Analisi bayesiana dell’odds-ratio

Analisi bayesiana dell’odds-ratio#

In questo capitolo, esploreremo l’applicazione degli strumenti statistici descritti nei capitoli precedenti all’analisi bayesiana di due proporzioni. Inizieremo definendo i concetti di odds, odds ratio e logit. Successivamente, mostreremo come effettuare l’analisi bayesiana per il confronto tra due proporzioni.

Preparazione del Notebook#

# PROJECT SETUP

import logging
import os
import warnings

warnings.simplefilter(action='ignore', category=FutureWarning)

import cmdstanpy
from cmdstanpy import CmdStanModel

cmdstanpy.utils.get_logger().setLevel(logging.ERROR)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import arviz as az

# set seed to make the results fully reproducible
seed: int = sum(map(ord, "stan_odds_ratio"))
rng: np.random.Generator = np.random.default_rng(seed=seed)

az.style.use("arviz-darkgrid")
plt.rcParams["figure.dpi"] = 100
plt.rcParams["figure.facecolor"] = "white"

# Get the home directory
home_directory = os.path.expanduser("~")
# Construct the path to the Quarto project directory 
project_directory = os.path.join(
    home_directory, '_repositories', 'ds4p')

%config InlineBackend.figure_format = "retina"

Un rapporto di odds (OR) è una misura di associazione tra un’esposizione (o un certo gruppo o una certa conditione) e un risultato. L’OR rappresenta gli odds che si verifichi un risultato dato un’esposizione particolare, confrontate con gli odds del risultato che si verifica in assenza di tale esposizione.

Odds#

Il termine «odds» rappresenta il rapporto tra la probabilità che un evento si verifichi e la probabilità che l’evento opposto si verifichi. Matematicamente, l’odds può essere calcolato come:

\[ \text{odds} = \frac{\pi}{1-\pi}, \]

dove \(\pi\) rappresenta la probabilità dell’evento di interesse.

Mentre una probabilità \(\pi\) è sempre compresa tra 0 e 1, gli odds possono variare da 0 a infinito. Per comprendere meglio gli odds lungo questo spettro, consideriamo tre diversi scenari in cui \(\pi\) rappresenta la probabilità di un evento.

Se la probabilità di un evento è \(\pi = \frac{2}{3}\), allora la probabilità che l’evento non si verifichi è \(1 - \pi = \frac{1}{3}\) e gli odds del verificarsi dell’evento sono:

\[ \text{odds} = \frac{2/3}{1-2/3} = 2. \]

Questo significa che la probabilità che l’evento si verifichi è il doppio della probabilità che non si verifichi.

Se, invece, la probabilità dell’evento è \(\pi = \frac{1}{3}\), allora gli odds che l’evento si verifichi sono la metà rispetto agli odds che non si verifichi:

\[ \text{odds} = \frac{1/3}{1-1/3} = \frac{1}{2}. \]

Infine, se la probabilità dell’evento è \(\pi = \frac{1}{2}\), allora gli odds dell’evento sono pari a 1:

\[ \text{odds} = \frac{1/2}{1-1/2} = 1. \]

Interpretazione#

Gli odds possono essere interpretati nel modo seguente. Consideriamo un evento di interesse con probabilità \(\pi \in [0, 1]\) e gli odds corrispondenti \(\frac{\pi}{1-\pi} \in [0, \infty)\). Confrontando gli odds con il valore 1, possiamo ottenere una prospettiva sull’incertezza dell’evento:

Gli odds di un evento sono inferiori a 1 se e solo se le probabilità dell’evento sono inferiori al 50-50, cioè \(\pi < 0.5\).
Gli odds di un evento sono uguali a 1 se e solo se le probabilità dell’evento sono del 50-50, cioè \(\pi = 0.5\).
Gli odds di un evento sono superiori a 1 se e solo se le probabilità dell’evento sono superiori al 50-50, cioè \(\pi > 0.5\).

Uno dei motivi per preferire l’uso dell’odds rispetto alla probabilità, nonostante quest’ultima sia un concetto più intuitivo, risiede nel fatto che quando le probabilità si avvicinano ai valori estremi (cioè 0 o 1), è più facile rilevare e apprezzare le differenze tra gli odds piuttosto che le differenze tra le probabilità.

Odds Ratio#

Quando abbiamo una variabile di interesse espressa come proporzione, possiamo confrontare i gruppi utilizzando l’odds ratio. L’odds ratio rappresenta il rapporto tra gli odds di un evento in un gruppo e gli odds dello stesso evento in un secondo gruppo:

\[ OR = \frac{odds_1}{odds_2} = \frac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)}. \]

Interpretazione:

OR = 1: l’appartenenza al gruppo non influenza il risultato;
OR > 1: l’appartenenza al gruppo specificato al numeratore dell’OR aumenta la probabilità dell’evento rispetto al gruppo specificato al denominatore;
OR < 1: l’appartenenza al gruppo specificato al numeratore dell’OR riduce la probabilità dell’evento rispetto al gruppo specificato al denominatore.

L’odds ratio è particolarmente utile quando vogliamo confrontare due gruppi e vedere come l’appartenenza a uno di essi influenza la probabilità di un certo evento. Ad esempio, consideriamo uno studio psicologico in cui stiamo valutando l’efficacia di una terapia comportamentale per ridurre l’ansia. Possiamo suddividere i partecipanti allo studio in due gruppi: quelli che sono stati sottoposti al trattamento (gruppo di trattamento) e quelli che non sono stati sottoposti al trattamento (gruppo di controllo).

Calcolando l’odds ratio tra il gruppo di trattamento e il gruppo di controllo, possiamo capire se la terapia ha aumentato o ridotto la probabilità di riduzione dell’ansia. Se l’odds ratio è maggiore di 1, significa che la terapia ha aumentato le probabilità di riduzione dell’ansia; se è inferiore a 1, significa che il trattamento ha ridotto le probabilità di riduzione dell’ansia. L’odds ratio ci fornisce quindi una misura dell’effetto della terapia rispetto al controllo.

Logaritmo dell’Odds Ratio#

Il logaritmo dell’odds ratio è una trasformazione matematica molto utilizzata nell’analisi statistica, specialmente nella regressione logistica. Essa permette di rendere l’odds ratio interpretabile su una scala lineare, semplificando l’analisi e l’interpretazione dei risultati.

La formula per calcolare il logaritmo dell’odds ratio è la seguente:

\[ \text{logit}(OR) = \log(OR) = \log\left(\frac{odds_1}{odds_2}\right). \]

In altre parole, il logaritmo dell’odds ratio è il logaritmo naturale del rapporto tra gli odds di un evento nel primo gruppo e gli odds dello stesso evento nel secondo gruppo.

Interpretazione#

L’interpretazione del logaritmo dell’odds ratio è più intuitiva rispetto all’odds ratio stesso. Una variazione di una unità nel logaritmo dell’odds ratio corrisponde a un cambiamento costante nell’odds ratio stesso.

Se il logaritmo dell’odds ratio è positivo, significa che l’odds dell’evento nel primo gruppo è maggiore rispetto al secondo gruppo. Più il valore del logaritmo dell’odds ratio si avvicina a zero, più l’odds dell’evento nei due gruppi si avvicina a essere simile.

Se, invece, il logaritmo dell’odds ratio è negativo, l’odds dell’evento nel primo gruppo è inferiore rispetto al secondo gruppo. Un valore di logaritmo dell’odds ratio vicino a zero indica che l’odds dell’evento è simile nei due gruppi.

Analisi bayesiana delle proporzioni#

Una volta compresi i concetti di odds, odds ratio e logit, possiamo procedere all’analisi bayesiana delle proporzioni. Questo approccio consente di confrontare le proporzioni di due gruppi, ottenendo stime delle probabilità a posteriori e degli intervalli di credibilità.

L’analisi bayesiana si basa sull’applicazione del teorema di Bayes per aggiornare le conoscenze a priori con l’evidenza fornita dai dati osservati. Questo permette di ottenere una distribuzione a posteriori delle quantità di interesse, come l’odds ratio.

In questo capitolo, analizzeremo un set di dati fittizio ispirato a un classico esperimento di etologia descritto da Hoffmann et al. [HHW22]. Von Frisch (1914) ha voluto verificare se le api possiedono la visione dei colori confrontando il comportamento di due gruppi di api. L’esperimento si compone di una fase di addestramento e di una fase di test.

Nella fase di addestramento, le api del gruppo sperimentale vengono esposte a un disco blu e a un disco verde. Solo il disco blu è ricoperto di una soluzione zuccherina, molto appetita dalle api. Il gruppo di controllo, invece, non riceve alcun addestramento.

Nella fase di test, la soluzione zuccherina viene rimossa dal disco blu e si osserva il comportamento di entrambi i gruppi. Se le api del gruppo sperimentale hanno appreso che solo il disco blu contiene la soluzione zuccherina e sono in grado di distinguere tra il blu e il verde, dovrebbero preferire esplorare il disco blu piuttosto che quello verde durante la fase di test.

Il ricercatore osserva che in 130 casi su 200, le api del gruppo sperimentale continuano ad avvicinarsi al disco blu dopo la rimozione della soluzione zuccherina. Le api del gruppo di controllo, che non sono state addestrate, si avvicinano al disco blu 100 volte su 200.

Per confrontare il comportamento delle api nelle due condizioni, useremo l’odds ratio, così da confrontare le probabilità dell’evento critico (scelta del disco blu) tra i due gruppi.

Calcoliamo la proporzione delle api che scelgono il disco blu nella condizione sperimentale:

\[ p_e = \frac{130}{200} = 0.65 \]

Calcoliamo gli odds nella condizione sperimentale:

\[ \text{odds}_e = \frac{p_e}{1 - p_e} \approx 1.86 \]

Questo ci indica che, nel gruppo sperimentale, ci sono circa 1.86 «successi» (ossia la scelta del disco blu) per ogni «insuccesso» (scelta del disco verde).

Procediamo calcolando gli odds nella condizione di controllo:

\[ p_c = \frac{100}{200} = 0.5 \]

\[ \text{odds}_c = \frac{p_c}{1 - p_c} = 1.0 \]

Questo ci indica che, nel gruppo di controllo, il numero di «successi» e «insuccessi» è uguale.

Infine, confrontiamo gli odds tra la condizione sperimentale e la condizione di controllo per calcolare l’odds ratio (OR):

\[ \text{OR} = \frac{\text{odds}_e}{\text{odds}_c} = 1.86 \]

Gli odds di scelta del disco blu aumentano di circa 1.86 volte nel gruppo sperimentale rispetto al gruppo di controllo.

Analisi Bayesiana dell’Odds Ratio#

Nella nostra analisi, ci focalizziamo sull’Odds Ratio (OR) per valutare la differenza nel comportamento di scelta delle api nelle due condizioni dell’esperimento discusso. L’OR fornisce una stima puntuale della differenza basata sul nostro campione specifico. Tuttavia, per realizzare un’inferenza statistica robusta, è essenziale considerare l’incertezza nelle nostre stime, caratterizzata attraverso la distribuzione a posteriori.

L’analisi bayesiana si basa sull’applicazione del teorema di Bayes per aggiornare le nostre conoscenze a priori con l’evidenza fornita dai dati osservati. Questo ci permette di ottenere una distribuzione a posteriori delle quantità di interesse, come l’odds ratio.

Per affrontare questa questione, adottiamo un approccio bayesiano, costruendo la distribuzione a posteriori dell’OR. A partire da questa distribuzione, determiniamo un intervallo di credibilità del 90%, che rappresenta l’intervallo entro il quale, con il 90% di confidenza, possiamo aspettarci che ricada il vero valore dell’OR della popolazione.

Se questo intervallo non include il valore 1, disponiamo di una solida evidenza (con un livello di credibilità del 90%) che la differenza tra le due condizioni esaminate corrisponde a una differenza reale nella popolazione, il che suggerisce che non si tratta di un artefatto generato dalla nostra incertezza. In altre parole, possiamo affermare con ragionevole certezza che le api dispongono di una visione cromatica.

D’altro canto, se l’intervallo di credibilità includesse il valore 1, ciò indicherebbe che la differenza osservata nel nostro campione potrebbe non riflettere una differenza significativa nella popolazione generale, suggerendo che potrebbe essere una peculiarità del nostro campione specifico.

L’analisi bayesiana e il calcolo dell’intervallo di credibilità verranno condotti utilizzando cmdstanpy, che ci permette di implementare modelli bayesiani in modo efficiente e rigoroso. Utilizzeremo una distribuzione a priori debolmente informativa per l’OR, in modo da non influenzare eccessivamente i risultati con assunzioni preliminari.

Una volta ottenuta la distribuzione a posteriori dell’OR, possiamo calcolare il nostro intervallo di credibilità del 90%. Questo intervallo fornirà una rappresentazione della nostra incertezza riguardo il vero valore dell’OR nella popolazione. Se il nostro intervallo di credibilità esclude il valore 1, possiamo concludere che esiste una differenza significativa tra i due gruppi, confermando che le api possono distinguere i colori e preferire il disco blu.

In sintesi, l’approccio bayesiano non solo ci permette di stimare l’OR, ma anche di quantificare la nostra incertezza e fare inferenze più solide e informative sulla capacità delle api di distinguere tra colori.

Likelihood#

La likelihood del modello descrive la probabilità di osservare i dati dati i parametri del modello. Nel nostro caso, abbiamo due gruppi con eventi binomiali.

Per il gruppo 1:

\[ y_1 \sim \text{Binomiale}(N_1, \theta_1) .\]

Per il gruppo 2:

\[ y_2 \sim \text{Binomiale}(N_2, \theta_2) .\]

Priors#

I priors del modello descrivono le nostre convinzioni iniziali sui parametri prima di osservare i dati. Nel nostro caso, i parametri \(\theta_1\) e \(\theta_2\) seguono una distribuzione Beta(2, 2).

Per \(\theta_1\):

\[ \theta_1 \sim \text{Beta}(2, 2) .\]

Per \(\theta_2\):

\[ \theta_2 \sim \text{Beta}(2, 2) .\]

Compiliamo e stampiamo il modello Stan.

stan_file = os.path.join(project_directory, 'stan', 'odds-ratio.stan')
model = CmdStanModel(stan_file=stan_file)

print(model.code())

//  Comparison of two groups with Binomial
data {
  int<lower=0> N1; // number of experiments in group 1
  int<lower=0> y1; // number of events in group 1
  int<lower=0> N2; // number of experiments in group 2
  int<lower=0> y2; // number of events in group 2
}
parameters {
  real<lower=0, upper=1> theta1; // probability of event in group 1
  real<lower=0, upper=1> theta2; // probability of event in group 2
}
model {
  // model block creates the log density to be sampled
  theta1 ~ beta(2, 2); // prior
  theta2 ~ beta(2, 2); // prior
  y1 ~ binomial(N1, theta1); // observation model / likelihood
  y2 ~ binomial(N2, theta2); // observation model / likelihood
}
generated quantities {
  real oddsratio = (theta1 / (1 - theta1)) / (theta2 / (1 - theta2));
}

Nel blocco generated quantities, calcoliamo l’odds ratio:

\[ \text{oddsratio} = \frac{\theta_1 / (1 - \theta_1)}{\theta_2 / (1 - \theta_2)}. \]

Questo rapporto delle odds ci dà una misura della forza dell’associazione tra l’evento e i gruppi.

In sintesi, il modello bayesiano utilizza i dati osservati per aggiornare le nostre convinzioni iniziali sui parametri \(\theta_1\) e \(\theta_2\), fornendo una distribuzione a posteriori che riflette sia le informazioni a priori sia le evidenze empiriche.

Creiamo un dizionario che contiene i dati.

n1 = 200
y1 = 130
n2 = 200
y2 = 100

stan_data = {
    'N1': n1,
    'y1': y1,
    'N2': n2,
    'y2': y2
}

print(stan_data)

{'N1': 200, 'y1': 130, 'N2': 200, 'y2': 100}

Eseguiamo il campionamento.

trace = model.sample(
    data=stan_data,
    iter_warmup=1_000,
    iter_sampling=2_000,
    seed=123,
    show_progress=False,
    show_console=False
)

Estraiamo la distribuzione a posteriori dell’odds ratio e generiamo un istogramma.

or_draws = trace.stan_variable('oddsratio')

plt.hist(or_draws, bins=30, alpha=0.5, color='b', edgecolor='black', density=True)

# Aggiunta di titolo e etichette agli assi
plt.title('Istogramma della distribizione a posteriori di OR')
plt.xlabel('Valori')
plt.ylabel('Frequenza')

plt.show()

../_images/efbfed09b57c89419be4f64734d6d1b36c025bf0dfa396952df4c7916b79f715.png

La distribuzione posteriore del rapporto degli odds è il modo più semplice e accurato per descrivere la differenza tra i due gruppi. Nel caso presente, notiamo che vi è un’elevata probabilità che la differenza tra i due gruppi sia affidabile e relativamente grande.

Un sommario della distribuzione a posteriori dell’odds ratio si ottine nel modo seguente.

az.summary(trace, var_names=['oddsratio'], round_to=2)

	mean	sd	hdi_3%	hdi_97%	mcse_mean	mcse_sd	ess_bulk	ess_tail	r_hat
oddsratio	1.88	0.39	1.2	2.6	0.0	0.0	6936.86	5183.54	1.0

Possiamo determinare la probabilità che il rapporto di probabilità (odds ratio) superi 1. Per farlo, è sufficiente analizzare gli 8000 campioni della distribuzione posteriore dell’odds ratio

len(or_draws)

e calcolare la proporzione di questi che presenta un valore maggiore di 1:

np.mean(or_draws > 1.0)

0.9985

Diagnostica delle catene markoviane#

Prima di esaminare i risultati, eseguiamo la diagnostica delle catene markoviane.

Mixing#

Il trace plot precedente dimostra un buon mixing. Questo è evidenza che il campionamento MCMC ha raggiunto uno stato stazionario.

_ = az.plot_trace(trace, var_names=["oddsratio"])

../_images/6952d7da837e0dbe48d0edb351df12a2d46647053b739978afcc9a37ed3e5e94.png

Numerosità campionaria effettiva#

Quando si utilizzano metodi di campionamento MCMC, è ragionevole chiedersi se un particolare campione estratto dalla distribuzione a posteriori sia sufficientemente grande per calcolare con sicurezza le quantità di interesse, come una media o un HDI. Questo non è qualcosa che possiamo rispondere direttamente guardando solo il numero di punti della catena MCMC, e il motivo è che i campioni ottenuti dai metodi MCMC hanno un certo grado di autocorrelazione, quindi la quantità effettiva di informazioni contenute in quel campione sarà inferiore a quella che otterremmo da un campione iid della stessa dimensione. Possiamo pensare alla dimensione del campione effettivo (ESS) come a un stimatore che tiene conto dell’autocorrelazione e fornisce il numero di estrazioni che avremmo se il nostro campione fosse effettivamente iid.

Per le catene buone, solitamente, il valore della dimensione del campione effettivo sarà inferiore al numero di campioni. Ma l’ESS può essere in realtà più grande del numero di campioni estratti. Quando si utilizza il campionatore NUTS, valori di ESS maggiori del numero totale di campioni possono verificarsi per parametri le cui distribuzioni posteriori sono vicine alla Gaussiana e che sono quasi indipendenti da altri parametri nel modello.

Nell’output di PyCM si considera ESS_BULK. Un euristica è che deve essere almeno uguale a 400. Nel caso presente questo si verifica, quindi il valore ESS_BULK non fornisce alcuna evidenza di cattivo mixing.

az.summary(trace)

	mean	sd	hdi_3%	hdi_97%	mcse_mean	mcse_sd	ess_bulk	ess_tail	r_hat
oddsratio	1.881	0.386	1.198	2.597	0.005	0.003	6937.0	5184.0	1.0
theta1	0.647	0.033	0.585	0.710	0.000	0.000	6865.0	5296.0	1.0
theta2	0.499	0.035	0.434	0.564	0.000	0.000	7465.0	5391.0	1.0

Autocorrelazione#

L’autocorrelazione riduce la quantità effettiva di informazioni contenute in un campione e quindi è qualcosa che vogliamo mantenere al minimo. Possiamo ispezionare direttamente l’autocorrelazione con az.plot_autocorr.

_ = az.plot_autocorr(trace, combined=True, var_names=["oddsratio"])

../_images/d5382dd28318df5e95e77fede9707ae09ec09d505c7e31fc82946fe610c259c9.png

Rank Plots#

I grafici dei ranghi sono un altro strumento diagnostico visivo che possiamo utilizzare per confrontare il comportamento del campionamento sia all’interno che tra le catene. I grafici dei ranghi, in parole semplici, sono istogrammi dei campioni della distribuzione a posteriori espressi in termini di ranghi. Nei grafici dei ranghi, i ranghi sono calcolati combinando prima tutte le catene ma poi rappresentando i risultati separatamente per ogni catena. Se tutte le catene stimano la stessa distribuzione, ci aspettiamo che i ranghi abbiano una distribuzione uniforme. Inoltre, se i grafici dei ranghi di tutte le catene sembrano simili, ciò indica un buon mix delle catene.

Possiamo ottenere i grafici dei ranghi con az.plot_rank.

_ = az.plot_rank(trace, kind="bars", var_names=["oddsratio"])

../_images/1733e019bdaf528f3e03f07e78da5f2fce1fffe15172b90bf39e5ec23a01e258.png

Una rappresentazione alternativa è la seguente.

_ = az.plot_rank(trace, kind="vlines", var_names=["oddsratio"])

../_images/1e28be4732e1ccaa4840f7c8adfa848cd1477c2ba233c56d6ea0028987fa5db0.png

Possiamo vedere nella figura che i ranghi sono molto simili ad una distribuzione uniforme e che tutte le catene sono simili tra loro senza alcuno scostamento distintivo.

Divergenza#

Finora abbiamo diagnosticato il funzionamento di un campionatore esaminando i campioni generati. Un altro modo per eseguire una diagnosi è monitorare il comportamento dei meccanismi interni del metodo di campionamento. Un esempio importante di tali diagnosi è il concetto di divergenza presente in alcuni metodi Hamiltonian Monte Carlo (HMC). Le divergenze (o transizioni divergenti) sono un modo potente e sensibile per diagnosticare i campioni e funzionano come complemento alle diagnosi che abbiamo visto nelle sezioni precedenti.

PyMC riporta il numero di transizioni divergenti. Se non viene riportato alcun messaggio che informa della presenza di transizioni divergenti, questo vuol dire che la distribuzione a posteriori è stata stimata correttamente.

BFMI#

Il BFMI (Fraction of Missing Information) serve a valutare quanto bene il processo di campionamento si allinea con la distribuzione della «energia» associata a ciascun campione. Nel contesto del campionamento Hamiltoniano, il termine «energia» si riferisce a una quantità calcolata durante il processo di campionamento che aiuta a valutare quanto è probabile un certo set di parametri alla luce dei dati osservati e del modello statistico in esame.

Il BFMI è uno strumento che ci aiuta a valutare se il processo di campionamento sta «esplorando» adeguatamente lo spazio dei parametri possibili. In altre parole, ci dice se il nostro processo di campionamento sta dando un’immagine accurata delle regioni dello spazio dei parametri che sono realmente plausibili dati i nostri dati e il nostro modello. Un valore BFMI basso indica che il campionamento non è riuscito a esplorare adeguatamente alcune regioni dello spazio dei parametri che dovrebbero essere state esplorate, e quindi i risultati del campionamento potrebbero non essere affidabili.

Generalmente, un valore inferiore a 0.3 indica un campionamento insufficiente.

Nel caso presente, dal momento che i valori BFMI sono superiori a 0.3 per tutte le catene, sembra che il processo di campionamento sia riuscito a esplorare adeguatamente lo spazio dei parametri.

az.bfmi(trace)

array([1.14346921, 1.11602384, 1.1467078 , 1.03197001])

La validazione del processo di campionamento può essere efficacemente eseguita analizzando graficamente le quantità note come «energy transition» e «marginal energy». Queste metriche sono strettamente legate alla funzione obiettivo che l’algoritmo di campionamento intende ottimizzare e giocano un ruolo cruciale nel rilevare potenziali problematiche che possono emergere durante il campionamento.

Energy transition: questa metrica illustra l“«energia» calcolata in ogni singolo passo dell’algoritmo di campionamento, offrendo una visione dettagliata delle fluttuazioni che intervengono ad ogni iterazione. Facilita l’identificazione delle aree dello spazio dei parametri dove l’algoritmo potrebbe incontrare difficoltà nel campionare in modo corretto.
Marginal energy: fornisce un profilo dell“«energia» marginale per l’intero set di campioni, riflettendo l“«energia» media in ogni punto del campione. È una rappresentazione grafica dell“«energia» associata alla distribuzione a posteriori che si intende campionare.

Per un’analisi diagnostica efficace, è auspicabile che il tracciato dell“«energy transition» coincida sostanzialmente con quello della «marginal energy». Tale congruenza è indicativa di una esplorazione ben riuscita dello spazio dei parametri, assicurando che le regioni ad alta probabilità nella distribuzione a posteriori siano state correttamente campionate. Pertanto, una buona sovrapposizione tra i grafici delle due metriche attesterebbe un funzionamento ottimale del modello, conferendo un grado di affidabilità elevato alle stime dei parametri derivanti dal processo di campionamento.

_ = az.plot_energy(trace)

../_images/29f0fd7d4a2a5ecf579472daefcf46fa2f5e7b2560b484bf7e48571ef5ddbef5.png

Conclusione#

In questo capitolo abbiamo approfondito l’analisi bayesiana focalizzandoci sulla stima dell’odds ratio (OR). I risultati della diagnosi delle catene Markoviane non evidenziano problematiche relative alla convergenza dell’algoritmo né discrepanze nel modello statistico adottato, permettendoci di procedere con l’analisi dei risultati ottenuti.

L’analisi ha determinato un valore a posteriori per l’OR di 1.88, accompagnato da un intervallo di credibilità del 94% compreso tra 1.20 e 2.60. Poiché questo intervallo non include il valore 1, possiamo affermare, con un grado di certezza del 94%, che il comportamento delle api differisce nelle due condizioni sperimentali. Questo fornisce evidenza a supporto dell’ipotesi che le api dispongano di una visione cromatica.

L’approccio bayesiano adottato ci ha permesso di integrare le conoscenze a priori con i dati ottenuti dall’analisi, risultando in una stima dell’odds ratio più affidabile e accurata.

Informazioni sull’Ambiente di Sviluppo#

%load_ext watermark
%watermark -n -u -v -iv -w -m

Last updated: Wed Jul 17 2024

Python implementation: CPython
Python version       : 3.12.4
IPython version      : 8.26.0

Compiler    : Clang 16.0.6 
OS          : Darwin
Release     : 23.5.0
Machine     : arm64
Processor   : arm
CPU cores   : 8
Architecture: 64bit

matplotlib: 3.9.1
arviz     : 0.18.0
logging   : 0.5.1.2
cmdstanpy : 1.2.4
numpy     : 1.26.4

Watermark: 2.4.3

Analisi bayesiana dell’odds-ratio

Contenuti

Analisi bayesiana dell’odds-ratio#

Preparazione del Notebook#

Odds#

Interpretazione#

Odds Ratio#

Logaritmo dell’Odds Ratio#

Interpretazione#

Analisi bayesiana delle proporzioni#

Analisi Bayesiana dell’Odds Ratio#

Likelihood#

Priors#

Diagnostica delle catene markoviane#

Mixing#

Numerosità campionaria effettiva#

R hat#

Errore standard di Monte Carlo#

Autocorrelazione#

Rank Plots#

Divergenza#

BFMI#

Conclusione#

Informazioni sull’Ambiente di Sviluppo#