✏️ Esercizi

Probabilità congiunta

Exercise 119

Si considerino le variabili causali \(X \in \{0, 1, 2\}\) e \(Y \in \{1, 2, 4\}\) con la seguente distribuzione di massa di probabilità congiunta:

x/y	0	1	2
1	0.1	0.1	0.0
2	0.2	0.1	0.1
4	0.0	0.2	0.2

Si trovi Cov(X,Y).

Solution to

import numpy as np

x = np.array([0, 1, 2])
y = np.array([1, 2, 4])
sample = [(i, j) for i in x for j in y]
sample

pmf = np.array([.1, .2, 0, .1, .1, .2, 0, .1, .2])
pmf.sum()

px = np.array([.3, .4, .3])
ex = np.sum(x * px)
ex

py = np.array([.2, .4, .4])
ey = np.sum(y * py)
ey

res = []
for i in range(9):
    res.append((sample[i][0] - ex) * (sample[i][1] - ey) * pmf[i])
sum(res)

0.5

Exercise 120

Le variabili causali \(X\) e \(Y\) sono indipendenti. La variabile \(X\) ha la seguente distribuzione di massa di probabilità:

x	1	2	3
P(x)	0.2	0.2	0.6

La variabile \(Y\) ha la seguente distribuzione di massa di probabilità:

y	0	1	2
P(y)	0.4	0.3	0.3

Si trovino E(X), E(Y), E(XY).

Solution to

E(X) = 2.4, E(Y) = 0.9, E(XY) = 2.16.