Sigma algebra#
Generalmente, non è fattibile assegnare probabilità a tutti i sottoinsiemi di uno spazio campionario \(\Omega\). Invece, si limita l’attenzione a un insieme di eventi chiamato \(\sigma\)-algebra o \(\sigma\)-campo, che è una classe \(\mathcal{A}\) che soddisfa le seguenti proprietà:
Insieme Vuoto: \(\varnothing \in \mathcal{A}\) (l’insieme vuoto appartiene a \(\mathcal{A}\)).
Chiusura rispetto all’Unione: Se \(A_1, A_2, \dots\) sono in \(\mathcal{A}\), allora \(\cup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{A}\) (l’unione di una sequenza infinita di insiemi in \(\mathcal{A}\) appartiene a \(\mathcal{A}\)).
Chiusura rispetto al Complemento: Se \(A \in \mathcal{A}\), allora \(A^c \in \mathcal{A}\) (il complemento di un insieme in \(\mathcal{A}\) appartiene a \(\mathcal{A}\)).
Gli insiemi in \(\mathcal{A}\) sono detti misurabili. Chiamiamo \((\Omega, \mathcal{A})\) uno spazio misurabile. Se \(\mathbb{P}\) è una misura di probabilità definita su \(\mathcal{A}\), allora \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) è uno spazio di probabilità.
Quando \(\Omega\) è la retta reale, prendiamo \(\mathcal{A}\) come il più piccolo \(\sigma\)-campo che contiene tutti gli insiemi aperti, chiamato \(\sigma\)-campo di Borel.
Spiegazione#
Una \(\sigma\)-algebra (o \(\sigma\)-campo) è un insieme di sottoinsiemi di uno spazio campionario \(\Omega\) che soddisfa specifiche proprietà. Queste proprietà permettono di definire una struttura matematica per assegnare e calcolare le probabilità in modo consistente. Le proprietà fondamentali di una \(\sigma\)-algebra sono:
Insieme Vuoto: L’insieme vuoto \(\varnothing\) deve appartenere alla \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{A}\). Questo garantisce che anche l’assenza di qualsiasi evento sia considerata.
Chiusura rispetto all’Unione: Se una sequenza infinita di insiemi \(A_1, A_2, \dots\) appartiene a \(\mathcal{A}\), allora anche la loro unione \(\cup_{i=1}^\infty A_i\) deve appartenere a \(\mathcal{A}\). Questa proprietà permette di costruire nuovi eventi a partire da unione di eventi già considerati misurabili.
Chiusura rispetto al Complemento: Se un insieme \(A\) appartiene a \(\mathcal{A}\), allora anche il suo complemento \(A^c\) deve appartenere a \(\mathcal{A}\). Questa proprietà assicura che, se possiamo misurare un evento, possiamo anche misurare l’evento opposto.
Spazi Misurabili e di Probabilità#
Spazio Misurabile: Una coppia \((\Omega, \mathcal{A})\), dove \(\Omega\) è lo spazio campionario e \(\mathcal{A}\) è una \(\sigma\)-algebra su \(\Omega\), è chiamata spazio misurabile. In questo contesto, gli insiemi misurabili sono quelli a cui possiamo assegnare una misura, come la probabilità.
Spazio di Probabilità: Se aggiungiamo una misura di probabilità \(\mathbb{P}\) a uno spazio misurabile \((\Omega, \mathcal{A})\), otteniamo uno spazio di probabilità \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\). La misura di probabilità \(\mathbb{P}\) assegna valori di probabilità a ciascuno degli insiemi in \(\mathcal{A}\) in modo che le proprietà assiomatiche della probabilità siano soddisfatte.
\(\sigma\)-campo di Borel#
Quando lo spazio campionario \(\Omega\) è la retta reale, si usa spesso il \(\sigma\)-campo di Borel. Questo è il più piccolo \(\sigma\)-campo che contiene tutti gli insiemi aperti della retta reale. È fondamentale per definire la misurabilità e le probabilità su \(\mathbb{R}\), poiché contiene tutti gli insiemi che possiamo considerare «misurabili» nella pratica.
Conclusione#
Le \(\sigma\)-algebre permettono di gestire insiemi e misure in modo strutturato e coerente, formando la base matematica per la teoria della probabilità e altre aree dell’analisi matematica. Utilizzando \(\sigma\)-algebre, possiamo definire spazi di probabilità che sono essenziali per modellare e analizzare fenomeni aleatori in maniera rigorosa.