Appendice E — Numeri e intervalli

E.1 Numeri binari

I numeri binari rappresentano il sistema numerico più elementare utilizzato in informatica, poiché sono composti unicamente da due simboli: 0 e 1. Questa caratteristica li rende particolarmente adatti alla rappresentazione di situazioni dicotomiche (vero/falso, presente/assente) e consente ai computer di operare rapidamente ed efficacemente sui dati.

Un esempio semplice d’impiego dei valori logici binari si ottiene quando raccogliamo risposte a una domanda chiusa. Immaginiamo, ad esempio, di porre la domanda “Ti piacciono i mirtilli?” a 10 studenti. Se le risposte vengono memorizzate in R come valori logici (TRUE per “Sì” e FALSE per “No”), potremmo avere:

opinion <- c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, TRUE, TRUE, FALSE)
opinion
 [1]  TRUE FALSE  TRUE  TRUE  TRUE FALSE  TRUE  TRUE  TRUE FALSE

In questo caso, TRUE e FALSE corrispondono a 1 e 0 rispettivamente quando utilizzati in operazioni numeriche. Lo stesso avviene in Python, dove True è interpretato come 1 e False come 0. Questa rappresentazione binaria permette di ottenere facilmente statistiche sintetiche. Per esempio, per calcolare la proporzione di risposte positive rispetto al totale, è sufficiente sommare i valori (contando così il numero di TRUE) e dividere per la lunghezza del vettore:

sum(opinion) / length(opinion)
[1] 0.7

Questo fornisce immediatamente la percentuale di studenti che hanno risposto “Sì” alla domanda.

E.2 Numeri interi

I numeri interi sono caratterizzati dall’assenza di componenti decimali. Essi includono sia i numeri naturali (1, 2, 3, …), tradizionalmente utilizzati per il conteggio, sia i loro opposti negativi. L’insieme dei numeri naturali è indicato con \(\mathbb{N}\), mentre l’insieme dei numeri interi (che include i numeri naturali, i loro negativi e lo zero) si denota con \(\mathbb{Z}\):

\[ \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\} \]

E.3 Numeri razionali

I numeri razionali sono quei numeri che possono essere espressi come il rapporto tra due numeri interi, con il denominatore diverso da zero. Essi formano l’insieme:

\[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} \mid m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\right\}. \]

Poiché ogni numero naturale è anche un intero, e ogni intero può essere rappresentato come razionale (ad esempio \(5 = \frac{5}{1}\)), si ha una catena d’inclusioni tra i diversi insiemi di numeri:

\[ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}. \]

Se si desidera considerare solo i numeri razionali non negativi, si utilizza la notazione:

\[ \mathbb{Q}^+ = \{q \in \mathbb{Q} \mid q \geq 0\}. \]

E.4 Numeri irrazionali

Non tutti i numeri possono essere espressi come rapporto di due interi. I numeri che non hanno questa proprietà sono detti irrazionali. Essi non possono essere scritti in forma frazionaria e la loro espansione decimale è infinita e non periodica. Esempi tipici di numeri irrazionali sono:

  • \(\sqrt{2}\)
  • \(\sqrt{3}\)
  • \(\pi = 3.141592...\)

E.5 Numeri reali

I numeri razionali non coprono tutti i possibili punti sulla retta reale. Per rappresentare ogni possibile misura, grandezza o punto su una linea continua, si considerano i numeri reali, denotati con \(\mathbb{R}\). L’insieme dei numeri reali comprende sia i razionali sia gli irrazionali:

\[ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}. \]

In statistica, la precisione con cui si esprime una misura è spesso legata al numero di cifre decimali utilizzate, sfruttando così appieno la “continuità” offerta dai numeri reali.

E.6 Intervalli Numerici

Definizione: Un intervallo numerico è un sottoinsieme connesso della retta reale. Intuitivamente, rappresenta tutti i numeri reali compresi tra due estremi, che possono o meno essere inclusi nell’intervallo stesso.

Classificazione degli intervalli: Gli intervalli vengono classificati in base all’inclusione o meno degli estremi:

  • Intervallo chiuso: Include entrambi gli estremi. Si indica con \([a, b]\) e rappresenta l’insieme dei numeri reali \(x\) tali che \(a \leq x \leq b\).
  • Intervallo aperto: Non include alcun estremo. Si indica con \((a, b)\) e rappresenta l’insieme dei numeri reali \(x\) tali che \(a < x < b\).
  • Intervalli semiaperti:
    • Chiuso a sinistra e aperto a destra: Include l’estremo sinistro ma non quello destro. Si indica con \([a, b)\) e rappresenta l’insieme dei numeri reali \(x\) tali che \(a \leq x < b\).
    • Aperto a sinistra e chiuso a destra: Include l’estremo destro ma non quello sinistro. Si indica con \((a, b]\) e rappresenta l’insieme dei numeri reali \(x\) tali che \(a < x \leq b\).

Tabella riassuntiva:

Intervallo Notazione Condizione
Chiuso \([a, b]\) \(a \leq x \leq b\)
Aperto \((a, b)\) \(a < x < b\)
Chiuso a sinistra, aperto a destra \([a, b)\) \(a \leq x < b\)
Aperto a sinistra, chiuso a destra \((a, b]\) \(a < x \leq b\)

Osservazioni: * La scelta della notazione con parentesi quadre o tonde indica rispettivamente l’inclusione o l’esclusione degli estremi.