Modello di Poisson#
Nel capitolo precedente abbiamo esaminato il processo di derivazione della distribuzione a posteriori per i parametri della distribuzione Gamma, la quale viene impiegata quando si adotta un prior Gamma per una verosimiglianza di Poisson. In questo capitolo, useremo tale metodo per affrontare una questione relativa all’analisi di un set di dati reali.
Preparazione del Notebook#
# PROJECT SETUP
import logging
import os
import warnings
warnings.simplefilter(action="ignore", category=FutureWarning)
import cmdstanpy
from cmdstanpy import CmdStanModel
cmdstanpy.utils.get_logger().setLevel(logging.ERROR)
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
import arviz as az
import scipy.stats as stats
# set seed to make the results fully reproducible
seed: int = sum(map(ord, "stan_poisson_model"))
rng: np.random.Generator = np.random.default_rng(seed=seed)
az.style.use("arviz-darkgrid")
plt.rcParams["figure.dpi"] = 100
plt.rcParams["figure.facecolor"] = "white"
# Get the home directory
home_directory = os.path.expanduser("~")
# Construct the path to the Quarto project directory
project_directory = os.path.join(
home_directory, '_repositories', 'ds4p')
%config InlineBackend.figure_format = "retina"
Domanda della ricerca#
Come spiegato qui, i dati che esamineremo sono raccolti dal Washington Post con lo scopo di registrare ogni sparatoria mortale negli Stati Uniti ad opera di agenti di polizia, a partire dal 1° gennaio 2015. Il Washington Post ha adottato un approccio sistematico e accurato nella raccolta di queste informazioni, fornendo dati che possono essere utili per valutare i problemi legati alla violenza delle forze di polizia negli Stati Uniti.
Lo scopo della presente analisi dei dati è determinare il tasso di sparatorie fatali da parte della polizia negli Stati Uniti per ogni anno, e fornire una stima dell’incertezza associata a questo valore.
Importazione e pre-processing dei dati#
url = "https://raw.githubusercontent.com/washingtonpost/data-police-shootings/master/v2/fatal-police-shootings-data.csv"
fps_dat = pd.read_csv(url)
fps_dat.head()
Show code cell output
| id | date | threat_type | flee_status | armed_with | city | county | state | latitude | longitude | location_precision | name | age | gender | race | race_source | was_mental_illness_related | body_camera | agency_ids | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 2015-01-02 | point | not | gun | Shelton | Mason | WA | 47.246826 | -123.121592 | not_available | Tim Elliot | 53.0 | male | A | not_available | True | False | 73 |
| 1 | 4 | 2015-01-02 | point | not | gun | Aloha | Washington | OR | 45.487421 | -122.891696 | not_available | Lewis Lee Lembke | 47.0 | male | W | not_available | False | False | 70 |
| 2 | 5 | 2015-01-03 | move | not | unarmed | Wichita | Sedgwick | KS | 37.694766 | -97.280554 | not_available | John Paul Quintero | 23.0 | male | H | not_available | False | False | 238 |
| 3 | 8 | 2015-01-04 | point | not | replica | San Francisco | San Francisco | CA | 37.762910 | -122.422001 | not_available | Matthew Hoffman | 32.0 | male | W | not_available | True | False | 196 |
| 4 | 9 | 2015-01-04 | point | not | other | Evans | Weld | CO | 40.383937 | -104.692261 | not_available | Michael Rodriguez | 39.0 | male | H | not_available | False | False | 473 |
# Convert date
fps_dat["date"] = pd.to_datetime(fps_dat["date"])
# Create a new column 'year' to store the year information from the 'date' column
fps_dat["year"] = fps_dat["date"].dt.year
fps_dat.columns
Index(['id', 'date', 'threat_type', 'flee_status', 'armed_with', 'city',
'county', 'state', 'latitude', 'longitude', 'location_precision',
'name', 'age', 'gender', 'race', 'race_source',
'was_mental_illness_related', 'body_camera', 'agency_ids', 'year'],
dtype='object')
# Filter out rows with year equal to 2024
fps = fps_dat[fps_dat["year"] != 2024]
# Count occurrences of each year in fps
year_counts = fps["year"].value_counts()
print(year_counts)
year
2023 1161
2022 1095
2021 1050
2020 1020
2019 996
2015 995
2018 992
2017 984
2016 959
Name: count, dtype: int64
Creiamo un DataFrame con i dati necessari per PyMC.
year_counts.values
array([1161, 1095, 1050, 1020, 996, 995, 992, 984, 959])
# Convert year_counts Series to a DataFrame
df = year_counts.reset_index() # This converts the index (year) to a column and resets the index of the DataFrame
df.columns = ['year', 'events'] # Renaming the columns to 'year' and 'events'
# Now, df is the DataFrame you wanted, with 'year' and 'events' columns
print(df)
year events
0 2023 1161
1 2022 1095
2 2021 1050
3 2020 1020
4 2019 996
5 2015 995
6 2018 992
7 2017 984
8 2016 959
Modello di Poisson#
Il nostro interesse riguarda il tasso di occorrenza di sparatorie fatali da parte della polizia per anno. Indicheremo questo tasso come \(\theta\), e il suo intervallo di valori possibili è \([0, \infty)\). Un modello di Poisson rappresenta tipicamente il punto di partenza per l’analisi di dati relativi alle frequenze assolute di un evento in un intervallo di tempo fissato. Il modello presuppone che i dati seguano una distribuzione di Poisson con un parametro di tasso \(\lambda\):
Distribuzione a priori#
Come distribuzione a priori per il parametro \(\lambda\) nel modello di Poisson possiamo usare la distribuzione Gamma, poiché è una scelta coniugata. Ciò significa che, quando viene combinata con la distribuzione di Poisson come verosimiglianza dei dati, la distribuzione Gamma produce una distribuzione a posteriori con una forma analitica semplice. Questa caratteristica semplifica il processo di inferenza bayesiana.
Nel nostro caso, il parametro \(\lambda\) rappresenta il tasso di occorrenza di sparatorie fatali per anno negli Stati Uniti. Prima di osservare i dati effettivi riportati dal Washington Post, abbiamo una conoscenza limitata su tale fenomeno. Pertanto, dobbiamo specificare una distribuzione a priori per \(\lambda\) che rifletta la nostra incertezza iniziale. As esempio, possiamo ipotizzare che ci sia, in media, una sparatoria mortale per stato al mese, quindi 12 sparatorie mortali all’anno per stato. Questo ci porta a una stima iniziale di 600 sparatorie fatali negli Stati Uniti ogni anno. Dato che non siamo molto sicuri di questa ipotesi, vogliamo specificare una distribuzione a priori con un certo grado di incertezza. Imponiamo dunque una deviazione standard pari a 200.
Per visualizzare la distribuzione a priori per il parametro \(\lambda\), creiamo un istogramma della distribuzione Gamma con i parametri specificati usando PyMC.
# Parameters for the Gamma distribution
mu = 600
sigma = 200
# Convert mu and sigma to shape (k) and scale (theta) parameters
theta = sigma**2 / mu
k = mu / theta
# Draw samples from the Gamma distribution
x_draws = stats.gamma.rvs(a=k, scale=theta, size=50000, random_state=2)
# Plot the histogram of the drawn samples
sns.histplot(x_draws, kde=False)
# Add labels and title
plt.xlabel("Tasso di occorrenza (anno)")
plt.ylabel("Frequenza")
plt.title("Distribuzione Gamma con mu = 600 e sigma = 200")
plt.show()
Modello di Poisson con PyMC#
Formuliamo il modello di Poisson usando questi iper-parametri per la distribuzione a priori del parametro \(\lambda\) (rate) della distribuzione di Poisson.
stan_file = os.path.join(project_directory, "stan", "poisson_model.stan")
model = CmdStanModel(stan_file=stan_file)
print(model.code())
data {
int<lower=0> N; // numero di osservazioni
real<lower=0> mu; // parametro mu per la distribuzione Gamma
real<lower=0> sigma; // parametro sigma per la distribuzione Gamma
array[N] int<lower=0> y; // dati osservati
}
parameters {
real<lower=0> rate; // parametro rate per la distribuzione Poisson
}
model {
// Priori
rate ~ gamma(mu ^ 2 / sigma ^ 2, mu / sigma ^ 2);
// Likelihood
y ~ poisson(rate);
}
# Caricare i dati
stan_data = {
"y": [1161, 1095, 1050, 1020, 996, 995, 992, 984, 959],
"N": 9,
"mu": 600,
"sigma": 200
}
print(stan_data)
{'y': [1161, 1095, 1050, 1020, 996, 995, 992, 984, 959], 'N': 9, 'mu': 600, 'sigma': 200}
trace = model.sample(
data=stan_data,
iter_warmup=1_000,
iter_sampling=2_000,
seed=123,
show_progress=False,
show_console=False,
)
Esaminiamo la distribuzione a posteriori del parametro rate.
az.plot_trace(trace, combined=True, kind="rank_bars", figsize=(9, 3))
plt.show()
Il modello converge rapidamente e i grafici delle tracce sembrano ben mescolati.
Generiamo un sommario numerico della distribuzione a posteriori.
az.summary(trace)
| mean | sd | hdi_3% | hdi_97% | mcse_mean | mcse_sd | ess_bulk | ess_tail | r_hat | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| rate | 1027.83 | 10.819 | 1007.71 | 1048.01 | 0.21 | 0.149 | 2650.0 | 3735.0 | 1.0 |
print(model.code())
data {
int<lower=0> N; // numero di osservazioni
real<lower=0> mu; // parametro mu per la distribuzione Gamma
real<lower=0> sigma; // parametro sigma per la distribuzione Gamma
array[N] int<lower=0> y; // dati osservati
}
parameters {
real<lower=0> rate; // parametro rate per la distribuzione Poisson
}
model {
// Priori
rate ~ gamma(mu ^ 2 / sigma ^ 2, mu / sigma ^ 2);
// Likelihood
y ~ poisson(rate);
}
Usiamo ArviZ per generare l’intervallo di credibilità al 94% per la distribuzione a posteriori del parametro rate.
az.plot_posterior(trace, var_names="rate")
plt.show()
In sintesi, analizzando i dati compresi tra il 2015 e il 2023 e basandoci su una distribuzione a priori che presuppone una sparatoria mortale al mese per stato, possiamo concludere con un grado di certezza soggettivo del 94% che il tasso stimato di sparatorie fatali da parte della polizia negli Stati Uniti sia di 1028 casi all’anno, con un intervallo di credibilità compreso tra 1008 e 1048.
Derivazione analitica#
Per derivare i parametri della distribuzione Gamma (\(\alpha\) e \(\beta\)) conoscendo la media (\(\mu\)) e la deviazione standard (\(\sigma\)), possiamo utilizzare le seguenti relazioni:
\(\alpha = (\frac{\mu}{\sigma})^2\)
\(\beta = \frac{\mu}{\sigma^2}\)
Queste formule si basano sul fatto che la media della distribuzione Gamma è data da \(\frac{\alpha}{\beta}\), mentre la varianza è \(\frac{\alpha}{\beta^2}\). Inoltre, la deviazione standard è la radice quadrata della varianza.
La distribuzione a posteriori per \(\lambda\), data una verosimiglianza di Poisson e una distribuzione a priori gamma, è ancora una distribuzione gamma con parametri aggiornati. Possiamo calcolare i parametri della distribuzione a posteriori nel modo seguente:
Parametro di forma a posteriori (α_post) = α_prior + Σ(y_i), dove Σ(y_i) rappresenta la somma dei dati osservati.
Parametro di tasso a posteriori (β_post) = β_prior + n, dove n è il numero di punti dati.
Con questi parametri aggiornati, possiamo poi calcolare la media a posteriori della distribuzione gamma e l’intervallo di credibilità.
data = df["events"]
# Prior hyperparameters
alpha_prior = (mu / sigma)**2
beta_prior = mu / sigma**2
# Data summary
n = len(df["events"])
sum_y = np.sum(df["events"])
# Posterior hyperparameters
alpha_post = alpha_prior + sum_y
beta_post = beta_prior + n
# Posterior distribution (Gamma)
posterior_gamma = stats.gamma(alpha_post, scale=1 / beta_post)
# Calculate the mean and credibility interval (94%)
posterior_mean = posterior_gamma.mean()
credible_interval = posterior_gamma.interval(0.94)
print("Estimated Rate (Posterior Mean):", posterior_mean)
print("Credibility Interval (94%):", credible_interval)
Estimated Rate (Posterior Mean): 1027.287853577371
Credibility Interval (94%): (1007.3046264976574, 1047.4587209661117)
L’output delle istruzioni precedenti fornisce il tasso stimato a posteriori e l’intervallo di credibilità al 94%. A causa di approssimazioni numeriche, i valori non coincidono esattamente con i risultati ottenuti con PyMC, ma sono molto simili.
Vittime non armate#
Consideriamo ora uno studio di Ross et al. [RWM21]. Nell’introduzione allo studio, gli autori affermano che studi precedenti hanno dimostrato che la polizia negli Stati Uniti uccide cittadini neri rispetto a cittadini bianchi a tassi più elevati di quanto ci si potrebbe aspettare secondo un modello generativo in cui la polizia incontra e uccide cittadini neri e bianchi in proporzione alle loro dimensioni relative della popolazione (ad esempio, Gabrielson et al., 2014; The Guardian, 2016; Takagi, 1981). Tuttavia, l’utilità di questi studi nel rilevare disparità razziali ingiustificabili nel comportamento della polizia è stata messa in discussione (Cesario et al., 2019; Fryer, 2017; Selby et al., 2016; Tregle et al., 2019) perché la polizia uccide principalmente individui - neri o bianchi - che erano armati e impegnati in attività criminali al momento dell’interazione (Ross, 2015; Selby et al., 2016). Le differenze sottostanti nei tassi di attività criminale armata specifici per la razza, piuttosto che - o oltre a - pregiudizi e/o bias stereotipati non intenzionali (Payne, 2006) da parte della polizia, sono state quindi citate come possibili cause dell’aumento dei tassi di sparatorie della polizia contro gli afroamericani. Tuttavia, Ross et al. [RWM21] fanno notare che le disparità a discapito degli individui afro-americani nell’uso della forza da parte della polizia statunitense persistono nel caso di individui disarmati sia a livello non letale (Fryer, 2016) che letale (Ross, 2015).
Per verificare questa affermazione di Ross et al. [RWM21], usiamo i dati forniti dal Washington Post. Iniziamo a considerare il numero di sparatorie fatali da parte delle polizia statunitense nei confronti di un individuo disarmato caucasico.
# Filter the dataframe to include only rows where the individual was unarmed
unarmed_events = fps[fps["armed_with"] == "unarmed"]
# Filter the dataframe to create two separate dataframes for white and non-white races
white_df = unarmed_events[unarmed_events["race"] == "W"]
non_white_df = unarmed_events[unarmed_events["race"] != "W"]
print("\nWhite Race DataFrame:")
print(white_df.head())
White Race DataFrame:
id date threat_type flee_status armed_with city \
8 16 2015-01-06 accident not unarmed Burlington
72 342 2015-01-29 move foot unarmed Stillwater
76 114 2015-02-02 flee foot unarmed Hummelstown
119 159 2015-02-17 flee foot unarmed Springfield
136 371 2015-02-23 move not unarmed Omaha
county state latitude longitude location_precision \
8 Des Moines IA 40.809250 -91.118875 not_available
72 Payne OK 36.121177 -97.050127 not_available
76 Dauphin PA 40.273404 -76.712841 not_available
119 Greene MO 37.225250 -93.319432 not_available
136 Douglas NE 41.244051 -95.933308 not_available
name age gender race race_source \
8 Autumn Steele 34.0 female W not_available
72 Ralph Willis 42.0 male W not_available
76 David Kassick 59.0 male W not_available
119 Michael Ireland 31.0 male W not_available
136 Daniel Elrod 39.0 male W not_available
was_mental_illness_related body_camera agency_ids year
8 False True 287 2015
72 False False 164 2015
76 False False 303 2015
119 False False 350 2015
136 False False 158 2015
print("\nNon-White Race DataFrame:")
print(non_white_df.head())
Non-White Race DataFrame:
id date threat_type flee_status armed_with city county \
2 5 2015-01-03 move not unarmed Wichita Sedgwick
17 36 2015-01-08 attack not unarmed Strong Union
62 352 2015-01-26 flee car unarmed Tahoka Lynn
83 116 2015-02-04 attack not unarmed Tallahassee Leon
86 125 2015-02-04 accident not unarmed Tempe Maricopa
state latitude longitude location_precision name age \
2 KS 37.694766 -97.280554 not_available John Paul Quintero 23.0
17 AR 33.111333 -92.358981 not_available Artago Damon Howard 36.0
62 TX 33.166180 -101.666311 not_available Joshua Omar Garcia 24.0
83 FL 30.465764 -84.330427 not_available Jeremy Lett 28.0
86 AZ 33.378178 -111.978345 not_available Joaquin Hernandez 28.0
gender race race_source was_mental_illness_related body_camera \
2 male H not_available False False
17 male B not_available False False
62 male H not_available False False
83 male B not_available False False
86 male H not_available False False
agency_ids year
2 238 2015
17 249 2015
62 179 2015
83 311 2015
86 247;195;2267;319 2015
Di seguito sono riportate le frequenze assolute di vittime disarmate di razza caucasica.
# Filter the dataframe to include only rows where the individual was unarmed and identified as white
unarmed_white_events = white_df[white_df["armed_with"] == "unarmed"]
# Group the filtered dataframe by year and count the occurrences
events_by_year_white_race = unarmed_white_events.groupby("year").size().reset_index(name="event_count")
print(events_by_year_white_race)
year event_count
0 2015 31
1 2016 29
2 2017 29
3 2018 26
4 2019 26
5 2020 27
6 2021 7
7 2022 23
8 2023 17
Per gli stessi anni, qui sotto sono riportate le frequenze assolute delle vittime di razza non caucasica.
# Filter the dataframe to include only rows where the individual was unarmed and identified as non-white
unarmed_non_white_events = non_white_df[non_white_df["armed_with"] == "unarmed"]
# Group the filtered dataframe by year and count the occurrences
events_by_year_non_white_race = unarmed_non_white_events.groupby("year").size().reset_index(name="event_count")
print(events_by_year_non_white_race)
year event_count
0 2015 63
1 2016 35
2 2017 40
3 2018 33
4 2019 28
5 2020 34
6 2021 26
7 2022 29
8 2023 34
Come distribuzione a priori per il tasso di morti, usiamo la media dei due campioni.
0.5 * (np.mean(events_by_year_non_white_race.event_count) +
np.mean(events_by_year_white_race.event_count))
29.833333333333336
Utilizziamo una deviazione standard piuttosto grande per esprimere la nostra incertezza.
# Parameters for the Gamma distribution
mu = 30
sigma = 10
# Convert mu and sigma to shape (k) and scale (theta) parameters
theta = sigma**2 / mu
k = mu / theta
# Draw samples from the Gamma distribution
x_draws = stats.gamma.rvs(a=k, scale=theta, size=50000, random_state=2)
# Plot the histogram of the drawn samples
sns.histplot(x_draws, kde=False)
# Add labels and title
plt.xlabel("Tasso di occorrenza (anno)")
plt.ylabel("Frequenza")
plt.title("Distribuzione Gamma con mu = 30 e sigma = 10")
plt.show()
Eseguiamo il campionamento per i dati del campione caucasico.
# Gruppo caucasico
stan_data_white = {
"y": events_by_year_white_race["event_count"],
"N": 9,
"mu": 30,
"sigma": 10,
}
trace_white = model.sample(
data=stan_data_white,
iter_warmup=1_000,
iter_sampling=2_000,
seed=123,
show_progress=False,
show_console=False,
)
Esaminiamo la distribuzione a posteriori della frequenze di vittime di razza caucasica.
az.plot_trace(trace_white, combined=True, kind="rank_bars", figsize=(9, 3))
plt.show()
az.summary(trace_white)
| mean | sd | hdi_3% | hdi_97% | mcse_mean | mcse_sd | ess_bulk | ess_tail | r_hat | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| rate | 24.141 | 1.583 | 21.246 | 27.201 | 0.03 | 0.021 | 2864.0 | 3732.0 | 1.0 |
Eseguiamo il campionamento per i dati del campione caucasico.
# Gruppo non caucasico
stan_data_non_white = {
"y": events_by_year_non_white_race["event_count"],
"N": 9,
"mu": 30,
"sigma": 10,
}
trace_non_white = model.sample(
data=stan_data_non_white,
iter_warmup=1_000,
iter_sampling=2_000,
seed=123,
show_progress=False,
show_console=False,
)
Esaminiamo la distribuzione a posteriori della frequenze di vittime di razza noln caucasica.
az.plot_trace(trace_non_white, combined=True, kind="rank_bars", figsize=(9, 3))
plt.show()
az.summary(trace_non_white)
| mean | sd | hdi_3% | hdi_97% | mcse_mean | mcse_sd | ess_bulk | ess_tail | r_hat | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| rate | 35.615 | 1.954 | 32.06 | 39.396 | 0.036 | 0.026 | 2920.0 | 4095.0 | 1.0 |
Il confronto tra i due intervalli di credibilità suggerisce che le frequenze attese del modello di Poisson risultano maggiori nel gruppo non caucasico rispetto al gruppo caucasico. È importante considerare anche che la popolazione caucasica negli Stati Uniti è numericamente superiore rispetto agli individui non caucasici.
Modello combinato per i due gruppi#
In alternativa, possiamo creare un modello Stan unico che valuti direttamente la differenza a posteriori delle frequenze attese dal modello di Poisson per i due gruppi. Per fare questo, possiamo estendere il modello per includere due rate, uno per ogni gruppo, e calcolare la differenza a posteriori delle frequenze attese.
stan_file = os.path.join(project_directory, "stan", "poisson_diff_model.stan")
model = CmdStanModel(stan_file=stan_file)
print(model.code())
data {
int<lower=0> N; // numero di osservazioni per ogni gruppo
real<lower=0> mu; // parametro mu per la distribuzione Gamma
real<lower=0> sigma; // parametro sigma per la distribuzione Gamma
array[N] int<lower=0> y_white; // dati osservati per il gruppo caucasico
array[N] int<lower=0> y_non_white; // dati osservati per il gruppo non caucasico
}
parameters {
real<lower=0> rate_white; // parametro rate per la distribuzione Poisson per il gruppo caucasico
real<lower=0> rate_non_white; // parametro rate per la distribuzione Poisson per il gruppo non caucasico
}
model {
// Priori
rate_white ~ gamma(mu ^ 2 / sigma ^ 2, mu / sigma ^ 2);
rate_non_white ~ gamma(mu ^ 2 / sigma ^ 2, mu / sigma ^ 2);
// Likelihood
y_white ~ poisson(rate_white);
y_non_white ~ poisson(rate_non_white);
}
generated quantities {
real diff_rate = rate_non_white - rate_white; // differenza tra le frequenze attese
}
Nel blocco generated quantities calcoliamo la distribuzione a posteriori della differenza tra i tassi di occorrenza stimati per i gruppi non caucasici e caucasici. Questa differenza permette di quantificare direttamente il confronto tra i tassi di incidenza dei due gruppi.
Generiamo il dizionario appropriato per il modello.
stan_groups_data = {
"N": 9,
"mu": 30,
"sigma": 10,
"y_white": events_by_year_white_race["event_count"],
"y_non_white": events_by_year_non_white_race["event_count"],
}
print(stan_groups_data)
{'N': 9, 'mu': 30, 'sigma': 10, 'y_white': 0 31
1 29
2 29
3 26
4 26
5 27
6 7
7 23
8 17
Name: event_count, dtype: int64, 'y_non_white': 0 63
1 35
2 40
3 33
4 28
5 34
6 26
7 29
8 34
Name: event_count, dtype: int64}
Eseguiamo il campionamento.
trace_groups = model.sample(
data=stan_groups_data,
iter_warmup=1_000,
iter_sampling=2_000,
seed=123,
show_progress=False,
show_console=False,
)
Esaminiamo la distribuzione a posteriori del parametro di interesse.
_ = az.plot_trace(trace_groups, combined=True, var_names=["diff_rate"], figsize= (9, 3))
az.summary(trace_groups)
| mean | sd | hdi_3% | hdi_97% | mcse_mean | mcse_sd | ess_bulk | ess_tail | r_hat | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| diff_rate | 11.508 | 2.586 | 6.792 | 16.443 | 0.033 | 0.023 | 6263.0 | 5254.0 | 1.0 |
| rate_non_white | 35.577 | 1.946 | 31.978 | 39.260 | 0.023 | 0.016 | 7282.0 | 5576.0 | 1.0 |
| rate_white | 24.069 | 1.627 | 21.098 | 27.285 | 0.021 | 0.015 | 5931.0 | 4896.0 | 1.0 |
Sulla base dei risultati ottenuti dal modello di Poisson, possiamo trarre le seguenti conclusioni:
Il tasso stimato di incidenza delle vittime disarmate uccise dalla polizia negli Stati Uniti è più alto per il gruppo non caucasico rispetto al gruppo caucasico. La differenza media stimata tra i due tassi di incidenza è di 11.508, con una deviazione standard di 2.586. Questo significa che, in media, il tasso per il gruppo non caucasico è di circa 11.5 punti superiore rispetto al tasso per il gruppo caucasico.
L’intervallo di credibilità al 94% per questa differenza va da 6.792 a 16.443, indicando che è molto probabile che la vera differenza tra i tassi di incidenza dei due gruppi si trovi all’interno di questo intervallo. Questo intervallo di credibilità non include lo zero, il che fornisce ulteriore evidenza che il tasso di incidenza per il gruppo non caucasico è effettivamente più alto rispetto al gruppo caucasico.
Inoltre, i tassi di incidenza stimati per ciascun gruppo sono i seguenti:
Gruppo non caucasico: tasso medio di 35.577 con un intervallo di credibilità al 94% tra 31.978 e 39.260.
Gruppo caucasico: tasso medio di 24.069 con un intervallo di credibilità al 94% tra 21.098 e 27.285.
Questi risultati indicano chiaramente che il gruppo non caucasico ha un tasso di incidenza più alto di vittime disarmate uccise dalla polizia rispetto al gruppo caucasico. L’intervallo di credibilità per ciascun tasso fornisce una stima robusta e credibile della variabilità di questi tassi.
In sintesi, il modello di Poisson fornisce una forte evidenza che esiste una differenza robusta tra i tassi di incidenza dei due gruppi, con il gruppo non caucasico che presenta un tasso più elevato di vittime disarmate uccise dalla polizia rispetto al gruppo caucasico.
Informazioni sull’Ambiente di Sviluppo#
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Last updated: Sun Jul 14 2024
Python implementation: CPython
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