Numeri binari, interi, razionali, irrazionali e reali

Numeri binari

I numeri binari rappresentano il sistema numerico più elementare, composto solo da due cifre: 0 e 1. Spesso, utilizziamo i numeri binari per esprimere concetti di verità o falsità, presenza o assenza. Essi sono particolarmente utili per ottenere rapidamente statistiche riassuntive.

Immaginiamo di porre la seguente domanda a 10 studenti: “Ti piacciono i mirtilli?” Le risposte potrebbero essere le seguenti:

opinion = (True, False, True, True, True, False, True, True, True, False)
opinion

(True, False, True, True, True, False, True, True, True, False)

In questo caso, abbiamo utilizzato i numeri binari 0 e 1 per rappresentare risposte diverse, dove 0 indica “No” e 1 indica “Si”. Questa rappresentazione binaria ci consente di ottenere facilmente una panoramica delle preferenze degli studenti riguardo i mirtilli.

In Python True equivale a 1 e False a zero. Possiamo dunque calcolare la proporzione di risposte positive:

sum(opinion) / len(opinion)

0.7

Numeri interi

I numeri interi sono numeri privi di decimali e comprendono sia i numeri naturali utilizzati per il conteggio, come 1, 2, …, sia i numeri con il segno, necessari per rappresentare grandezze negative. L’insieme dei numeri naturali è indicato con il simbolo \(\mathbb{N}\). L’insieme numerico dei numeri interi relativi si rappresenta come \(\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \dots \}\).

Numeri razionali

I numeri razionali sono numeri frazionari rappresentabili come \(m/n\), dove \(m\) e \(n\) sono numeri interi e \(n\) è diverso da zero. Gli elementi dell’insieme dei numeri razionali sono quindi dati da \(\mathbb{Q} = \{\frac{m}{n} \,\vert\, m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}\). È importante notare che l’insieme dei numeri naturali è incluso in quello dei numeri interi, che a sua volta è incluso in quello dei numeri razionali, ovvero \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\). Per rappresentare solo i numeri razionali non negativi, utilizziamo il simbolo \(\mathbb{Q^+} = \{q \in \mathbb{Q} \,\vert\, q \geq 0\}\).

Numeri irrazionali

Tuttavia, alcune grandezze non possono essere esprimibili come numeri interi o razionali. Questi numeri sono noti come numeri irrazionali e sono rappresentati dall’insieme \(\mathbb{R}\). Essi comprendono numeri illimitati e non periodici, che non possono essere scritti come frazioni. Ad esempio, \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) e \(\pi = 3.141592\ldots\) sono esempi di numeri irrazionali.

Numeri reali

I numeri razionali rappresentano solo una parte dei punti sulla retta \(r\). Per rappresentare ogni possibile punto sulla retta, è necessario introdurre i numeri reali. L’insieme dei numeri reali comprende numeri positivi, negativi e nulli, e contiene come casi particolari i numeri interi, razionali e irrazionali. In statistica, il numero di decimali spesso indica il grado di precisione della misurazione.

Intervalli

Questo ci porta a esplorare gli intervalli, una struttura matematica che ci aiuta a definire sottoinsiemi specifici sulla retta numerica. Gli intervalli aperti, che escludono i punti di inizio e fine. D’altro canto, gli intervalli chiusi includono sia il punto di inizio che quello di fine, fornendo una copertura di valori senza tralasciare i confini. Le caratteristiche degli intervalli sono riportate nella tabella seguente.

Intervallo
chiuso	\([a, b]\)	\(a \leq x \leq b\)
aperto	\((a, b)\)	\(a < x < b\)
chiuso a sinistra e aperto a destra	\([a, b)\)	\(a \leq x < b\)
aperto a sinistra e chiuso a destra	\((a, b]\)	\(a < x \leq b\)