✏️ Esercizi#
Caso Beta-Binomiale#
Exercise 147
Supponiamo di avere osservato 17 successi in 29 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 4 e beta = 17. Si calcoli la media della distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo).
Solution to
0.42
Exercise 148
Supponiamo di avere osservato 17 successi in 30 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 5 e beta = 13. Si calcoli la distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo). In tale distribuzione a posteriori, qual è il valore theta che lascia sotto di sé una probabilità pari a 0.4?
Solution to
0.4395
Exercise 149
Supponiamo di avere osservato 17 successi in 28 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 5 e beta = 19. Si calcoli la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, theta (probabilità di successo) assuma un valore compreso nell’intervallo tra 0.5 e 0.75.
Solution to
0.1312
Exercise 150
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 30 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 8 e beta = 20. Si calcoli la distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo). In tale distribuzione a posteriori, qual è il valore (theta_0) tale per cui (P(theta > theta_0 =) 0.7?
Solution to
0.5178
Exercise 151
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la media della distribuzione a posteriori.
Solution to
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
mean = alpha / (alpha + beta)
mean
0.5833333333333334
Exercise 152
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la varianza della distribuzione a posteriori.
Solution to
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
var = alpha * beta / ((alpha + beta) ** 2 * (alpha + beta + 1))
var
0.006569069069069069
Exercise 153
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, il parametro \(\theta\) (probabilità di successo) assuma un valore minore di 0.4.
Solution to
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
st.beta.cdf(0.4, alpha, beta)
0.013257856051262343
Exercise 154
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, il parametro \(\theta\) (probabilità di successo) assuma un valore compreso tra 0.4 e 0.6.
Solution to
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
st.beta.cdf(0.6, alpha, beta) - st.beta.cdf(0.4, alpha, beta)
0.5594962066370368
Exercise 155
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la moda della distribuzione a posteriori del parametro \(\theta\) (probabilità di successo).
Solution to
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
mo = (alpha - 1) / (alpha + beta - 2)
mo
0.5882352941176471