7. ✏️ Esercizi

7.1. Ottimizzazione dello scoring dei dati di questionari ordinali

Precedentemente, nell’Esercizio sulla scala Likert, abbiamo effettuato lo scoring del questionario Strengths and Difficulties Questionnaire (SDQ) utilizzando l’approccio chiamato “Likert scaling”, in cui le categorie di risposta “non vero”, “un po’ vero” e “certamente vero” sono state assegnate ai numeri interi consecutivi 0-1-2. Oltre a riflettere il presunto grado crescente di accordo in queste opzioni di risposta, l’assegnazione dei numeri interi era arbitraria, poiché non c’era una particolare ragione per cui abbiamo assegnato 0-1-2 anziché, ad esempio, 1-2-3. Un tale modo arbitrario di valutare le risposte degli item è chiamato anche “measurement by fiat”. In questo tutorial, cercheremo di trovare punteggi “ottimali” per le risposte ordinate al SDQ. “Ottimale” significa che i punteggi che assegniamo alle risposte non sono solo dei punteggi qualsiasi, ma sono i “migliori” tra tutti gli altri possibili punteggi in base a qualche criterio statistico.

Esistono molti modi per “ottimizzare” i punteggi degli item; qui, massimizzeremo il rapporto tra la varianza del punteggio totale e la somma delle varianze dei punteggi degli item. In psicometria, il soddisfacimento di questo criterio porta alla massimizzazione della somma delle correlazioni degli item (e quindi della “coerenza interna” del punteggio del test misurata dall’alpha di Cronbach).

source("../_common.R")
library("aspect")

Importiamo nuovamente i dati del Strengths and Difficulties Questionnaire (SDQ).

load("../data/data_sdq/SDQ.RData")

glimpse(SDQ)

Rows: 228
Columns: 51
$ Gender   <dbl> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…
$ consid   <dbl> 1, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2…
$ restles  <dbl> 2, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0…
$ somatic  <dbl> 2, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1…
$ shares   <dbl> 1, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2…
$ tantrum  <dbl> 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 0…
$ loner    <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 0…
$ obeys    <dbl> 2, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2…
$ worries  <dbl> 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 0…
$ caring   <dbl> 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2…
$ fidgety  <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0…
$ friend   <dbl> 2, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2…
$ fights   <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
$ unhappy  <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 0…
$ popular  <dbl> 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2…
$ distrac  <dbl> 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0…
$ clingy   <dbl> 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 0…
$ kind     <dbl> 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2…
$ lies     <dbl> 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
$ bullied  <dbl> 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0…
$ helpout  <dbl> 2, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2…
$ reflect  <dbl> 1, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2…
$ steals   <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
$ oldbest  <dbl> 1, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 1…
$ afraid   <dbl> 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0…
$ attends  <dbl> 2, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2…
$ consid2  <dbl> 1, 2, 2, 2, NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 1, NA, 2, 2, NA, 1, 2, 2, …
$ restles2 <dbl> 0, 1, 2, 1, NA, 0, 1, 1, 0, 0, NA, 2, NA, 0, 1, NA, 1, 1, 2, …
$ somatic2 <dbl> 0, 1, 1, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0, NA, 2, NA, 0, 1, NA, 0, 1, 2, …
$ shares2  <dbl> 1, 2, 2, 1, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, 2, NA, 2, 2, NA, 1, 2, 1, …
$ tantrum2 <dbl> 0, 1, 2, 0, NA, 0, 2, 0, 0, 0, NA, 2, NA, 0, 1, NA, 1, 0, 2, …
$ loner2   <dbl> 0, 0, 1, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0, NA, 1, NA, 1, 0, NA, 0, 0, 1, …
$ obeys2   <dbl> 2, 1, 2, 1, NA, 2, 2, 2, 2, 1, NA, 1, NA, 2, 1, NA, 1, 2, 1, …
$ worries2 <dbl> 0, 0, 1, 0, NA, NA, 1, 0, 0, 0, NA, 1, NA, 1, 2, NA, 0, 0, 2,…
$ caring2  <dbl> 2, 2, 1, 2, NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, 2, 2, NA, 1, 2, 2, …
$ fidgety2 <dbl> 0, 1, 0, 0, NA, 0, 1, 0, 0, 0, NA, 2, NA, 0, 0, NA, 1, 0, 2, …
$ friend2  <dbl> 2, 2, 1, 2, NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, 1, 2, NA, 2, 2, 2, …
$ fights2  <dbl> 0, 0, 0, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0, NA, 2, NA, 0, 0, NA, 0, 0, 0, …
$ unhappy2 <dbl> 0, 0, 1, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0, NA, 1, NA, 0, 0, NA, 0, 0, 1, …
$ popular2 <dbl> 2, 1, 1, 2, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, 2, NA, 2, 2, NA, 1, 2, 1, …
$ distrac2 <dbl> 0, 0, 0, 2, NA, 0, 2, 1, 0, 0, NA, 1, NA, 0, 1, NA, 1, 0, 2, …
$ clingy2  <dbl> 1, 1, 1, 0, NA, 1, 1, 1, 0, 0, NA, 1, NA, 0, 0, NA, 2, 0, 2, …
$ kind2    <dbl> 2, 2, 2, 2, NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, 2, 2, NA, 1, 2, 2, …
$ lies2    <dbl> 1, 0, 0, 0, NA, 0, 1, 0, 1, 0, NA, 1, NA, 0, 0, NA, 1, 0, 0, …
$ bullied2 <dbl> 0, 0, 0, 0, NA, 0, 2, 0, 0, 0, NA, 0, NA, 0, 0, NA, 0, 0, 0, …
$ helpout2 <dbl> 1, 1, 1, 2, NA, 2, 2, 1, 2, 1, NA, 2, NA, 2, 1, NA, 0, 2, 1, …
$ reflect2 <dbl> 1, 1, 2, 1, NA, 2, 1, 2, 1, 2, NA, 1, NA, 2, 1, NA, 1, 2, 1, …
$ steals2  <dbl> 0, 0, 0, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0, NA, 2, NA, 0, 0, NA, 0, 0, 0, …
$ oldbest2 <dbl> 0, 0, 1, 0, NA, 1, 0, 1, 1, 0, NA, 1, NA, 0, 0, NA, 0, 0, 1, …
$ afraid2  <dbl> 0, 1, 0, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0, NA, 2, NA, 0, 0, NA, 0, 0, 2, …
$ attends2 <dbl> 1, 1, 2, 0, NA, 2, 2, 2, 2, 1, NA, 1, NA, 2, 2, NA, 1, 1, 0, …

Per analizzare solo gli item che misurano i Sintomi Emotivi, è conveniente creare un nuovo data frame.

items_emotion <- c("somatic", "worries", "unhappy", "clingy", "afraid")
sdq_emo <- SDQ[, items_emotion]
sdq_emo |>
    head()

A tibble: 6 × 5

somatic	worries	unhappy	clingy	afraid
<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>
2	1	0	1	0
2	0	0	1	0
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
2	1	0	1	0
1	0	0	1	0

Affrontiamo il problema dei dati mancanti come discusso in precedenza.

sdq_emo <- sdq_emo %>%
    mutate_at(vars(somatic:afraid), ~ ifelse(is.na(.), mean(., na.rm = TRUE), .))

Eliminiamo i valori decimali.

sdq_emo <- round(sdq_emo)

emotional_symptoms <- c("somatic", "worries", "unhappy", "clingy", "afraid")
result <- lapply(emotional_symptoms, function(x) sort(unique(sdq_emo[[x]])))
result |> print()

[[1]]
[1] 0 1 2

[[2]]
[1] 0 1 2

[[3]]
[1] 0 1 2

[[4]]
[1] 0 1 2

[[5]]
[1] 0 1 2

Trasformiamo il data frame in una matrice.

M <- sdq_emo |> as.matrix()
M

A matrix: 228 × 5 of type dbl

somatic	worries	unhappy	clingy	afraid
2	1	0	1	0
2	0	0	1	0
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
2	1	0	1	0
1	0	0	1	0
0	1	1	2	0
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	0	0	0	1
0	0	0	0	0
2	2	1	1	2
0	0	0	0	2
0	1	0	2	0
1	2	1	2	1
2	0	0	1	1
1	1	0	2	1
1	1	0	0	0
1	2	2	2	1
1	1	1	2	1
1	0	0	0	0
2	1	0	0	1
2	2	2	1	2
0	1	1	1	1
1	2	0	0	2
2	2	2	2	1
0	0	0	0	0
1	0	0	2	0
1	0	1	1	0
0	0	0	1	0
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
1	0	0	1	0
1	0	0	1	1
1	1	0	1	1
0	0	0	0	0
0	2	0	0	0
1	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	0	1	0
0	0	0	1	0
1	0	0	2	0
0	1	0	1	0
0	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
1	2	1	2	2
0	1	0	0	0
0	0	0	1	0
0	0	0	1	1
1	0	0	0	0
0	0	0	2	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	1
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
0	1	0	0	0
1	0	0	0	1
0	1	0	1	0
0	1	0	0	0
2	1	1	1	1

Implementiamo lo scaling ottimale con la funzione corAspect().

opt <- corAspect(M, aspect = "aspectSum", level = "ordinal")

Esaminiamo il risultato ottenuto.

attributes(opt)

$names

1. 'loss'
2. 'catscores'
3. 'cormat'
4. 'eigencor'
5. 'indmat'
6. 'scoremat'
7. 'data'
8. 'burtmat'
9. 'niter'
10. 'call'

$class

'aspect'

opt$scoremat

A matrix: 228 × 5 of type dbl

	somatic	worries	unhappy	clingy	afraid
1	1.9720960	0.4454555	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
2	1.9720960	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
3	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	1.0085914
4	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	1.0085914
5	1.9720960	0.4454555	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
6	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
7	-0.9013969	0.4454555	1.3931034	1.6170823	-0.7685934
8	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
9	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
10	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	1.0085914
11	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
12	1.9720960	2.0964116	1.3931034	0.2369782	1.9509426
13	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	1.9509426
14	-0.9013969	0.4454555	-0.6009399	1.6170823	-0.7685934
15	0.5862099	2.0964116	1.3931034	1.6170823	1.0085914
16	1.9720960	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	1.0085914
17	0.5862099	0.4454555	-0.6009399	1.6170823	1.0085914
18	0.5862099	0.4454555	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
19	0.5862099	2.0964116	2.6586118	1.6170823	1.0085914
20	0.5862099	0.4454555	1.3931034	1.6170823	1.0085914
21	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
22	1.9720960	0.4454555	-0.6009399	-1.1988603	1.0085914
23	1.9720960	2.0964116	2.6586118	0.2369782	1.9509426
24	-0.9013969	0.4454555	1.3931034	0.2369782	1.0085914
25	0.5862099	2.0964116	-0.6009399	-1.1988603	1.9509426
26	1.9720960	2.0964116	2.6586118	1.6170823	1.0085914
27	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
28	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	1.6170823	-0.7685934
29	0.5862099	-0.8540365	1.3931034	0.2369782	-0.7685934
30	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
199	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
200	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	1.0085914
201	0.5862099	0.4454555	-0.6009399	0.2369782	1.0085914
202	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
203	-0.9013969	2.0964116	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
204	0.5862099	0.4454555	1.3931034	-1.1988603	1.0085914
205	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
206	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
207	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
208	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	1.6170823	-0.7685934
209	-0.9013969	0.4454555	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
210	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
211	-0.9013969	0.4454555	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
212	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
213	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
214	0.5862099	2.0964116	1.3931034	1.6170823	1.9509426
215	-0.9013969	0.4454555	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
216	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
217	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	0.2369782	1.0085914
218	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
219	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	1.6170823	-0.7685934
220	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	1.0085914
221	0.5862099	-0.8540365	1.3931034	0.2369782	1.0085914
222	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
223	-0.9013969	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
224	-0.9013969	0.4454555	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
225	0.5862099	-0.8540365	-0.6009399	-1.1988603	1.0085914
226	-0.9013969	0.4454555	-0.6009399	0.2369782	-0.7685934
227	-0.9013969	0.4454555	-0.6009399	-1.1988603	-0.7685934
228	1.9720960	0.4454555	1.3931034	0.2369782	1.0085914

Esaminiamo la relazione tra lo scoring basato sul metodo Likert con lo scoring ottimale.

plot(opt$scoremat[, 1], sdq_emo$somatic)

plot(opt$scoremat[, 5], sdq_emo$afraid)

Guardando ai grafici ottenuti, si può notare che 1) i punteggi per le categorie successive aumentano quasi linearmente; 2) le categorie sono approssimativamente equidistanti. Concludiamo che per la valutazione degli item ordinali nella scala dei Sintomi Emotivi del SDQ, la scala Likert è appropriata, e non si può ottenere molto di più dall’ottimizzazione della scala rispetto alla semplice scala Likert di base.

7.2. Session Info

sessionInfo()

R version 4.3.3 (2024-02-29)
Platform: x86_64-apple-darwin20 (64-bit)
Running under: macOS Sonoma 14.3.1

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time zone: Europe/Rome
tzcode source: internal

attached base packages:
[1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     

other attached packages:
 [1] aspect_1.0-6       ggokabeito_0.1.0   viridis_0.6.5      viridisLite_0.4.2 
 [5] ggpubr_0.6.0       ggExtra_0.10.1     bayesplot_1.11.1   gridExtra_2.3     
 [9] patchwork_1.2.0    semTools_0.5-6.920 semPlot_1.1.6      lavaan_0.6-17     
[13] psych_2.4.1        scales_1.3.0       markdown_1.12      knitr_1.45        
[17] lubridate_1.9.3    forcats_1.0.0      stringr_1.5.1      dplyr_1.1.4       
[21] purrr_1.0.2        readr_2.1.5        tidyr_1.3.1        tibble_3.2.1      
[25] ggplot2_3.5.0      tidyverse_2.0.0    here_1.0.1        

loaded via a namespace (and not attached):
  [1] rstudioapi_0.15.0  jsonlite_1.8.8     magrittr_2.0.3    
  [4] TH.data_1.1-2      estimability_1.5   nloptr_2.0.3      
  [7] rmarkdown_2.26     vctrs_0.6.5        minqa_1.2.6       
 [10] base64enc_0.1-3    rstatix_0.7.2      htmltools_0.5.7   
 [13] broom_1.0.5        Formula_1.2-5      htmlwidgets_1.6.4 
 [16] plyr_1.8.9         sandwich_3.1-0     emmeans_1.10.0    
 [19] zoo_1.8-12         uuid_1.2-0         igraph_2.0.2      
 [22] mime_0.12          lifecycle_1.0.4    pkgconfig_2.0.3   
 [25] Matrix_1.6-5       R6_2.5.1           fastmap_1.1.1     
 [28] shiny_1.8.0        digest_0.6.34      OpenMx_2.21.11    
 [31] fdrtool_1.2.17     colorspace_2.1-0   rprojroot_2.0.4   
 [34] Hmisc_5.1-1        fansi_1.0.6        timechange_0.3.0  
 [37] abind_1.4-5        compiler_4.3.3     withr_3.0.0       
 [40] glasso_1.11        htmlTable_2.4.2    backports_1.4.1   
 [43] carData_3.0-5      ggsignif_0.6.4     MASS_7.3-60.0.1   
 [46] corpcor_1.6.10     gtools_3.9.5       tools_4.3.3       
 [49] pbivnorm_0.6.0     foreign_0.8-86     zip_2.3.1         
 [52] httpuv_1.6.14      nnet_7.3-19        glue_1.7.0        
 [55] quadprog_1.5-8     nlme_3.1-164       promises_1.2.1    
 [58] lisrelToR_0.3      grid_4.3.3         pbdZMQ_0.3-11     
 [61] checkmate_2.3.1    cluster_2.1.6      reshape2_1.4.4    
 [64] generics_0.1.3     gtable_0.3.4       tzdb_0.4.0        
 [67] data.table_1.15.2  hms_1.1.3          car_3.1-2         
 [70] utf8_1.2.4         sem_3.1-15         pillar_1.9.0      
 [73] IRdisplay_1.1      rockchalk_1.8.157  later_1.3.2       
 [76] splines_4.3.3      lattice_0.22-5     survival_3.5-8    
 [79] kutils_1.73        tidyselect_1.2.0   miniUI_0.1.1.1    
 [82] pbapply_1.7-2      stats4_4.3.3       xfun_0.42         
 [85] qgraph_1.9.8       arm_1.13-1         stringi_1.8.3     
 [88] boot_1.3-29        evaluate_0.23      codetools_0.2-19  
 [91] mi_1.1             cli_3.6.2          RcppParallel_5.1.7
 [94] IRkernel_1.3.2     rpart_4.1.23       xtable_1.8-4      
 [97] repr_1.1.6         munsell_0.5.0      Rcpp_1.0.12       
[100] coda_0.19-4.1      png_0.1-8          XML_3.99-0.16.1   
[103] parallel_4.3.3     ellipsis_0.3.2     jpeg_0.1-10       
[106] lme4_1.1-35.1      mvtnorm_1.2-4      openxlsx_4.2.5.2  
[109] crayon_1.5.2       rlang_1.1.3        multcomp_1.4-25   
[112] mnormt_2.1.1