati devono sempre essere preferiti a quelli aggregati.
   
4. Gli esperimenti randomizzati controllati eliminano completamente il problema della confusione.
   
5. Un DAG può rappresentare relazioni causali solo se tutte le variabili sono misurate.

Esercizio 2: Interpretazione di un DAG

Considera il seguente DAG che rappresenta l’effetto dell’esercizio fisico (\(X\)) sulla salute cardiaca (\(Y\)):

    $X$ → $Y$
    Z → $X$
    Z → $Y$

dove:

• \(X\) = Esercizio fisico
  
• \(Y\) = Salute cardiaca
  
• \(Z\) = Predisposizione genetica

1. Quale ruolo svolge \(Z\) in questo DAG? È una variabile confondente, collider o mediatore?
2. Per stimare correttamente l’effetto causale di \(X\) su \(Y\), è necessario controllare per \(Z\)? Spiega il perché.
   
3. Se aggiungiamo un’altra variabile W che influenza sia \(Z\) che \(X\), ma non direttamente \(Y\), come cambierebbe il DAG?

Esercizio 3: Causalità nei dati osservazionali

Leggi le seguenti situazioni e identifica quale problema potrebbe invalidare l’inferenza causale:

1. Uno studio osservazionale mostra che le persone che bevono caffè vivono più a lungo. Tuttavia, chi beve caffè tende ad avere un reddito più alto e accesso a migliori cure mediche.
2. Un’azienda scopre che i dipendenti che frequentano corsi di formazione hanno salari più alti. Ma i corsi sono aperti solo a coloro che già hanno più esperienza lavorativa.
   
3. Una ricerca mostra che gli studenti che usano di più il tablet per studiare hanno punteggi più bassi nei test. Tuttavia, gli studenti con difficoltà di apprendimento tendono a usare di più il tablet.

Per ogni caso, identifica una possibile variabile confondente e suggerisci un metodo per controllare il bias.

Esercizi pratici in R

Esercizio 4: Paradosso di Simpson con dati reali

Utilizziamo i dati delle ammissioni di UC Berkele\(Y\) per verificare il paradosso di Simpson.

# Dati di UC Berkele$Y$
data(UCBAdmissions)
df <- as.data.frame(UCBAdmissions)

# Convertiamo i dati in formato long
df_long <- df |> tid$Y$r::pivot_wider(names_from = "Admit", values_from = "Freq") 

# Calcoliamo il tasso di ammissione per uomini e donne aggregati
total_admitted_m <- sum(df$Freq[df$Admit == "Admitted" & df$Gender == "Male"])
total_applicants_m <- sum(df$Freq[df$Gender == "Male"])

total_admitted_f <- sum(df$Freq[df$Admit == "Admitted" & df$Gender == "Female"])
total_applicants_f <- sum(df$Freq[df$Gender == "Female"])

admit_rate_m <- total_admitted_m / total_applicants_m
admit_rate_f <- total_admitted_f / total_applicants_f

c(admit_rate_m, admit_rate_f)

# Calcoliamo il tasso di ammissione per ogni dipartimento
df_long$rate_m <- df_long$Admitted / (df_long$Admitted + df_long$Rejected)

df_long |> dpl$Y$r::group_b$Y$(Dept) |> dpl$Y$r::summarize(mean_rate_m = mean(rate_m))

# Visualizziamo il tasso di ammissione per genere e dipartimento
ggplot(df_long, aes($X$ = Dept, $Y$ = rate_m, fill = Gender)) +
  geom_bar(stat = "identit$Y$", position = "dodge") +
  labs(title = "Tasso di Ammissione per Genere nei Dipartimenti UC Berkele$Y$",
       $X$ = "Dipartimento", $Y$ = "Tasso di Ammissione")

Domande:

1. Dai dati aggregati, sembra che le donne siano discriminate. Questo è confermato dall’analisi per dipartimento?
   
2. Quale variabile confondente è responsabile del paradosso di Simpson in questo caso?
   
3. Come potrebbe essere interpretato male un modello che considera solo i dati aggregati?

Esercizio 5: Analisi causale con DAG

Usiamo il pacchetto dagitt$Y$ per costruire e analizzare un DAG.

librar$Y$(dagitt$Y$)

dag <- dagitt$Y$("dag {
    E -> H
    G -> E
    G -> H
}")

plot(graphLa$Y$out(dag))

Domande:

1. Quali sono le variabili confondenti nel DAG?
   
2. Quali percorsi sono back-door paths?
   
3. Quale set di variabili dovremmo controllare per ottenere una stima non distorta dell’effetto di E su H?
   

Soluzione

Esercizio 1: Concetti chiave della causalità

1. Falso – La correlazione non implica causalità. Potrebbero esserci variabili confondenti o una relazione di causalità inversa tra \(X\) e \(Y\).
   
2. Vero – Condizionare su un collider introduce un’associazione spuriosa tra \(X\) e \(Y\), aumentando la correlazione.
   
3. Falso – Il paradosso di Simpson mostra che i dati aggregati possono essere fuorvianti, ma non significa che i dati disaggregati siano sempre più affidabili. È necessario analizzare il contesto e le possibili variabili confondenti.
   
4. Falso – Gli RCT minimizzano i problemi di confondimento grazie alla randomizzazione, ma possono comunque avere limitazioni dovute a bias di selezione, mancate assegnazioni casuali, e problemi etici.
   
5. Falso – Un DAG può rappresentare le relazioni causali anche se alcune variabili non sono misurate. Tuttavia, la validità dell’inferenza dipende dalla correttezza del DAG.

Esercizio 2: Interpretazione di un DAG

1. Z è una variabile confondente, poiché influenza sia \(X\) che \(Y\), creando un percorso di back-door.
   

2. Sì, per stimare correttamente l’effetto di \(X\) su \(Y\) dobbiamo controllare per Z. Se non lo facciamo, la relazione osservata tra \(X\) e \(Y\) includerà l’influenza di Z.
   

3. Se aggiungiamo una variabile W che influenza Z e \(X\), il DAG diventa:

       W → Z → $X$ → $Y$
       W → $X$
       Z → $Y$

   Ora W è una variabile a monte di \(X\) e Z, ma non confonde direttamente la relazione tra \(X\) e \(Y\).

Esercizio 3: Causalità nei dati osservazionali

1. Confondente: reddito – Le persone con un reddito più alto possono avere accesso a cure migliori, che a loro volta migliorano la salute. Soluzione: Propensit\(Y\) Score Matching (PSM) o regressione con controllo per il reddito.
   
2. Confondente: esperienza lavorativa – Chi ha più esperienza può già avere salari più alti. Soluzione: Matching o modello di regressione con controllo per esperienza lavorativa.
   
3. Confondente: difficoltà di apprendimento – Studenti con difficoltà possono usare più il tablet e avere punteggi più bassi. Soluzione: Includere il livello di abilità di partenza nei modelli statistici.

Soluzioni esercizi pratici in R

Esercizio 4: Paradosso di Simpson con dati reali

1. Differenza nei tassi di ammissione aggregati:

   admit_rate_m <- total_admitted_m / total_applicants_m
   admit_rate_f <- total_admitted_f / total_applicants_f

   Risultato:

   • Tasso di ammissione uomini: ~44%
     
   • Tasso di ammissione donne: ~35%
     → Sembra che le donne siano discriminate.

2. Analisi per dipartimento:

   df_long |> dpl$Y$r::group_b$Y$(Dept) |> dpl$Y$r::summarize(mean_rate_m = mean(rate_m))

   • Nei singoli dipartimenti, le donne hanno tassi di ammissione uguali o superiori rispetto agli uomini.
     → Il problema non è discriminazione diretta, ma la distribuzione delle domande nei dipartimenti.

3. Conclusione: Il paradosso di Simpson mostra che le donne tendono a candidarsi più spesso a dipartimenti molto competitivi con bassi tassi di ammissione, mentre gli uomini si candidano di più in dipartimenti con tassi di ammissione più alti.

Moralità: Non sempre una differenza aggregata indica un bias. Bisogna analizzare i sottogruppi.

Esercizio 5: Analisi causale con DAG

1. Variabili confondenti

   • G è una variabile confondente perché influenza sia E (esposizione) che H (esito).

2. Back-door paths

   • Il percorso E ← G → H è un back-door path che deve essere bloccato.

3. Soluzione: controllare per G

   adjustmentSets(dag)

   Output: {G}
   → Controllare per G permette di ottenere una stima causale non distorta di E su H.

Conclusioni

1. La correlazione non implica causalità. Abbiamo visto come variabili confondenti possano generare relazioni spurie.
   
2. Il paradosso di Simpson dimostra che i dati aggregati possono essere fuorvianti. Bisogna sempre analizzare i sottogruppi.
   
3. I DAG aiutano a identificare le variabili da controllare per ottenere stime causali corrette.
   
4. L’analisi causale è fondamentale per evitare inferenze errate e migliorare la qualità della ricerca.
   

Bibliografia

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Byrnes, J. E., & Dee, L. E. (2024). Causal inference with observational data and unobserved confounding variables. bioRxiv, 2024–2002.

Hardt, M., & Recht, B. (2022). Patterns, Predictions, and Actions: Foundations of Machine Learning. Princeton University Press.

McElreath, R. (2020). Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan (2nd Edition). CRC Press.

Pearl, J. (2009). Causality. Cambridge University Press.

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