Simbolo di somma (sommatorie)

Simbolo di somma (sommatorie)#

Le somme si incontrano costantemente in svariati contesti matematici e statistici quindi abbiamo bisogno di una notazione adeguata che ci consenta di gestirle. La somma dei primi $n$ numeri interi può essere scritta come $1 + 2 + \dots + (n - 1) + n$ , dove ` $\dots$ ’ ci dice di completare la sequenza definita dai termini che vengono prima e dopo. Ovviamente, una notazione come $1 + 7 + \dots + 73.6$ non avrebbe alcun senso senza qualche altro tipo di precisazione. In generale, nel seguito incontreremo delle somme nella forma

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n},

dove $x_{n}$ è un numero che è stato definito altrove. La notazione precedente, che fa uso dei tre puntini di sospensione, è utile in alcuni contesti ma in altri risulta ambigua. Pertanto la notazione di uso corrente è del tipo

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}

e si legge “sommatoria per $i$ che va da $1$ a $n$ di $x_{i}$ ”. Il simbolo $\sum$ (lettera sigma maiuscola dell’alfabeto greco) indica l’operazione di somma, il simbolo $x_{i}$ indica il generico addendo della sommatoria, le lettere $1$ ed $n$ indicano i cosiddetti estremi della sommatoria, ovvero l’intervallo (da $1$ fino a $n$ estremi inclusi) in cui deve variare l’indice $i$ allorché si sommano gli addendi $x_{i}$ . Solitamente l’estremo inferiore è $1$ ma potrebbe essere qualsiasi altri numero $m < n$ . Quindi

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} .

Per esempio, se i valori $x$ sono ${3, 11, 4, 7}$ , si avrà

\sum_{i = 1}^{4} x_{i} = 3 + 11 + 4 + 7 = 25

laddove $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 11$ , eccetera. La quantità $x_{i}$ nella formula precedente si dice l’argomento della sommatoria, mentre la variabile $i$ , che prende i valori naturali successivi indicati nel simbolo, si dice indice della sommatoria.

La notazione di sommatoria può anche essere fornita nella forma seguente

\sum_{P (i)} x_{i}

dove $P (i)$ è qualsiasi proposizione riguardante $i$ che può essere vera o falsa. Quando è ovvio che si vogliono sommare tutti i valori di $n$ osservazioni, la notazione può essere semplificata nel modo seguente: $\sum_{i} x_{i}$ oppure $\sum x_{i}$ . Al posto di $i$ si possono trovare altre lettere: $k, j, l, \dots$ ,.

Manipolazione di somme#

È conveniente utilizzare le seguenti regole per semplificare i calcoli che coinvolgono l’operatore della sommatoria.

Proprietà 1#

La sommatoria di $n$ valori tutti pari alla stessa costante $a$ è pari a $n$ volte la costante stessa:

\sum_{i = 1}^{n} a = \underset{⏟}{a + a + \dots + a} = n volte a = n a .

Proprietà 2 (proprietà distributiva)#

Nel caso in cui l’argomento contenga una costante, è possibile riscrivere la sommatoria. Ad esempio con

\sum_{i = 1}^{n} a x_{i} = a x_{1} + a x_{2} + \dots + a x_{n}

è possibile raccogliere la costante $a$ e fare $a (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})$ . Quindi possiamo scrivere

\sum_{i = 1}^{n} a x_{i} = a \sum_{i = 1}^{n} x_{i} .

Proprietà 3 (proprietà associativa)#

Nel caso in cui

\sum_{i = 1}^{n} (a + x_{i}) = (a + x_{1}) + (a + x_{1}) + \dots (a + x_{n})

si ha che

\sum_{i = 1}^{n} (a + x_{i}) = n a + \sum_{i = 1}^{n} x_{i} .

È dunque chiaro che in generale possiamo scrivere

\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} + \sum_{i = 1}^{n} y_{i} .

Proprietà 4#

Se deve essere eseguita un’operazione algebrica (innalzamento a potenza, logaritmo, ecc.) sull’argomento della sommatoria, allora tale operazione algebrica deve essere eseguita prima della somma. Per esempio,

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \neq {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2} .

Proprietà 5#

Nel caso si voglia calcolare $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ , il prodotto tra i punteggi appaiati deve essere eseguito prima e la somma dopo:

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n},

infatti, $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} \neq (a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2})$ .

Doppia sommatoria#

È possibile incontrare la seguente espressione in cui figurano una doppia sommatoria e un doppio indice:

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} x_{i j} .

La doppia sommatoria comporta che per ogni valore dell’indice esterno, $i$ da $1$ ad $n$ , occorre sviluppare la seconda sommatoria per $j$ da $1$ ad $m$ . Quindi,

\sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 4}^{6} x_{i j} = (x_{1, 4} + x_{1, 5} + x_{1, 6}) + (x_{2, 4} + x_{2, 5} + x_{2, 6}) + (x_{3, 4} + x_{3, 5} + x_{3, 6}) .

Un caso particolare interessante di doppia sommatoria è il seguente:

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} y_{j}

Si può osservare che nella sommatoria interna (quella che dipende dall’indice $j$ ), la quantità $x_{i}$ è costante, ovvero non dipende dall’indice (che è $j$ ). Allora possiamo estrarre $x_{i}$ dall’operatore di sommatoria interna e scrivere

\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} \sum_{j = 1}^{n} y_{j}) .

Allo stesso modo si può osservare che nell’argomento della sommatoria esterna la quantità costituita dalla sommatoria in $j$ non dipende dall’indice $i$ e quindi questa quantità può essere estratta dalla sommatoria esterna. Si ottiene quindi

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} y_{j} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} \sum_{j = 1}^{n} y_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \sum_{j = 1}^{n} y_{j} .

Facciamo un esercizio. Verifichiamo quanto detto sopra nel caso particolare di $x = {2, 3, 1}$ e $y = {1, 4, 9}$ , svolgendo prima la doppia sommatoria per poi verificare che quanto così ottenuto sia uguale al prodotto delle due sommatorie.

\begin{array}{r} \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} x_{i} y_{j} & = x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{1} y_{3} + x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{3} y_{2} + x_{3} y_{3} \\ = 2 \times (1 + 4 + 9) + 3 \times (1 + 4 + 9) + 2 \times (1 + 4 + 9) = 84, \end{aligned} \end{array}

ovvero

(2 + 3 + 1) \times (1 + 4 + 9) = 84.