✏️ Esercizi

Caso Beta-Binomiale

Exercise 126

Supponiamo di avere osservato 17 successi in 29 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 4 e beta = 17. Si calcoli la media della distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo).

Solution to Exercise 126

0.42

Exercise 127

Supponiamo di avere osservato 17 successi in 30 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 5 e beta = 13. Si calcoli la distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo). In tale distribuzione a posteriori, qual è il valore theta che lascia sotto di sé una probabilità pari a 0.4?

Solution to Exercise 127

0.4395

Exercise 128

Supponiamo di avere osservato 17 successi in 28 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 5 e beta = 19. Si calcoli la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, theta (probabilità di successo) assuma un valore compreso nell’intervallo tra 0.5 e 0.75.

Solution to Exercise 128

0.1312

Exercise 129

Supponiamo di avere osservato 18 successi in 30 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 8 e beta = 20. Si calcoli la distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo). In tale distribuzione a posteriori, qual è il valore (theta_0) tale per cui (P(theta > theta_0 =) 0.7?

Solution to Exercise 129

0.5178

Exercise 130

Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la media della distribuzione a posteriori.

Solution to Exercise 130

y = 18
n = 24

alpha_prior = 3
beta_prior = 9

alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y

mean = alpha / (alpha + beta)
mean

0.5833333333333334

Exercise 131

Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la varianza della distribuzione a posteriori.

Solution to Exercise 131

y = 18
n = 24

alpha_prior = 3
beta_prior = 9

alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y

var = alpha * beta / ((alpha + beta) ** 2 * (alpha + beta + 1))
var

0.006569069069069069

Exercise 132

Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, il parametro \(\theta\) (probabilità di successo) assuma un valore minore di 0.4.

Solution to Exercise 132

y = 18
n = 24

alpha_prior = 3
beta_prior = 9

alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y

st.beta.cdf(0.4, alpha, beta)

0.013257856051262343

Exercise 133

Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, il parametro \(\theta\) (probabilità di successo) assuma un valore compreso tra 0.4 e 0.6.

Solution to Exercise 133

y = 18
n = 24

alpha_prior = 3
beta_prior = 9

alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y

st.beta.cdf(0.6, alpha, beta) - st.beta.cdf(0.4, alpha, beta)

0.5594962066370368

Exercise 134

Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la moda della distribuzione a posteriori del parametro \(\theta\) (probabilità di successo).

Solution to Exercise 134

y = 18
n = 24

alpha_prior = 3
beta_prior = 9

alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y

mo = (alpha - 1) / (alpha + beta - 2)
mo

0.5882352941176471