Appendice I — La funzione lineare
I.1 Concetto di Funzione
Nello studio dei fenomeni naturali e nella risoluzione di problemi tecnici e matematici, è spesso necessario considerare la variazione di una grandezza come dipendente dalla variazione di un’altra. Ad esempio, nello studio del moto, il percorso compiuto da un oggetto può essere visto come una grandezza variabile in funzione del tempo: il cammino percorso è, dunque, una funzione del tempo.
Questa considerazione ci conduce alla seguente definizione:
Se a ogni valore della variabile \(x\) (all’interno di un certo intervallo) corrisponde un valore ben definito di un’altra variabile \(y\), allora si dice che \(y\) è una funzione di \(x\). In notazione funzionale si scrive:
\[ y = f(x) \quad \text{o anche} \quad y = \varphi(x). \]
La variabile \(x\) è detta variabile indipendente o argomento della funzione. La relazione che lega \(x\) a \(y\) si chiama relazione funzionale. La lettera \(f\) nella notazione \(y = f(x)\) indica che per ottenere il valore di \(y\) a partire da \(x\) è necessario applicare una certa “regola” o “operazione”. In modo analogo, si possono utilizzare anche altre notazioni come \(u = \varphi(x)\).
La notazione \(y = C\), dove \(C\) è una costante, indica una funzione il cui valore rimane invariato per qualunque valore di \(x\).
L’insieme dei valori di \(x\) per cui la funzione \(y = f(x)\) è definita si chiama dominio di definizione della funzione.
Se per valori crescenti della variabile indipendente \(x\) anche il valore della funzione \(y = f(x)\) aumenta, allora la funzione si dice crescente. Analogamente, se a valori crescenti di \(x\) corrispondono valori decrescenti della funzione \(y = f(x)\), la funzione si dice decrescente.
I.2 La Retta
La funzione lineare è definita come:
\[
f(x) = a + b x,
\]
dove \(a\) e \(b\) sono costanti. Il grafico di tale funzione è una retta. Qui, \(b\) è detto coefficiente angolare, mentre \(a\) è l’intercetta con l’asse delle \(y\). In altri termini, la retta interseca l’asse \(y\) nel punto \((0, a)\).
Per comprendere il ruolo di \(a\) e \(b\), consideriamo prima il caso particolare:
\[
y = b x.
\]
Questa espressione rappresenta una proporzionalità diretta tra \(x\) e \(y\): al crescere di \(x\), \(y\) varia in proporzione. Nel caso generale:
\[
y = a + b x,
\]
il termine \(a\) “trasla” verticalmente il grafico, aggiungendo una costante a ogni valore \(b x\).
Il segno del coefficiente \(b\) determina il comportamento della funzione lineare:
- Se \(b > 0\), il valore di \(y\) aumenta all’aumentare di \(x\).
- Se \(b < 0\), il valore di \(y\) diminuisce all’aumentare di \(x\).
- Se \(b = 0\), il grafico è una retta orizzontale e \(y\) rimane costante.
Possiamo dare un’interpretazione geometrica ancora più intuitiva se consideriamo variazioni (incrementi) di \(x\). Preso un punto \(x_0\) e aggiungendo un piccolo incremento \(\varepsilon\), definiamo:
\[ \Delta x = (x_0 + \varepsilon) - x_0 = \varepsilon, \] \[ \Delta y = f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0). \]
Il coefficiente angolare \(b\) può essere interpretato come il rapporto tra la variazione di \(y\) e la variazione di \(x\):
\[
b = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)}{(x_0 + \varepsilon) - x_0}.
\]
Questo rapporto è costante e non dipende dalla scelta di \(x_0\) o di \(\varepsilon\). In particolare, se scegliamo \(\Delta x = 1\), il coefficiente angolare \(b\) rappresenta semplicemente di quanto varia \(y\) quando \(x\) aumenta di un’unità.
Come mostrato in figura, il coefficiente \(b\) indica la pendenza della retta, ossia quanto “ripida” è la sua inclinazione rispetto all’asse orizzontale.