Appendice F — Sommatorie
Le somme sono uno strumento fondamentale in molti contesti matematici e statistici, e per gestirle in modo efficace è essenziale disporre di una notazione chiara e precisa. Consideriamo, ad esempio, la somma dei primi \(n\) numeri interi, che può essere espressa come \(1 + 2 + \dots + (n-1) + n\), dove i puntini di sospensione (\(\dots\)) indicano che la sequenza deve essere completata seguendo il pattern definito dai termini precedenti e successivi. Tuttavia, una notazione come \(1 + 7 + \dots + 73.6\) risulterebbe ambigua senza ulteriori specifiche. In generale, ci troveremo di fronte a somme della forma
\[ x_1 + x_2 + \dots + x_n, \]
dove \(x_n\) rappresenta un numero definito altrove. Sebbene questa notazione con i puntini di sospensione sia utile in alcuni contesti, può risultare poco chiara in altri. Per questo motivo, si preferisce utilizzare la notazione di sommatoria:
\[ \sum_{i=1}^n x_i, \]
che si legge “sommatoria per \(i\) che va da \(1\) a \(n\) di \(x_i\)”. Il simbolo \(\sum\) (la lettera sigma maiuscola dell’alfabeto greco) rappresenta l’operazione di somma, \(x_i\) è il generico addendo, mentre \(1\) e \(n\) sono gli estremi della sommatoria, che definiscono l’intervallo di variazione dell’indice \(i\). Solitamente, l’estremo inferiore è \(1\), ma potrebbe essere qualsiasi altro numero \(m < n\). Pertanto, possiamo scrivere:
\[ \sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n. \]
Ad esempio, se i valori di \(x\) sono \(\{3, 11, 4, 7\}\), avremo:
\[ \sum_{i=1}^4 x_i = 3 + 11 + 4 + 7 = 25, \]
dove \(x_1 = 3\), \(x_2 = 11\), e così via. La quantità \(x_i\) è detta argomento della sommatoria, mentre la variabile \(i\), che assume valori interi successivi, è chiamata indice della sommatoria.
La notazione di sommatoria può anche essere espressa nella forma:
\[ \sum_{P(i)} x_i, \]
dove \(P(i)\) è una proposizione logica riguardante \(i\) che può essere vera o falsa. Quando è evidente che si vogliono sommare tutte le \(n\) osservazioni, la notazione può essere semplificata in \(\sum_{i} x_i\) o addirittura \(\sum x_i\). L’indice \(i\) può essere sostituito da altre lettere, come \(k, j, l, \dots\), a seconda del contesto.
F.1 Manipolazione di somme
Per semplificare i calcoli che coinvolgono le sommatorie, è utile conoscere alcune proprietà fondamentali.
F.1.1 Proprietà 1 (Somma di una costante)
La sommatoria di \(n\) valori tutti uguali a una costante \(a\) è pari a \(n\) volte la costante stessa:
\[ \sum_{i=1}^{n} a = \underbrace{a + a + \dots + a}_{n \text{ volte}} = n a. \]
F.1.2 Proprietà 2 (Proprietà distributiva)
Se l’argomento della sommatoria contiene una costante, è possibile fattorizzarla. Ad esempio:
\[ \sum_{i=1}^{n} a x_i = a x_1 + a x_2 + \dots + a x_n = a (x_1 + x_2 + \dots + x_n) = a \sum_{i=1}^{n} x_i. \]
F.1.3 Proprietà 3 (Proprietà associativa)
Se l’argomento della sommatoria è una somma, possiamo separare i termini:
\[ \sum_{i=1}^{n} (a + x_i) = (a + x_1) + (a + x_2) + \dots + (a + x_n) = n a + \sum_{i=1}^{n} x_i. \]
In generale, possiamo scrivere:
\[ \sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i. \]
F.1.4 Proprietà 4 (Operazioni algebriche)
Se è necessario eseguire un’operazione algebrica (come l’elevamento a potenza o il logaritmo) sull’argomento della sommatoria, questa operazione deve essere eseguita prima della somma. Ad esempio:
\[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \neq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2. \]
F.1.5 Proprietà 5 (Prodotto di termini)
Nel caso di un prodotto tra termini, il prodotto deve essere eseguito prima della somma:
\[ \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n. \]
Infatti, \(a_1 b_1 + a_2 b_2 \neq (a_1 + a_2)(b_1 + b_2)\).
F.2 Doppia sommatoria
In alcuni contesti, si incontrano espressioni con una doppia sommatoria e un doppio indice:
\[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} x_{ij}. \]
Questa notazione implica che, per ogni valore dell’indice esterno \(i\) (da \(1\) a \(n\)), si deve sviluppare la sommatoria interna per \(j\) (da \(1\) a \(m\)). Ad esempio:
\[ \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=4}^{6} x_{ij} = (x_{1,4} + x_{1,5} + x_{1,6}) + (x_{2,4} + x_{2,5} + x_{2,6}) + (x_{3,4} + x_{3,5} + x_{3,6}). \]
Un caso particolare interessante è la doppia sommatoria del prodotto di due variabili:
\[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_i y_j. \]
In questo caso, poiché \(x_i\) non dipende dall’indice \(j\), possiamo estrarre \(x_i\) dalla sommatoria interna:
\[ \sum_{i=1}^{n} \left( x_i \sum_{j=1}^{n} y_j \right). \]
Allo stesso modo, la sommatoria interna \(\sum_{j=1}^{n} y_j\) non dipende da \(i\), quindi può essere estratta dalla sommatoria esterna:
\[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_i y_j = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right) \left( \sum_{j=1}^{n} y_j \right). \]
F.2.1 Esempio pratico
Consideriamo i vettori \(x = \{2, 3, 1\}\) e \(y = \{1, 4, 9\}\). Calcoliamo la doppia sommatoria:
\[ \begin{align} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i y_j &= x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_1 y_3 + x_2 y_1 + x_2 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 + x_3 y_2 + x_3 y_3 \\ &= 2 \times (1 + 4 + 9) + 3 \times (1 + 4 + 9) + 1 \times (1 + 4 + 9) \\ &= 2 \times 14 + 3 \times 14 + 1 \times 14 = 84. \end{align} \]
D’altra parte, il prodotto delle due sommatorie è:
\[ \left( \sum_{i=1}^3 x_i \right) \left( \sum_{j=1}^3 y_j \right) = (2 + 3 + 1) \times (1 + 4 + 9) = 6 \times 14 = 84. \]
I due risultati coincidono, confermando la validità della proprietà.
Per ulteriori approfondimenti, si consiglia la consultazione del testo Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (Graham et al., 1994).
Esercizi pratici sono disponibili sulla seguente pagina web.