✏️ Esercizi

Probabilità condizionata

Exercise 88

Quale delle seguenti espressioni corrisponde all’affermazione: la probabilità che piova lunedì? (da Statistical rethinking)

1. Pr(pioggia)

2. Pr(pioggia | lunedì)

3. Pr(lunedì | pioggia)

4. Pr(pioggia, lunedì) / Pr(lunedì)

Solution to

Interpreto questa domanda come «la probabilità di pioggia dato che è lunedì». Ciò significa che le risposte (2) che (4) sono corrette.

Exercise 89

Quale delle seguenti affermazioni corrisponde all’espressione: Pr(lunedì | pioggia)? (da Statistical rethinking)

1. La probabilità di pioggia lunedì.

2. La probabilità di pioggia, dato che è lunedì.

3. La probabilità che sia lunedì, dato che sta piovendo.

4. La probabilità che sia lunedì e che piova.

Solution to

Solo la risposta (3) corrisponde all’espressione Pr(lunedì | pioggia).

Exercise 90

Quale delle seguenti espressioni corrisponde all’affermazione: la probabilità che sia lunedì, dato che sta piovendo? (da Statistical rethinking)

1. Pr(lunedì | pioggia)

2. Pr(pioggia | lunedì)

3. Pr(pioggia | lunedì) Pr(lunedì)

4. Pr(pioggia | lunedì) Pr(lunedì) / Pr(pioggia)

5. Pr(lunedì | pioggia) Pr(pioggia) / Pr(lunedì)

Solution to

Ci sono ancora due risposte corrette. L’opzione di risposta (1) è la notazione standard per la probabilità condizionata. L’opzione di risposta (4) è equivalente, poiché questo è il teorema di Bayes.

Exercise 91

Per due eventi, 𝐴 e 𝐵, 𝑃(𝐴)=0.73, 𝑃(𝐵)=0.48 e 𝑃(𝐴∩𝐵)=0.29.

1. Trova 𝑃(𝐴∣𝐵).

2. Trova 𝑃(𝐵∣𝐴).

3. Determina se 𝐴 e 𝐵 sono indipendenti.

Solution to

1. 0.6

2. 0.4

3. non indipendenti

Exercise 92

Per due eventi indipendenti 𝐴 e 𝐵, 𝑃(𝐴)=0.81 e 𝑃(𝐵)=0.27. Trova

1. 𝑃(𝐴∩𝐵).

2. 𝑃(𝐴∣𝐵).

3. 𝑃(𝐵∣𝐴).

Solution to

1. 0.22

2. 0.81

3. 0.27

Exercise 93

Per due eventi mutuamente esclusivi 𝐴 e 𝐵, 𝑃(𝐴)=0.17 e 𝑃(𝐵)=0.32.

1. Trova 𝑃(𝐴∣𝐵).

2. Trova 𝑃(𝐵∣𝐴).

Solution to

1. 0

2. 0

Exercise 94

Calcola le seguenti probabilità in relazione al lancio di un singolo dado equilibrato.

1. La probabilità che il lancio dia un numero pari.

2. La probabilità che il lancio dia un numero pari, dato che non è un due.

3. La probabilità che il risultato dia un numnero pari, dato che non è uno.

Solution to

1. 0.5

2. 0.4

3. 0.6

Exercise 95

In un certo collegio, il 25% degli studenti è stato bocciato in matematica, il 15% è stato bocciato in chimica, e il 10% è stato bocciato sia in matematica che in chimica. Viene scelto a caso uno studente. Se lo studente è stato bocciato in chimica, qual è la probabilità che sia stato bocciato anche in matematica?

Solution to

Sia M = {studenti bocciati in matematica} e C = {studenti bocciati in chimica}, allora: P(M) = 0.25, P(C) = 0.15, P(M∩C) = 0.10. La probabilità che uno studente sia stato bocciato in matematica, se si sa che è stato bocciato in chimica, è P(M|C) = P(M∩C) / P(C) = 0.10 / 0.15 = 2/3.

Exercise 96

In un certo collegio, il 25% degli studenti è stato bocciato in matematica, il 15% è stato bocciato in chimica, e il 10% è stato bocciato sia in matematica che in chimica. Viene scelto a caso uno studente. Se lo studente è stato bocciato in matematica, qual è la probabilità che sia stato bocciato anche in chimica?

Solution to

La probabilità che uno studente sia stato bocciato in chimica, se si sa che è stato bocciato in matematica, è P(C|M) = P(C∩M) / P(M) = 0.10 / 0.25 = 2/5.

Exercise 97

In un certo collegio, il 25% degli studenti è stato bocciato in matematica, il 15% è stato bocciato in chimica, e il 10% è stato bocciato sia in matematica che in chimica. Viene scelto a caso uno studente. Qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica o in chimica?

Solution to

La probabilità che sia stato bocciato in matematica o in chimica, è P(M∪C) = P(M) + P(C) − P(M∩C) = 0.25 + 0.15 − 0.10 = 0.30.