✏️ Esercizi#
Teorema di Bayes#
Exercise 102
Un esame del sangue rilieva correttamente il vampirisimo il 95% delle volte, \(Pr(Positive|Vampire)\) = 0.95. Il test ha un tasso di falsi psitivi di \(Pr(Positive | Mortal)\) = 0.01. Sappiamo anche che i vampiri sono rari – circa lo 0.1% della popolazione, \(Pr(Vampire)\) = 0.001. Si trovi la probabilità di essere un vampiro dato che il test ha dato un risultato positivo. (da Statistical rethinking)
Solution to
Per calcolare \(Pr(Vampire|Positive)\) applichiamo il teorema di Bayes: \(Pr(Vampire | Positive) = \frac{Pr(Positive | Vampire) * Pr(Vampire)}{Pr(Positive)}\).
Pr_Positive_Vampire = 0.95
Pr_Positive_Mortal = 0.01
Pr_Vampire = 0.001
tmp = Pr_Positive_Vampire * Pr_Vampire
Pr_Positive = tmp + Pr_Positive_Mortal * (1 - Pr_Vampire)
Pr_Vampire_Positive = tmp / Pr_Positive
Pr_Vampire_Positive
La risposta è 0.08683729433272395.
Exercise 103
Supponiamo che la probabilità che il tempo sia nuvoloso sia del 40%. Supponiamo inoltre che la probabilità di pioggia in un dato giorno sia del 20%. Supponiamo infine che la probabilità che il tempo sia nuvoloso in un giorno di pioggia sia dell’85%.
Se fuori è nuvoloso in un dato giorno, qual è la probabilità che quel giorno piova?
Solution to
def bayesTheorem(pA, pB, pBA):
return pA * pBA / pB
pRain = 0.2
pCloudy = 0.4
pCloudyRain = 0.85
bayesTheorem(pRain, pCloudy, pCloudyRain)
La risposta è 0.425.
Exercise 104
In base ai dati correnti (6 aprile 2024), ci sono 165544 positivi al Covid-19 su una popolazione che possiamo stimare pari a 58.89 milioni. I test RT-PCR, i cosiddetti “molecolari”, ricercano specifiche porzioni dell’RNA del SARS-CoV-2 in un campione prelevato tramite tampone nasofaringeo. Hanno una specificità del 99.9% e una sensibilità del 89.9% fonte.
In tali circostanze, se un individuo risulta positivo, qual è la probabilità che abbia effettivamente il Covid-19?
Solution to
Per risolvere questo problema, possiamo nuovamente utilizzare il teorema di Bayes per aggiornare la probabilità che un individuo abbia effettivamente il Covid-19, dato un risultato positivo del test RT-PCR. La specificità e la sensibilità del test sono concetti chiave per comprendere il suo comportamento:
Sensibilità (vera positività): La probabilità che il test identifichi correttamente un individuo infetto con il virus. Nel nostro caso, è del 89.9%.
Specificità (vera negatività): La probabilità che il test identifichi correttamente un individuo non infetto con il virus. Nel nostro caso, è del 99.9%.
Con questi dati, possiamo calcolare la probabilità che un individuo abbia effettivamente il Covid-19, dato un risultato positivo del test (\(P(A|B)\)), usando il teorema di Bayes:
Dove:
\(P(A)\) è la prevalenza del Covid-19 nella popolazione, che possiamo stimare come il rapporto tra il numero di casi attuali e la popolazione totale.
\(P(B|A)\) è la sensibilità del test, ovvero la probabilità di un risultato positivo dato che la persona ha effettivamente il Covid-19.
\(P(B|\neg A)\) è la probabilità di un falso positivo, che è \(1 -\) la specificità del test.
\(P(B)\) è la probabilità di ottenere un risultato positivo dal test, che possiamo calcolare come \(P(B|A) \times P(A) + P(B|\neg A) \times P(\neg A)\).
Calcoliamo ora la probabilità cercata utilizzando questi dati:
# Dati forniti
popolazione_totale = 58.89e6 # Popolazione italiana aggiornata
casi_attuali = 165544 # Attualmente positivi
sensibilita = 0.899 # Sensibilità del test RT-PCR
specificita = 0.999 # Specificità del test RT-PCR
# Calcolo della prevalenza del Covid-19 nella popolazione
P_A = casi_attuali / popolazione_totale
# Calcolo della probabilità di un falso positivo
P_B_given_not_A = 1 - specificita
# Calcolo di P(B)
P_B = sensibilita * P_A + P_B_given_not_A * (1 - P_A)
# Calcolo di P(A|B) usando il teorema di Bayes
P_A_given_B = (sensibilita * P_A) / P_B
P_A_given_B
La probabilità che un paziente abbia effettivamente il Covid-19, dato che il risultato del suo test RT-PCR è positivo, è circa il 71.71%. Questo calcolo tiene conto della sensibilità e della specificità del test, nonché della prevalenza attuale del Covid-19 nella popolazione italiana.
Il risultato dimostra l’importanza della specificità e della sensibilità del test nel determinare l’affidabilità dei risultati positivi, soprattutto in contesti di bassa prevalenza. Sebbene il test RT-PCR abbia un’alta specificità (99.9%) e una buona sensibilità (89.9%), la probabilità che una persona testata positiva sia effettivamente infetta dipende fortemente anche dalla prevalenza del virus nella popolazione: minore è la prevalenza, maggiore è l’impatto della specificità e della sensibilità sulla probabilità post-test.
Exercise 105
Come sapete, i test Covid-19 sono comuni al giorno d’oggi, ma alcuni risultati dei test non sono veri. Assumiamo: un test diagnostico ha un’accuratezza del 99% e il 60% di tutte le persone testate ha il Covid-19. In tali circostanze, se un paziente risulta positivo, qual è la probabilità che abbia effettivamente il Covid-19?
Solution to
La probabilità a posteriori di essere positivo dato un risultato positivo al test si trova con il teorema di Bayes: (probabilità a priori x verosimiglianza) / p(essere positivo).
La probabilità di essere positivo è 0.99 x 0.6 + 0.01 x 0.4 = 0.598.
Dunque, (0.6 x 0.99) / 0.598 = 0.993.
Exercise 106
Supponiamo che un test per l’utilizzo di un particolare droga sia sensibile al 97% e specifico al 95%. Cioè, il test produrrà il 97% di risultati veri positivi per i tossicodipendenti e il 95% di risultati veri negativi per i non tossicodipendenti. Supponiamo che lo 0.5% della popolazione generale faccia uso della droga. Qual è la probabilità che un individuo selezionato a caso con un test positivo sia un tossicodipendente?
Solution to
def drug_user(prob_th=0.5,sensitivity=0.99,specificity=0.99,prevelance=0.01,verbose=True):
"""
"""
p_user = prevelance
p_non_user = 1-prevelance
p_pos_user = sensitivity
p_neg_user = specificity
p_pos_non_user = 1-specificity
num = p_pos_user*p_user
den = p_pos_user*p_user+p_pos_non_user*p_non_user
prob = num/den
if verbose:
if prob > prob_th:
print("The test-taker could be an user")
else:
print("The test-taker may not be an user")
return prob
p = drug_user(prob_th=0.5,sensitivity=0.97,specificity=0.95,prevelance=0.005)
print("Probability of the test-taker being a drug user is:", round(p, 3))
Anche con un test corretto al 97% per rilevare casi positivi e corretto al 95% per rifiutare casi negativi, la vera probabilità di essere un tossicodipendente con un risultato positivo è solo dell’8.9%.
Exercise 107
In riferimento al problema precedente, si trovi la prevalenza nella popolazione tale per cui il test produca una probabilità di essere un tossicodipendente pari a 0.5.
Solution to
Il modo più semplice di risolvere questo problema è di usare un ciclo for.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as st
import seaborn as sns
ps = []
pres = []
for pre in np.linspace(0.0, 0.1, num=10000):
pres.append(pre)
p = drug_user(
prob_th=0.5, sensitivity=0.97, specificity=0.95, prevelance=pre, verbose=False
)
ps.append(p)
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.title("Probability of user with prevalence rate")
plt.plot(pres, ps, linestyle='-')
plt.grid(True)
plt.xlabel("Prevalence (percentage)")
plt.ylabel("Probability of being a user")
plt.show()
import pandas as pd
df= pd.DataFrame()
df["prevalence"] = pres
df["post_prob"] = ps
df.head()
# find row with closest value to 0.5 in post_prob column
df_closest = df.iloc[(df['post_prob']-0.5).abs().argsort()[:1]]
print(df_closest)
La prevalenza nella popolazione deve essere circa uguale a 0.049.