5  Distribuzioni coniugate

“Conjugate families are not chosen because they are realistic, but because they allow us to see the Bayesian machinery at work in its simplest form.”

– Morris H. DeGrootx, Optimal Statistical Decisions (1970)

Introduzione

Nei capitoli precedenti abbiamo visto in azione l’aggiornamento bayesiano in un caso concreto: la stima della proporzione di successi con il modello Beta-Binomiale. Lì abbiamo osservato come la distribuzione a priori (Beta) e la verosimiglianza (Binomiale) si combinino attraverso il teorema di Bayes per produrre una distribuzione a posteriori che appartiene alla stessa famiglia della prior. Questo ci ha permesso di seguire passo dopo passo l’evoluzione delle nostre credenze in modo intuitivo e matematicamente elegante.

In questo capitolo generalizziamo questa idea e introduciamo il concetto di distribuzioni coniugate. Due distribuzioni sono dette coniugate quando, combinando una prior con la corrispondente verosimiglianza, otteniamo un posterior che appartiene alla stessa famiglia della prior. In altre parole, la forma della distribuzione rimane stabile, e a cambiare sono soltanto i parametri.

Questa proprietà, apparentemente tecnica, ha in realtà un grande valore didattico e pratico. Dal punto di vista concettuale, ci aiuta a visualizzare con chiarezza come i dati modifichino le nostre credenze: i parametri della distribuzione si aggiornano in modo diretto e cumulativo. Dal punto di vista operativo, rende il calcolo immediato, senza dover ricorrere a metodi di approssimazione numerica.

Naturalmente, sappiamo già dai capitoli precedenti che il mondo reale è spesso più complesso: non sempre abbiamo a disposizione una coppia coniugata, e per modelli più articolati ricorriamo a metodi computazionali come il campionamento MCMC. Ma prima di affrontare quei casi, è utile familiarizzare con le famiglie coniugate, che costituiscono il laboratorio ideale per comprendere a fondo la logica dell’aggiornamento bayesiano.

Panoramica del capitolo

  • Introduzione del modello beta-binomiale.
  • Analisi della distribuzione Beta e del suo ruolo come distribuzione a priori.
  • Aescrizione del processo di aggiornamento bayesiano e dei vantaggi derivanti dall’uso di distribuzioni coniugate.
  • Leggere il capitolo Conjugate Families del testo di Johnson et al. (2022).
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5.1 Il modello Beta-Binomiale

Il modello beta-binomiale è un esempio classico per analizzare una proporzione \(\theta\), ossia la probabilità di successo in una sequenza di prove binarie (ad esempio, successo/fallimento). Supponiamo di osservare \(y\) successi su \(n\) prove, dove ogni prova è indipendente e con la stessa probabilità di successo \(\theta\), che appartiene all’intervallo \([0,1]\).

La funzione di verosimiglianza, basata sulla distribuzione binomiale, è espressa come:

\[ \mathcal{Binomial}(y \mid n, \theta) = \binom{n}{y} \theta^y (1 - \theta)^{n - y}, \] dove \(\binom{n}{y}\) è il coefficiente binomiale che conta il numero di modi in cui \(y\) successi possono verificarsi in \(n\) prove.

Per modellare la nostra conoscenza preliminare su \(\theta\), scegliamo una distribuzione a priori Beta, che rappresenta un’ampia gamma di credenze iniziali con parametri flessibili.

5.2 La distribuzione Beta

La distribuzione Beta è definita come:

\[ \mathcal{Beta}(\theta \mid \alpha, \beta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} \theta^{\alpha - 1} (1 - \theta)^{\beta - 1}, \quad \text{con } \theta \in (0, 1), \] dove:

  • \(\alpha > 0\) e \(\beta > 0\) sono i parametri che determinano la forma della distribuzione,

  • \(B(\alpha, \beta)\) è la funzione Beta di Eulero, calcolata come:

    \[ B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}, \]

    dove \(\Gamma(x)\) è la funzione Gamma, una generalizzazione del fattoriale.

In termini bayesiani, possiamo pensare a questi parametri nel modo seguente:

  • \(\alpha -1\) rappresenta il numero ipotetico di “successi” a priori,
  • \(\beta -1\) rappresenta il numero ipotetico di “fallimenti” a priori.

Ad esempio:

  • una distribuzione Beta(1, 1) è uniforme (0 successi a priori e 0 fallimenti), indicando totale incertezza iniziale (assenza di credenze informate);
  • una distribuzione Beta(10, 20) rappresenta una conoscenza a priori basata su 9 successi e 19 fallimenti ipotizzati, indicando una convinzione iniziale relativamente solida, poiché deriva da un totale di 28 osservazioni virtuali che riflettono le nostre credenze precedenti.

Questa interpretazione consente di calibrare le credenze a priori in base all’evidenza disponibile o alla fiducia nella stima.

La distribuzione Beta è estremamente versatile:

  • valori diversi di \(\alpha\) e \(\beta\) producono distribuzioni simmetriche, asimmetriche o uniformi;
  • valori elevati di \(\alpha\) e \(\beta\) riducono la varianza, riflettendo credenze più forti.

Questa flessibilità rende la distribuzione Beta una scelta ideale per rappresentare credenze iniziali sulle proporzioni.

5.3 Aggiornamento bayesiano

L’aggiornamento bayesiano combina le informazioni iniziali (distribuzione a priori) con i dati osservati (verosimiglianza) per produrre una nuova distribuzione delle nostre credenze (distribuzione a posteriori). Nel caso del modello beta-binomiale, questo processo è particolarmente semplice grazie alla “coniugazione”: il prior Beta e la verosimiglianza Binomiale producono una distribuzione a posteriori che appartiene ancora alla famiglia Beta.

Teorema 5.1 Sia \(Y\sim\mathrm{Binomial}(n,\theta)\) il numero di successi \(y\) in \(n\) prove indipendenti con probabilità di successo \(\theta\), e sia la nostra distribuzione a priori su \(\theta\) una Beta\(\bigl(\alpha,\beta\bigr).\) Allora la distribuzione a posteriori di \(\theta\) dato l’osservazione \(Y=y\) è

\[ \theta \mid Y=y \;\sim\; \mathrm{Beta}\bigl(\alpha + y,\;\beta + (n - y)\bigr), \tag{5.1}\] ovvero i parametri si aggiornano come

\[ \alpha' = \alpha + y, \quad \beta' = \beta + n - y. \tag{5.2}\]

Obiettivo. Mostrare che, con prior \(\theta \sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta)\) e dati \(Y\sim\mathrm{Binomiale}(n,\theta)\), la posteriori è

\[ \theta \mid Y=y \;\sim\; \mathrm{Beta}\bigl(\alpha+y,\;\beta+n-y\bigr). \]

1) Formula di Bayes (forma proporzionale). Per qualunque \(\theta\in(0,1)\):

\[ p(\theta\mid y)\;\propto\; p(y\mid\theta)\, p(\theta), \] dove “\(\propto\)” significa “uguale a una costante (che non dipende da \(\theta\)) per…”. Quella costante verrà ripristinata alla fine.

2) Verosimiglianza binomiale (parte che dipende da \(\theta\)).

\[ p(y\mid\theta) \;=\; \binom{n}{y}\,\theta^{\,y}\,(1-\theta)^{\,n-y}. \] Poiché \(\binom{n}{y}\) non dipende da \(\theta\), ai fini di “\(\propto\)” possiamo scrivere:

\[ p(y\mid\theta)\;\propto\; \theta^{\,y}\,(1-\theta)^{\,n-y}. \]

3) Prior Beta (parte che dipende da \(\theta\)).

\[ p(\theta) \;=\; \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\,\theta^{\,\alpha-1}\,(1-\theta)^{\,\beta-1}, \] e dunque, ignorando la costante \(B(\alpha,\beta)\):

\[ p(\theta)\;\propto\;\theta^{\,\alpha-1}\,(1-\theta)^{\,\beta-1}. \]

4) Prodotto “prior × verosimiglianza”. Moltiplichiamo i soli termini che dipendono da \(\theta\):

\[ \begin{aligned} p(\theta\mid y) &\;\propto\; \bigl[\theta^{\,y}(1-\theta)^{\,n-y}\bigr]\;\bigl[\theta^{\,\alpha-1}(1-\theta)^{\,\beta-1}\bigr] \\ &\;=\; \theta^{\,(\alpha-1)+y}\; (1-\theta)^{\,(\beta-1)+(n-y)}. \end{aligned} \]

5) Riconoscere la forma Beta (matching degli esponenti). La forma non normalizzata di una \(\mathrm{Beta}(a,b)\) è:

\[ \theta^{\,a-1}\,(1-\theta)^{\,b-1}. \] Confrontando gli esponenti otteniamo:

\[ a-1 = (\alpha-1)+y \;\;\Rightarrow\;\; a = \alpha + y, \] \[ b-1 = (\beta-1)+(n-y) \;\;\Rightarrow\;\; b = \beta + (n-y). \] Quindi la densità non normalizzata della distribuzione a posteriori è

\[ p(\theta\mid y)\;\propto\;\theta^{\,(\alpha+y)-1}\,(1-\theta)^{\,(\beta+n-y)-1}. \]

6) Ripristino della costante di normalizzazione. Per essere una densità, \(p(\theta\mid y)\) deve integrare a 1 su \(\theta\in(0,1)\). La costante corretta è l’inverso della funzione Beta con i nuovi parametri:

\[ p(\theta\mid y) \;=\; \frac{1}{B(\alpha+y,\;\beta+n-y)}\; \theta^{\,(\alpha+y)-1}\,(1-\theta)^{\,(\beta+n-y)-1}. \]

7) Conclusione (forma parametrica della posteriori).

\[ \boxed{ \;\theta\mid Y=y \;\sim\; \mathrm{Beta}\bigl(\alpha+y,\;\beta+n-y\bigr).\; } \]

Intuizione in termini di “pseudocontenuti di informazione”.

  • La Beta\((\alpha,\beta)\) può essere interpretata in termini di pseudoconteggi: \(\alpha-1\) “successi” e \(\beta-1\) “insuccessi” precedenti ai dati.

  • Dopo aver osservato \(y\) successi e \(n-y\) insuccessi, si sommano i conteggi:

    \[ \alpha \to \alpha+y,\qquad \beta \to \beta+(n-y). \]

  • Questa additività spiega la conjugatezza: prior e posterior appartengono alla stessa famiglia.

Controllo rapido della normalizzazione. Usiamo la definizione di \(B(a,b)\):

\[ B(a,b) \;=\; \int_0^1 \theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1}\,d\theta. \] Con \(a=\alpha+y\) e \(b=\beta+n-y\), l’integrale della nostra forma non normalizzata è \(B(\alpha+y,\beta+n-y)\); moltiplicando per \(1/B(\alpha+y,\beta+n-y)\) otteniamo dunque una densità che integra a 1.

Per \(\theta\mid y \sim \mathrm{Beta}(\alpha+y,\beta+n-y)\):

  • Media posteriori:

    \[ \mathbb{E}[\theta\mid y] \;=\; \frac{\alpha+y}{\alpha+\beta+n}. \]

  • Moda (se parametri \(>1\)):

    \[ \frac{\alpha+y-1}{\alpha+\beta+n-2}. \]

  • Varianza:

    \[ \mathrm{Var}(\theta\mid y) \;=\; \frac{(\alpha+y)(\beta+n-y)}{(\alpha+\beta+n)^2\,(\alpha+\beta+n+1)}. \]

5.3.1 Vantaggi del modello Beta-Binomiale

  1. Semplicità analitica: la coniugatezza della distribuzione Beta-Binomiale semplifica i calcoli, rendendo immediato l’aggiornamento dei parametri.
  2. Interpretazione intuitiva: l’aggiornamento dei parametri \(\alpha\) e \(\beta\) mostra in modo trasparente come i dati influenzino le credenze.

In sintesi, il modello Beta-Binomiale è un esempio didattico fondamentale per comprendere l’inferenza bayesiana e rappresenta un punto di partenza ideale per approcci più avanzati.

Nel Capitolo 4 abbiamo utilizzato il metodo basato su griglia per determinare la distribuzione a posteriori nel caso di \(y = 6\) successi su \(n = 9\) prove (vedi anche McElreath, 2020 per una discussione dettagliata). Ora esploriamo un approccio alternativo, sfruttando le proprietà delle famiglie coniugate.

La verosimiglianza binomiale per questo esperimento è espressa dalla seguente funzione:

\[ \mathcal{L}(\theta) \propto \theta^y (1-\theta)^{n-y}, \] dove \(y = 6\) rappresenta il numero di successi e \(n = 9\) il numero totale di prove.

Scegliendo una distribuzione a priori Beta con parametri \(\alpha = 2\) e \(\beta = 5\), possiamo applicare il teorema di Bayes per calcolare i parametri aggiornati della distribuzione a posteriori. In base alla regola di aggiornamento per distribuzioni coniugate, otteniamo:

\[ \alpha' = \alpha + y = 2 + 6 = 8. \] \[ \beta' = \beta + n - y = 5 + 9 - 6 = 8. \] La distribuzione a posteriori risultante è quindi una distribuzione Beta con parametri \(\mathcal{Beta}(8, 8)\).

Procediamo ora a visualizzare le tre distribuzioni rilevanti:

  1. Distribuzione a priori: \(\mathcal{Beta}(2, 2)\),
  2. Verosimiglianza binomiale: per \(y = 6\) e \(n = 9\),
  3. Distribuzione a posteriori: \(\text{Beta}(8, 5)\).

Ecco il codice R per generare il grafico comparativo:

# Definizione dei parametri
alpha_prior <- 2
beta_prior <- 5
y <- 6
n <- 9

# Parametri della distribuzione a posteriori
alpha_post <- alpha_prior + y
beta_post <- beta_prior + n - y

# Sequenza di valori di theta
theta <- seq(0, 1, length.out = 1000)

# Calcolo delle PDF
prior_pdf <- dbeta(theta, shape1 = alpha_prior, shape2 = beta_prior)
likelihood <- theta^y * (1 - theta)^(n - y)

# Normalizzazione della verosimiglianza
likelihood_integral <- sum(likelihood) * (theta[2] - theta[1])
normalized_likelihood <- likelihood / likelihood_integral

posterior_pdf <- dbeta(theta, shape1 = alpha_post, shape2 = beta_post)

# Creare un dataframe contenente i dati per il grafico
df <- data.frame(
  theta = rep(theta, 3),
  densita = c(prior_pdf, normalized_likelihood, posterior_pdf),
  distribuzione = rep(c("Prior", "Likelihood", "Posterior"), each = length(theta))
)

# Creare il grafico 
ggplot(df, aes(x = theta, y = densita, color = distribuzione)) +
  geom_line(size = 1) +  # Aggiungere le linee per le distribuzioni
  scale_color_manual(values = c("Prior" = "blue", "Likelihood" = "green", "Posterior" = "red")) +  # Assegnare i colori
  labs(title = "Distribuzioni Prior, Likelihood e Posterior",
       x = expression(theta),
       y = "Densità",
       color = "Distribuzione") +  # Aggiungere titoli e label
  theme(legend.position = "top")  # Posizionare la legenda in alto

  • Curva blu: Prior \(\mathcal{Beta}(2, 5)\), che riflette le credenze iniziali prima dell’osservazione dei dati.
  • Curva verde: Likelihood (normalizzata), rappresenta l’evidenza fornita dai dati osservati.
  • Curva rossa: Posterior \(\mathcal{Beta}(8, 8)\), risultato dell’aggiornamento bayesiano che combina prior e likelihood.

Nota sulla normalizzazione della verosimiglianza. La verosimiglianza binomiale non è una distribuzione di probabilità (il suo integrale non è pari a 1). Per rappresentarla visivamente accanto alla distribuzione a priori e a quella a posteriori, è necessario normalizzarla. Questo è fatto calcolando il suo integrale su \(\theta \in [0, 1]\) e dividendo la funzione per il risultato. La normalizzazione serve solo per la visualizzazione e non influisce sui calcoli analitici.

Esaminiamo ora un esempio discuso da Johnson et al. (2022). In uno studio molto famoso, Stanley Milgram ha studiato la propensione delle persone a obbedire agli ordini delle figure di autorità, anche quando tali ordini potrebbero danneggiare altre persone (Milgram 1963). Nell’articolo, Milgram descrive lo studio come

consistente nell’ordinare a un soggetto ingenuo di somministrare una scossa elettrica a una vittima. Viene utilizzato un generatore di scosse simulato, con 30 livelli di tensione chiaramente contrassegnati che vanno da IS a 450 volt. Lo strumento porta delle designazioni verbali che vanno da Scossa Lieve a Pericolo: Scossa Grave. Le risposte della vittima, che è un complice addestrato dell’esperimentatore, sono standardizzate. Gli ordini di somministrare scosse vengono dati al soggetto ingenuo nel contesto di un ‘esperimento di apprendimento’ apparentemente organizzato per studiare gli effetti della punizione sulla memoria. Man mano che l’esperimento procede, al soggetto ingenuo viene ordinato di somministrare scosse sempre più intense alla vittima, fino al punto di raggiungere il livello contrassegnato Pericolo: Scossa Grave.

In altre parole, ai partecipanti allo studio veniva dato il compito di testare un altro partecipante (che in realtà era un attore addestrato) sulla loro capacità di memorizzare una serie di item. Se l’attore non ricordava un item, al partecipante veniva ordinato di somministrare una scossa all’attore e di aumentare il livello della scossa con ogni fallimento successivo. I partecipanti non erano consapevoli del fatto che le scosse fossero finte e che l’attore stesse solo fingendo di provare dolore dalla scossa.

Nello studio di Milgram, 26 partecipanti su 40 hanno somministrato scosse al livello “Pericolo: Scossa Grave”. Il problema richiede di costruire la distribuzione a posteriori della probabilità \(\theta\) di infliggere una scossa a l livello “Pericolo: Scossa Grave”, ipotizzando che uno studio precedente aveva stabilito che \(\theta\) segue una distribuzione Beta(1, 10).

Iniziamo a fornire una rappresentazione grafica della distribuzione a priori.

# Impostazione dei parametri della distribuzione Beta
alpha <- 1
beta_val <- 10

# Creazione di valori x per il plot
x_values <- seq(0, 1, length.out = 1000)

# Calcolo della densità di probabilità per ogni valore di x
beta_pdf <- dbeta(x_values, shape1 = alpha, shape2 = beta_val)

# Creare un dataframe contenente i dati per il grafico
df <- data.frame(
  x = x_values,
  densita = beta_pdf
)

# Creare il grafico
ggplot(df, aes(x = x, y = densita)) +
  geom_line(color = "#b97c7c", size = 1) +  # Aggiungere la linea per la densità
  labs(title = "Distribuzione Beta(1, 10)",  # Aggiungere il titolo
       x = "x",  # Label dell'asse x
       y = "Densità di probabilità") +  # Label dell'asse y
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +  # Centrare il titolo
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", linetype = "dashed", size = 0.5) +  # Linea verticale opzionale
  geom_vline(xintercept = 1, color = "black", linetype = "dashed", size = 0.5) +  # Linea verticale opzionale
  annotate("text", x = 0.8, y = max(beta_pdf) * 0.9, label = "Beta(1, 10)", color = "#b97c7c", size = 5)  # Aggiungere una legenda

La distribuzione a posteriori segue una distribuzione Beta con parametri aggiornati:

y <- 26
n <- 40

alpha_prior <- 1
beta_prior <- 10

alpha_post <- alpha_prior + y
beta_post <- beta_prior + n - y

alpha_post
#> [1] 27
beta_post
#> [1] 24

Creazione di un grafico per la distribuzione a posteriori:

# Creazione di valori x per il plot
x_values <- seq(0, 1, length.out = 1000)

# Calcolo della densità di probabilità per ogni valore di x
beta_pdf <- dbeta(x_values, alpha_post, beta_post)

# Creare un dataframe contenente i dati per il grafico
df <- data.frame(
  theta = x_values,
  densita = beta_pdf
)

# Creare il grafico con ggplot2
ggplot(df, aes(x = theta, y = densita)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +  # Aggiungere la linea per la densità
  labs(title = "Distribuzione Beta(27, 24)",  # Aggiungere il titolo
       x = expression(theta),  # Label dell'asse x usando espressioni matematiche
       y = "Densità di probabilità") +  # Label dell'asse y
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +  # Centrare il titolo
  annotate("text", x = 0.8, y = max(beta_pdf) * 0.9, label = "Beta(27, 24)", color = "blue", size = 5)

Calcolo della media a posteriori di \(\theta\):

alpha_post / (alpha_post + beta_post)
#> [1] 0.529

Calcolo della moda a posteriori:

(alpha_post - 1) / (alpha_post + beta_post - 2)
#> [1] 0.531

Calcolo della probabilità che \(\theta > 0.6\):

pbeta(0.6, alpha_post, beta_post, lower.tail = FALSE)
#> [1] 0.156

Ovvero:

1 - pbeta(0.6, alpha_post, beta_post)
#> [1] 0.156

Eseguiamo il problema utilizzando il metodo basato su griglia. Definiamo la griglia di interesse:

theta <- seq(0, 1, length.out = 100)

Creiamo la distribuzione a priori:

prior <- dbeta(theta, alpha_prior, beta_prior)

# Normalizzazione della densità per ottenere una somma pari a 1
prior_normalized <- prior / sum(prior)

# Creare un dataframe contenente i dati per il grafico
df <- data.frame(
  theta = theta,
  probabilita = prior_normalized
)

# Creare il grafico con ggplot2
ggplot(df, aes(x = theta, y = probabilita)) +
  geom_segment(aes(x = theta, xend = theta, y = 0, yend = probabilita), 
               color = "blue", size = 1) +  # Linee verticali per rappresentare le probabilità
  labs(title = "Distribuzione a priori",  # Aggiungere il titolo
       x = expression(theta),  # Label dell'asse x usando espressioni matematiche
       y = "Probabilità") +  # Label dell'asse y
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))  # Centrare il titolo

Creiamo la verosimiglianza:

lk <- dbinom(y, n, theta)

# Normalizzazione della verosimiglianza per ottenere una somma pari a 1
lk_normalized <- lk / sum(lk)

# Creare un dataframe contenente i dati per il grafico
df <- data.frame(
  theta = theta,
  probabilita = lk_normalized
)

# Creare il grafico con ggplot2
ggplot(df, aes(x = theta, y = probabilita)) +
  geom_segment(aes(x = theta, xend = theta, y = 0, yend = probabilita), 
               color = "red", size = 1) +  # Linee verticali per rappresentare la verosimiglianza
  labs(title = "Verosimiglianza",  # Aggiungere il titolo
       x = expression(theta),  # Label dell'asse x usando espressioni matematiche
       y = "Probabilità") +  # Label dell'asse y
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))  # Centrare il titolo

Calcoliamo la distribuzione a posteriori:

post <- (prior * lk) / sum(prior * lk)

# Normalizzazione della verosimiglianza per ottenere una somma pari a 1
lk_normalized <- lk / sum(lk)

# Creare un dataframe contenente i dati per il grafico
df <- data.frame(
  theta = theta,
  probabilita = lk_normalized
)

# Creare il grafico con ggplot2
ggplot(df, aes(x = theta, y = probabilita)) +
  geom_segment(aes(x = theta, xend = theta, y = 0, yend = probabilita), 
               color = "green", size = 1) +  # Linee verticali per rappresentare la verosimiglianza
  labs(title = "Distribuzione a posteriori",  # Aggiungere il titolo
       x = expression(theta),  # Label dell'asse x usando espressioni matematiche
       y = "Probabilità") +  # Label dell'asse y
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))  # Centrare il titolo

Estrazione di un campione dalla distribuzione a posteriori:

samples <- sample(theta, size = 1e6, replace = TRUE, prob = post)

Troviamo la media a posteriori:

mean(samples)
#> [1] 0.529

Calcoliamo la probabilità che \(\theta > 0.6\):

mean(samples > 0.6)
#> [1] 0.153

Questo codice mantiene la struttura logica del problema e produce risultati equivalenti utilizzando R.

Consideriamo un esempio discusso da Nalborczyk (2018) nel quale, oltre all’applicazione del teorema beta-binimiale, viene anche introdotto il concetto di posterior-predictive check.

Supponiamo di reclutare partecipanti per uno studio di mezza ora:

  • Possiamo farlo fra le 9:00 e le 18:00, con sessioni ogni 30 minuti.
  • In una settimana lavorativa (lun–ven) otteniamo \(n = 90\) time slot.
  • Ad ogni slot, il partecipante o si presenta (\(1\)) o manca (\(0\)).

Vogliamo stimare la probabilità media di presenza, che chiameremo \(\theta\).

Modello:

\[ \begin{cases} Y \mid \theta \;\sim\;\mathrm{Binomial}(n,\theta),\\[6pt] \theta \;\sim\;\mathrm{Beta}(\alpha,\beta). \end{cases} \]

Scelta del prior:

  • conoscenze pregresse suggeriscono che \(\theta\) sia intorno a 0.5;
  • scegliamo quindi un prior \(\;\mathrm{Beta}(2,2)\), che ha media \(0.5\) e riflette incertezza moderata.

Dati osservati:

# vettore di 0/1 con n = 90 osservazioni
y <- c(
  0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,
  0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,
  1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,
  1,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,
  0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0
)

Calcoliamo

n <- length(y)  # numero di slot = 90
z <- sum(y)     # numero di presenze = numero di 1

Posterior Beta–Binomiale.

I parametri aggiornati sono

\[ \alpha_{post} = \alpha + z, \quad \beta_{post} = \beta + (n - z). \]

In particolare, con \(\alpha=\beta=2\):

a <- b <- 2
a_post <- a + z
b_post <- b + (n - z)

Il posterior è quindi

\[ \theta\mid y \;\sim\;\mathrm{Beta}(a+z,\;b+n-z). \]

Visualizzazione:

# griglia per theta
grid <- seq(0, 1, length.out = 1000)

# densità
prior     <- dbeta(grid, a,      b)
posterior <- dbeta(grid, a_post, b_post)

df <- data.frame(theta = grid,
                 prior = prior,
                 posterior = posterior)

ggplot(df) +
  geom_area(aes(x = theta, y = prior,
                fill = "Prior", colour = "Prior"),
            alpha = 0.5, size = 1) +
  geom_area(aes(x = theta, y = posterior,
                fill = "Posterior", colour = "Posterior"),
            alpha = 0.5, size = 1) +
  scale_fill_grey(name = "") +
  scale_colour_grey(name = "") +
  theme_bw(base_size = 12) +
  xlab(expression(theta)) +
  ylab("") +
  ggtitle("Densità Prior e Posterior\nmodello Beta–Binomiale")

Introduzione ai posterior predictive checks.

Il modello assume indipendenza fra i time slot. Se questa assunzione è violata (ad es. presenza autocorrelata nel tempo), le nostre stime potrebbero essere fuorvianti.

Idea:

  1. Simulare \(\theta\) dal posterior.
  2. Dato ciascun \(\theta\), generare una nuova serie \(y^{rep}\) da
    \(\mathrm{Binomial}(n,\theta)\).
  3. Calcolare su ogni \(y^{rep}\) una test-quantità \(T(y^{rep})\).
  4. Confrontare la distribuzione di \(T(y^{rep})\) con il valore osservato \(T(y)\).

Se \(T(y)\) è un outlier rispetto ai \(T(y^{rep})\), l’assunzione di indipendenza è sospetta.

Test‐quantità: numero di “switch”.

Definiamo una funzione che conta quante volte la serie passa da 0→1 o da 1→0:

count_switches <- function(x) {
  sum(abs(diff(x)) == 1)
}

# valore osservato
Ty <- count_switches(y)
cat("Switch osservati:", Ty, "\n")
#> Switch osservati: 28

Simulazione e istogramma.

set.seed(123)      # per riproducibilità
nsims <- 10000     # numero di repliche

sim_switches <- replicate(nsims, {
  # 1) estrai un theta dal posterior
  theta_sim <- rbeta(1, a_post, b_post)
  # 2) genera y^rep ~ Bernoulli(theta_sim)
  y_sim     <- rbinom(n, size = 1, prob = theta_sim)
  # 3) conta gli switch
  count_switches(y_sim)
})

# Istogramma
hist(sim_switches,
     breaks = 30,
     col    = "lightgrey",
     main   = "Distribuzione Posterior Predictive\ndel numero di switch",
     xlab   = "Numero di switch",
     ylab   = "Frequenza")
abline(v = Ty, col = "darkgreen", lty = 2, lwd = 2)

Bayesian p‐value.

Calcoliamo la probabilità di ottenere un numero di switch ≤ di quello osservato:

p_value <- mean(sim_switches <= Ty)
cat("Bayesian p-value:", round(p_value, 4), "\n")
#> Bayesian p-value: 0.0073
  • Un valore molto basso (es. \(<0.05\)) indica che \(T(y)\) è sorprendente rispetto alle predizioni del modello.
  • Qui: se \(p\approx 0.01\), la bassa variabilità di switch suggerisce dipendenza fra le osservazioni.

Interpretazione.

  • Un modello non è “giusto” o “sbagliato”, ma deve descrivere bene il processo che genera i dati.
  • Il nostro check mostra che il numero di switch osservato è molto minore di quanto ci aspetteremmo sotto l’ipotesi di indipendenza.
  • Con tutta probabilità c’è autocorrelazione temporale (le presenze dipendono dall’ora del giorno).
  • Per tenerne conto, si potrebbero usare modelli più avanzati (es. processi gaussiani).

In sintesi, il posterior predictive checking ci offre un modo flessibile per diagnosticare diverse violazioni del modello, scegliendo test‐quantities adatte (media, varianza, max, autocorrelazione, …). Come scrivono Gelman et al. (2013), “i p-valori posteriori … possono essere calcolati per varie test-quantities per valutare più modi in cui un modello può fallire”.

5.4 Principali distribuzioni coniugate

Esistono altre combinazioni di verosimiglianza e distribuzione a priori che producono una distribuzione a posteriori con la stessa forma della distribuzione a priori. Ecco alcune delle più note coniugazioni tra modelli statistici e distribuzioni a priori:

  • Nel modello Normale-Normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2_0)\), la distribuzione a priori è \(\mathcal{N}(\mu_0, \tau^2)\) e la distribuzione a posteriori è \(\mathcal{N}\left(\frac{\mu_0\sigma^2 + \bar{y}n\tau^2}{\sigma^2 + n\tau^2}, \frac{\sigma^2\tau^2}{\sigma^2 + n\tau^2} \right)\).

  • Nel modello Poisson-gamma \(\text{Po}(\theta)\), la distribuzione a priori è \(\Gamma(\lambda, \delta)\) e la distribuzione a posteriori è \(\Gamma(\lambda + n \bar{y}, \delta +n)\).

  • Nel modello Esponenziale \(\text{Exp}(\theta)\), la distribuzione a priori è \(\Gamma(\lambda, \delta)\) e la distribuzione a posteriori è \(\Gamma(\lambda + n, \delta +n\bar{y})\).

  • Nel modello Uniforme-Pareto \(\text{U}(0, \theta)\), la distribuzione a priori è \(\text{Pa}(\alpha, \varepsilon)\) e la distribuzione a posteriori è \(\text{Pa}(\alpha + n, \max(y_{(n)}, \varepsilon))\).

Riflessioni conclusive

In questo capitolo abbiamo approfondito l’idea di famiglia coniugata, mostrando come, in certi casi, il teorema di Bayes mantenga invariata la forma della distribuzione a priori. L’esempio del modello Beta-Binomiale, già incontrato in precedenza, ci ha offerto l’occasione di vedere con chiarezza come i dati modifichino le nostre credenze in modo semplice e cumulativo: basta aggiornare i parametri della distribuzione, senza cambiare la sua struttura.

Questa proprietà, apparentemente tecnica, riveste una grande importanza concettuale. Le distribuzioni coniugate costituiscono il laboratorio ideale per comprendere a fondo la logica dell’inferenza bayesiana: permettono di seguire con trasparenza il passaggio da prior a posterior, di vedere come ogni nuova osservazione si traduca in un aggiornamento dei parametri e di cogliere in maniera intuitiva la natura dinamica del processo.

Naturalmente, sappiamo che la coniugazione è un caso speciale. Nella maggior parte dei problemi reali, soprattutto quando i modelli diventano complessi e includono più parametri o strutture gerarchiche, non esiste una coppia prior–verosimiglianza coniugata che semplifichi i calcoli. È in questi casi che entrano in gioco metodi computazionali più generali, come il campionamento MCMC, che ci permettono di affrontare situazioni realistiche senza rinunciare alla coerenza dell’approccio bayesiano (Johnson et al., 2022).

In questo senso, le famiglie coniugate non rappresentano un punto di arrivo, ma un passaggio fondamentale: ci insegnano i principi dell’aggiornamento bayesiano in un contesto semplice, che prepara la strada verso strumenti più potenti e flessibili.

Si consideri lo studio “An excess of positive results: Comparing the standard psychology literature with registered reports” di Scheel et al. (2021). In questo lavoro, gli autori confrontano il tasso di risultati positivi \(\theta\) ottenuti in studi psicologici pubblicati senza preregistrazione con quelli pubblicati con preregistrazione. Si utilizzi il tasso di successo riportato negli studi preregistrati per costruire una distribuzione a priori per il parametro \(\theta\).

Secondo i risultati degli studi preregistrati, gli autori riscontrano un tasso di successo del 43.66%, con un intervallo di confidenza al 95% [CI] = [31.91, 55.95]. Sulla base di questi dati, si costruisca una distribuzione beta come distribuzione a priori per \(\theta\), seguendo il metodo illustrato da Johnson et al. (2022).

Successivamente, utilizzando questa distribuzione beta come distribuzione a priori, si determini la distribuzione a posteriori utilizzando il metodo delle famiglie coniugate per due scenari distinti, basati su 152 studi osservati: (a) Un tasso di successo del 60% (b) Un tasso di successo del 96% (come riportato per gli studi non preregistrati da Scheel et al. (2021)).

Infine, si commentino i risultati derivanti dall’analisi delle distribuzioni a posteriori ottenute per entrambi gli scenari.

# Caricamento delle librerie necessarie
library(ggplot2)
library(tidyr)
library(dplyr)

# Funzione per trovare i parametri della distribuzione beta
find_beta_parameters <- function(mean, lower, upper, conf_level = 0.95) {
  # Funzione obiettivo da minimizzare
  objective <- function(alpha) {
    beta <- alpha * (1 - mean) / mean
    predicted_ci <- qbeta(c((1-conf_level)/2, 1-(1-conf_level)/2), alpha, beta)
    error <- (predicted_ci[1] - lower)^2 + (predicted_ci[2] - upper)^2
    return(error)
  }
  
  # Ottimizzazione per trovare alpha
  result <- optimize(objective, interval = c(0.1, 100))
  alpha <- result$minimum
  beta <- alpha * (1 - mean) / mean
  
  return(list(alpha = alpha, beta = beta))
}

# Parametri degli studi preregistrati
mean_preregistered <- 0.4366
ci_lower <- 0.3191
ci_upper <- 0.5595

# Calcolo dei parametri della distribuzione beta a priori
prior_params <- find_beta_parameters(mean_preregistered, ci_lower, ci_upper)
alpha_prior <- prior_params$alpha
beta_prior <- prior_params$beta

# Dati osservati
n <- 152  # numero di studi
successes_60 <- round(0.60 * n)  # scenario (a)
successes_96 <- round(0.96 * n)  # scenario (b)

# Calcolo delle distribuzioni a posteriori
alpha_post_60 <- alpha_prior + successes_60
beta_post_60 <- beta_prior + (n - successes_60)

alpha_post_96 <- alpha_prior + successes_96
beta_post_96 <- beta_prior + (n - successes_96)

# Creazione del dataframe per il plotting
theta <- seq(0, 1, length.out = 1000)

df <- data.frame(
  theta = rep(theta, 3),
  density = c(
    dbeta(theta, alpha_prior, beta_prior),
    dbeta(theta, alpha_post_60, beta_post_60),
    dbeta(theta, alpha_post_96, beta_post_96)
  ),
  distribution = rep(c("Priori", "Posteriori (60%)", "Posteriori (96%)"), 
                    each = length(theta))
)

# Creazione del grafico
p <- ggplot(df, aes(x = theta, y = density, color = distribution)) +
  geom_line(size = 1) +
  labs(
    title = "Distribuzioni a Priori e a Posteriori",
    x = expression(theta),
    y = "Densità",
    color = "Distribuzione"
  ) +
  theme(legend.position = "bottom")

# Calcolo degli intervalli di credibilità al 95%
credible_intervals <- data.frame(
  Distribution = c("Priori", "Posteriori (60%)", "Posteriori (96%)"),
  Mean = c(
    alpha_prior / (alpha_prior + beta_prior),
    alpha_post_60 / (alpha_post_60 + beta_post_60),
    alpha_post_96 / (alpha_post_96 + beta_post_96)
  ),
  Lower = c(
    qbeta(0.025, alpha_prior, beta_prior),
    qbeta(0.025, alpha_post_60, beta_post_60),
    qbeta(0.025, alpha_post_96, beta_post_96)
  ),
  Upper = c(
    qbeta(0.975, alpha_prior, beta_prior),
    qbeta(0.975, alpha_post_60, beta_post_60),
    qbeta(0.975, alpha_post_96, beta_post_96)
  )
)

# Visualizzazione dei risultati
print("Parametri della distribuzione beta a priori:")
print(paste("alpha =", round(alpha_prior, 2)))
print(paste("beta =", round(beta_prior, 2)))

print("\nIntervalli di credibilità al 95%:")
print(credible_intervals)

# Visualizza il grafico
print(p)

Tra i fattori che possono influenzare il rapporto tra i sessi alla nascita c’è la condizione materna di placenta previa, una condizione insolita della gravidanza in cui la placenta è impiantata in basso nell’utero, impedendo un normale parto vaginale del feto. Uno studio condotto in Germania ha esaminato il sesso dei neonati in casi di placenta previa e ha riscontrato che, su un totale di 980 nascite, 437 erano femmine.

Quanta evidenza fornisce questo studio a supporto dell’ipotesi che la proporzione di nascite femminili nella popolazione di placenta previa sia inferiore a 0.485, che rappresenta la proporzione di nascite femminili nella popolazione generale? (Esercizio tratto da Gelman et al. (2013))

# Caricamento delle librerie necessarie
library(ggplot2)

# Dati osservati
n <- 980        # numero totale di nascite
y <- 437        # numero di femmine
p0 <- 0.485     # proporzione nella popolazione generale

# Calcolo della proporzione osservata
p_hat <- y/n
print(paste("Proporzione osservata di femmine:", round(p_hat, 3)))

# Test dell'ipotesi utilizzando il Bayes Factor
# H0: p = 0.485 vs H1: p < 0.485

# Funzione per calcolare la verosimiglianza marginale sotto H1
marginal_likelihood_h1 <- function(y, n, p_max = 0.485) {
  # Integrazione numerica sulla distribuzione uniforme tra 0 e p_max
  p_grid <- seq(0, p_max, length.out = 1000)
  likelihood <- dbinom(y, n, p_grid)
  prior <- dunif(p_grid, 0, p_max)
  mean(likelihood * prior) * p_max
}

# Verosimiglianza sotto H0
likelihood_h0 <- dbinom(y, n, p0)

# Verosimiglianza marginale sotto H1
marg_lik_h1 <- marginal_likelihood_h1(y, n)

# Calcolo del Bayes Factor
bf10 <- marg_lik_h1 / likelihood_h0
print(paste("Bayes Factor (H1 vs H0):", round(bf10, 2)))

# Visualizzazione delle distribuzioni a posteriori
p_grid <- seq(0, 1, length.out = 1000)
likelihood <- dbinom(y, n, p_grid)
prior <- dunif(p_grid, 0, 1)
posterior <- likelihood * prior
posterior <- posterior / sum(posterior)

# Creazione del dataframe per il plotting
df <- data.frame(
  p = p_grid,
  Posterior = posterior / max(posterior)  # normalizzato per la visualizzazione
)

# Creazione del grafico
p <- ggplot(df, aes(x = p, y = Posterior)) +
  geom_line(size = 1) +
  geom_vline(xintercept = p0, linetype = "dashed", color = "red") +
  geom_vline(xintercept = p_hat, linetype = "dashed", color = "blue") +
  labs(
    title = "Distribuzione a Posteriori della Proporzione di Nascite Femminili",
    x = "Proporzione di Nascite Femminili (p)",
    y = "Densità a Posteriori (normalizzata)"
  ) +
  annotate("text", x = p0, y = 0.1, 
           label = "Popolazione Generale", 
           angle = 90, vjust = -0.5, color = "red") +
  annotate("text", x = p_hat, y = 0.1, 
           label = "Proporzione Osservata", 
           angle = 90, vjust = -0.5, color = "blue")

# Calcolo dell'intervallo di credibilità al 95%
sorted_p <- sort(p_grid)
cum_post <- cumsum(posterior)
lower <- sorted_p[which(cum_post > 0.025)[1]]
upper <- sorted_p[which(cum_post > 0.975)[1]]

print(paste("Intervallo di credibilità al 95%: [", 
            round(lower, 3), ",", round(upper, 3), "]"))

# Calcolo della probabilità a posteriori che p < 0.485
prob_less_than_p0 <- sum(posterior[p_grid < p0])
print(paste("Probabilità a posteriori che p < 0.485:", 
            round(prob_less_than_p0, 3)))

# Visualizza il grafico
print(p)

Per valutare la sensibilità della soluzione precedente alla scelta della distribuzione a priori, ripetere l’esercizio utilizzando come distribuzione a priori per la proporzione di nascite femminili una distribuzione Beta(48.5, 51.5). Questa distribuzione è centrata su 0.485 e concentra la maggior parte della sua massa nell’intervallo [0.385, 0.585]. Interpretare i risultati ottenuti.

# Caricamento delle librerie necessarie
library(ggplot2)

# Dati osservati
n <- 980        # numero totale di nascite
y <- 437        # numero di femmine
p0 <- 0.485     # proporzione nella popolazione generale

# Parametri della distribuzione beta a priori
alpha_prior <- 48.5
beta_prior <- 51.5

# Calcolo dei parametri della distribuzione beta a posteriori
alpha_post <- alpha_prior + y
beta_post <- beta_prior + (n - y)

# Creazione della griglia per il plotting
p_grid <- seq(0, 1, length.out = 1000)

# Calcolo delle densità
prior_density <- dbeta(p_grid, alpha_prior, beta_prior)
posterior_density <- dbeta(p_grid, alpha_post, beta_post)

# Creazione del dataframe per il plotting
df <- data.frame(
  p = rep(p_grid, 2),
  density = c(prior_density, posterior_density),
  distribution = rep(c("Priori Beta(48.5, 51.5)", "Posteriori"), each = length(p_grid))
)

# Creazione del grafico
p <- ggplot(df, aes(x = p, y = density, color = distribution)) +
  geom_line(size = 1) +
  geom_vline(xintercept = p0, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(
    title = "Distribuzioni a Priori e a Posteriori",
    subtitle = "Proporzione di Nascite Femminili con Placenta Previa",
    x = "Proporzione di Nascite Femminili (p)",
    y = "Densità",
    color = "Distribuzione"
  ) +
  theme(legend.position = "bottom") +
  annotate("text", x = p0, y = max(posterior_density)/2, 
           label = "Popolazione Generale (0.485)", 
           angle = 90, vjust = -0.5, color = "red")

# Calcolo statistiche rilevanti
# Media a priori e posteriori
prior_mean <- alpha_prior / (alpha_prior + beta_prior)
post_mean <- alpha_post / (alpha_post + beta_post)

# Intervalli di credibilità al 95%
prior_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_prior, beta_prior)
post_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_post, beta_post)

# Probabilità a posteriori che p < 0.485
prob_less_than_p0 <- pbeta(p0, alpha_post, beta_post)

# Output dei risultati
cat("\nRisultati dell'analisi:\n")
cat("------------------------\n")
cat("Dati osservati:\n")
cat(sprintf("Numero totale di nascite: %d\n", n))
cat(sprintf("Numero di femmine: %d\n", y))
cat(sprintf("Proporzione osservata: %.3f\n\n", y/n))

cat("Analisi a priori:\n")
cat(sprintf("Media a priori: %.3f\n", prior_mean))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.3f, %.3f]\n\n", 
            prior_ci[1], prior_ci[2]))

cat("Analisi a posteriori:\n")
cat(sprintf("Media a posteriori: %.3f\n", post_mean))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.3f, %.3f]\n", 
            post_ci[1], post_ci[2]))
cat(sprintf("Probabilità che p < %.3f: %.3f\n", p0, prob_less_than_p0))

# Visualizza il grafico
print(p)
# Caricamento delle librerie necessarie
library(ggplot2)

# Dati osservati
n <- 980        # numero totale di nascite
y <- 437        # numero di femmine
p0 <- 0.485     # proporzione nella popolazione generale

# Parametri della distribuzione beta a priori
alpha_prior <- 48.5
beta_prior <- 51.5

# Calcolo dei parametri della distribuzione beta a posteriori
alpha_post <- alpha_prior + y
beta_post <- beta_prior + (n - y)

# Creazione della griglia per il plotting
p_grid <- seq(0, 1, length.out = 1000)

# Calcolo delle densità
prior_density <- dbeta(p_grid, alpha_prior, beta_prior)
posterior_density <- dbeta(p_grid, alpha_post, beta_post)

# Creazione del dataframe per il plotting
df <- data.frame(
  p = rep(p_grid, 2),
  density = c(prior_density, posterior_density),
  distribution = rep(c("Priori Beta(48.5, 51.5)", "Posteriori"), each = length(p_grid))
)

# Creazione del grafico
p <- ggplot(df, aes(x = p, y = density, color = distribution)) +
  geom_line(size = 1) +
  geom_vline(xintercept = p0, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(
    title = "Distribuzioni a Priori e a Posteriori",
    subtitle = "Proporzione di Nascite Femminili con Placenta Previa",
    x = "Proporzione di Nascite Femminili (p)",
    y = "Densità",
    color = "Distribuzione"
  ) +
  theme(legend.position = "bottom") +
  annotate("text", x = p0, y = max(posterior_density)/2, 
           label = "Popolazione Generale (0.485)", 
           angle = 90, vjust = -0.5, color = "red")

# Calcolo statistiche rilevanti
# Media a priori e posteriori
prior_mean <- alpha_prior / (alpha_prior + beta_prior)
post_mean <- alpha_post / (alpha_post + beta_post)

# Intervalli di credibilità al 95%
prior_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_prior, beta_prior)
post_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_post, beta_post)

# Probabilità a posteriori che p < 0.485
prob_less_than_p0 <- pbeta(p0, alpha_post, beta_post)

# Output dei risultati
cat("\nRisultati dell'analisi:\n")
cat("------------------------\n")
cat("Dati osservati:\n")
cat(sprintf("Numero totale di nascite: %d\n", n))
cat(sprintf("Numero di femmine: %d\n", y))
cat(sprintf("Proporzione osservata: %.3f\n\n", y/n))

cat("Analisi a priori:\n")
cat(sprintf("Media a priori: %.3f\n", prior_mean))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.3f, %.3f]\n\n", 
            prior_ci[1], prior_ci[2]))

cat("Analisi a posteriori:\n")
cat(sprintf("Media a posteriori: %.3f\n", post_mean))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.3f, %.3f]\n", 
            post_ci[1], post_ci[2]))
cat(sprintf("Probabilità che p < %.3f: %.3f\n", p0, prob_less_than_p0))

# Visualizza il grafico
print(p)

I risultati mostrano che:

  1. La proporzione osservata nel campione (0.446) è inferiore al valore di riferimento della popolazione generale (0.485)

  2. La distribuzione a priori Beta(48.5, 51.5):

  • Ha media 0.485
  • Riflette la nostra conoscenza iniziale sulla proporzione di nascite femminili
  • Fornisce un’incertezza ragionevole attorno al valore di riferimento
  1. La distribuzione a posteriori:
  • Ha una media di circa 0.447
  • L’intervallo di credibilità al 95% esclude il valore di riferimento 0.485
  • Indica una probabilità elevata che la vera proporzione sia inferiore a 0.485
  1. Questa analisi suggerisce che:
  • Esiste un’associazione tra placenta previa e una minor proporzione di nascite femminili
  • L’effetto è moderato ma statisticamente rilevante
  • La stima è abbastanza precisa grazie alla dimensione campionaria considerevole

In uno studio recente, Gori et al. (2024) hanno esaminato un campione di 202 adulti italiani e hanno riscontrato una prevalenza di mancini del 6.4%. Una meta-analisi di Papadatou-Pastou et al. (2020), condotta su un totale di 2,396,170 soggetti, riporta che la proporzione di mancini varia tra il 9.3% e il 18.1%, a seconda di come viene misurata la lateralità manuale. Inoltre, Papadatou-Pastou et al. (2020) mostrano che la prevalenza della lateralità manuale varia tra i paesi e nel tempo. Considerata questa incertezza, si determini la distribuzione a posteriori che combina i dati dello studio di Gori et al. (2024) con le informazioni pregresse fornite da Papadatou-Pastou et al. (2020). Le informazioni di Papadatou-Pastou et al. (2020) possono essere espresse in termini di una distribuzione Beta(8, 60).

# Caricamento delle librerie necessarie
library(ggplot2)

# Dati dello studio di Gori et al. (2024)
n <- 202       # dimensione del campione
y <- round(0.064 * n)  # numero di mancini (6.4% del campione)

# Parametri della distribuzione beta a priori (da Papadatou-Pastou et al., 2020)
alpha_prior <- 8
beta_prior <- 60

# Calcolo dei parametri della distribuzione beta a posteriori
alpha_post <- alpha_prior + y
beta_post <- beta_prior + (n - y)

# Creazione della griglia per il plotting
p_grid <- seq(0, 0.3, length.out = 1000)  # limitato a 0.3 per migliore visualizzazione

# Calcolo delle densità
prior_density <- dbeta(p_grid, alpha_prior, beta_prior)
posterior_density <- dbeta(p_grid, alpha_post, beta_post)

# Creazione del dataframe per il plotting
df <- data.frame(
  p = rep(p_grid, 2),
  density = c(prior_density, posterior_density),
  distribution = rep(c("Priori (Papadatou-Pastou et al., 2020)", 
                      "Posteriori (con dati Gori et al., 2024)"), 
                    each = length(p_grid))
)

# Calcolo statistiche rilevanti
prior_mean <- alpha_prior / (alpha_prior + beta_prior)
post_mean <- alpha_post / (alpha_post + beta_post)

prior_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_prior, beta_prior)
post_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_post, beta_post)

# Creazione del grafico
p <- ggplot(df, aes(x = p, y = density, color = distribution)) +
  geom_line(size = 1) +
  geom_vline(xintercept = 0.064, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(
    title = "Distribuzione della Prevalenza dei Mancini",
    subtitle = "Confronto tra Distribuzione a Priori e a Posteriori",
    x = "Proporzione di Mancini",
    y = "Densità",
    color = "Distribuzione"
  ) +
  theme(legend.position = "bottom") +
  annotate("text", x = 0.064, y = max(posterior_density)/2, 
           label = "Valore osservato (6.4%)", 
           angle = 90, vjust = -0.5, color = "red")

# Output dei risultati
cat("\nRisultati dell'analisi:\n")
cat("------------------------\n")
cat("Distribuzione a priori (Papadatou-Pastou et al., 2020):\n")
cat(sprintf("Media: %.1f%%\n", prior_mean * 100))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.1f%%, %.1f%%]\n\n", 
            prior_ci[1] * 100, prior_ci[2] * 100))

cat("Dati osservati (Gori et al., 2024):\n")
cat(sprintf("Campione: %d individui\n", n))
cat(sprintf("Mancini osservati: %d (%.1f%%)\n\n", y, y/n * 100))

cat("Distribuzione a posteriori:\n")
cat(sprintf("Media: %.1f%%\n", post_mean * 100))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.1f%%, %.1f%%]\n", 
            post_ci[1] * 100, post_ci[2] * 100))

# Visualizza il grafico
print(p)
# Caricamento delle librerie necessarie
library(ggplot2)

# Dati dello studio di Gori et al. (2024)
n <- 202       # dimensione del campione
y <- round(0.064 * n)  # numero di mancini (6.4% del campione)

# Parametri della distribuzione beta a priori (da Papadatou-Pastou et al., 2020)
alpha_prior <- 8
beta_prior <- 60

# Calcolo dei parametri della distribuzione beta a posteriori
alpha_post <- alpha_prior + y
beta_post <- beta_prior + (n - y)

# Creazione della griglia per il plotting
p_grid <- seq(0, 0.3, length.out = 1000)  # limitato a 0.3 per migliore visualizzazione

# Calcolo delle densità
prior_density <- dbeta(p_grid, alpha_prior, beta_prior)
posterior_density <- dbeta(p_grid, alpha_post, beta_post)

# Creazione del dataframe per il plotting
df <- data.frame(
  p = rep(p_grid, 2),
  density = c(prior_density, posterior_density),
  distribution = rep(c("Priori (Papadatou-Pastou et al., 2020)", 
                      "Posteriori (con dati Gori et al., 2024)"), 
                    each = length(p_grid))
)

# Calcolo statistiche rilevanti
prior_mean <- alpha_prior / (alpha_prior + beta_prior)
post_mean <- alpha_post / (alpha_post + beta_post)

prior_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_prior, beta_prior)
post_ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_post, beta_post)

# Creazione del grafico
p <- ggplot(df, aes(x = p, y = density, color = distribution)) +
  geom_line(size = 1) +
  geom_vline(xintercept = 0.064, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(
    title = "Distribuzione della Prevalenza dei Mancini",
    subtitle = "Confronto tra Distribuzione a Priori e a Posteriori",
    x = "Proporzione di Mancini",
    y = "Densità",
    color = "Distribuzione"
  ) +
  theme(legend.position = "bottom") +
  annotate("text", x = 0.064, y = max(posterior_density)/2, 
           label = "Valore osservato (6.4%)", 
           angle = 90, vjust = -0.5, color = "red")

# Output dei risultati
cat("\nRisultati dell'analisi:\n")
cat("------------------------\n")
cat("Distribuzione a priori (Papadatou-Pastou et al., 2020):\n")
cat(sprintf("Media: %.1f%%\n", prior_mean * 100))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.1f%%, %.1f%%]\n\n", 
            prior_ci[1] * 100, prior_ci[2] * 100))

cat("Dati osservati (Gori et al., 2024):\n")
cat(sprintf("Campione: %d individui\n", n))
cat(sprintf("Mancini osservati: %d (%.1f%%)\n\n", y, y/n * 100))

cat("Distribuzione a posteriori:\n")
cat(sprintf("Media: %.1f%%\n", post_mean * 100))
cat(sprintf("Intervallo di credibilità al 95%%: [%.1f%%, %.1f%%]\n", 
            post_ci[1] * 100, post_ci[2] * 100))

# Visualizza il grafico
print(p)

L’analisi bayesiana della prevalenza dei mancini combina le informazioni provenienti dalla meta-analisi di Papadatou-Pastou et al. (2020) con i dati più recenti di Gori et al. (2024). Di seguito sono riportati i principali risultati:

  1. Distribuzione a priori (basata su Papadatou-Pastou et al., 2020):
    • Modellata come una distribuzione Beta(8, 60).
    • Presenta una media intorno all’11,8%.
    • Riflette la variabilità osservata nella meta-analisi.
    • L’intervallo di credibilità al 95% copre approssimativamente il range 9,3%-18,1%, come riportato nello studio.
  2. Dati osservati (Gori et al., 2024):
    • 202 partecipanti italiani.
    • 13 mancini, corrispondenti al 6,4% del campione.
    • Questo valore è inferiore alla media stimata dalla meta-analisi globale.
  3. Distribuzione a posteriori:
    • Combina le informazioni a priori con i nuovi dati osservati.
    • La media a posteriori si è spostata verso il basso rispetto alla distribuzione a priori.
    • L’intervallo di credibilità si è ristretto, indicando una riduzione dell’incertezza.
    • Maggiore peso è stato attribuito ai dati italiani rispetto alla meta-analisi globale.
  4. Interpretazione:
    • La stima finale suggerisce una prevalenza di mancini nella popolazione italiana inferiore alla media globale.
    • Questo risultato potrebbe riflettere specificità culturali o metodologiche dello studio italiano.
    • L’incertezza nella stima finale è diminuita rispetto alla meta-analisi, ma rimane significativa.
    • I risultati supportano l’ipotesi di una variabilità geografica nella prevalenza della mancinismo.

La distribuzione a posteriori fornisce una sintesi equilibrata tra le conoscenze globali precedenti e i dati specifici della popolazione italiana, suggerendo che potrebbero esistere peculiarità culturali o demografiche che influenzano la prevalenza del mancinismo in Italia.

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#> loaded via a namespace (and not attached):
#>  [1] Rdpack_2.6.4          gridExtra_2.3         inline_0.3.21        
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#> [40] zoo_1.8-14            pacman_0.5.1          nnet_7.3-20          
#> [43] Matrix_1.7-4          splines_4.5.1         timechange_0.3.0     
#> [46] tidyselect_1.2.1      abind_1.4-8           codetools_0.2-20     
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#> [61] foreach_1.5.2         stats4_4.5.1          reformulas_0.4.1     
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#> [94] mitml_0.4-5           MASS_7.3-65

Bibliografia

Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian Data Analysis (3rd ed.). Chapman; Hall/CRC.
Gori, B., Grippo, A., Focardi, M., & Lolli, F. (2024). The Italian version of Edinburgh Handedness Inventory: Translation, transcultural adaptation, and validation in healthy subjects. Laterality, 29(2), 151–168.
Johnson, A. A., Ott, M., & Dogucu, M. (2022). Bayes Rules! An Introduction to Bayesian Modeling with R. CRC Press.
McElreath, R. (2020). Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan (2nd Edition). CRC Press.
Nalborczyk, L. (2018, gennaio 23). Checking the Asumption of Independence in Binomial Trials Using Posterior Predictive Checking. https://lnalborczyk.github.io/blog/2018-01-23-ppc
Papadatou-Pastou, M., Ntolka, E., Schmitz, J., Martin, M., Munafò, M. R., Ocklenburg, S., & Paracchini, S. (2020). Human handedness: A meta-analysis. Psychological bulletin, 146(6), 481–524.
Scheel, A. M., Schijen, M. R., & Lakens, D. (2021). An excess of positive results: Comparing the standard psychology literature with registered reports. Advances in Methods and Practices in Psychological Science, 4(2), 25152459211007467.