61. Assunzioni e Proprietà del Modello di Rasch#
In questo capitolo, esaminiamo le proprietà importanti del modello di Rasch. Queste proprietà sono il motivo per cui il modello di Rasch è così teoricamente attraente e hanno portato al suo ampio utilizzo. Forse la proprietà più importante è il fatto che permette una misurazione oggettiva dei tratti latenti.
source("../_common.R")
suppressPackageStartupMessages({
library("tidyverse")
library("grid")
library("mirt")
library("TAM")
# devtools::install_github("masurp/ggmirt")
library("ggmirt")
library("latex2exp")
})
61.1. Statistiche Sufficienti: Definizione e Applicazioni#
Una statistica è definita come una funzione dei dati osservati e serve comunemente a riassumere caratteristiche salienti di un insieme di dati. Un esempio chiaro è la media campionaria, calcolata come:
dove \(\bar{x}\) rappresenta la media dei valori \(x_p\) per individui da 1 a \(P\). Questa statistica è frequentemente impiegata per stimare il valore atteso di una popolazione, dato che sintetizza le informazioni riguardanti la media del campione.
Esistono altre statistiche oltre a \(\bar{x}\), ad esempio, si potrebbe utilizzare la media di soli alcuni valori selezionati, come \(x^* = \frac{1}{3} (x_1 + x_3 + x_5)\). Tuttavia, questa alternativa, nonostante sia un valido stimatore, risulta generalmente meno accurata di \(\bar{x}\) perché non considera tutti i valori del campione, come \(x_2, x_4\), ecc.
Il concetto di statistica sufficiente emerge quando una statistica, come \(\bar{x}\), cattura completamente tutte le informazioni necessarie sul parametro di interesse (in questo caso, la media) contenute nel campione. Le statistiche sufficienti sono particolarmente potenti perché, una volta conosciute, rendono superflue le informazioni aggiuntive fornite dai dati individuali.
61.1.1. Applicazioni nel Modello di Rasch#
Nel contesto del modello di Rasch, utilizzato in teoria della risposta agli item (IRT), si identificano statistiche sufficienti specifiche per diversi parametri:
Statistica Sufficiente per \(\theta_p\): Per il parametro di abilità di una persona \(\theta_p\), la statistica sufficiente è il punteggio totale \(r_p\), ottenuto sommando tutte le risposte corrette della persona \(p\) ai vari item. Questo punteggio riflette direttamente l’abilità della persona senza necessità di analizzare le risposte a ogni singolo item.
Statistica Sufficiente per \(\beta_i\): Analogamente, per il parametro di difficoltà dell’item \(\beta_i\), la statistica sufficiente è data dal totale delle risposte corrette \(c_i\) a quell’item da parte di tutte le persone. Questa somma rappresenta la difficoltà intrinseca dell’item.
Secondo il modello di Rasch, la probabilità che una persona \(p\) risponda correttamente all’item \(i\) è modellata tramite una funzione logistica della differenza tra abilità e difficoltà:
In questo modello, il punteggio totale \(r_p\) e il numero totale di risposte corrette \(c_i\) diventano essenziali, poiché la distribuzione congiunta delle risposte corrette può essere completamente descritta da questi totali. Inoltre, l’indipendenza condizionale delle risposte, data l’abilità di una persona o la difficoltà di un item, supporta l’utilizzo dei punteggi totali come statistiche sufficienti.
Queste proprietà del modello di Rasch evidenziano come le statistiche sufficienti, quali \(r_p\) e \(c_i\), incorporino efficacemente tutte le informazioni necessarie per stimare i parametri di interesse, semplificando così il processo di analisi statistica.
61.2. Considerazioni Conclusive sul Modello di Rasch#
Il modello di Rasch si basa su tre fondamentali assunzioni che ne garantiscono la validità e l’applicabilità: unidimensionalità, monotonicità e indipendenza locale.
Unidimensionalità: Quest’assunzione presuppone che le risposte agli item di un test siano influenzate principalmente da un unico tratto latente o dimensione attributiva. Questo significa che il modello assume la predominanza di una sola caratteristica o abilità nel determinare le risposte, rendendo problematica la presenza di dimensioni multiple che richiederebbero un’analisi in uno spazio multidimensionale.
Monotonicità: L’assunzione di monotonicità stabilisce che con l’incremento del tratto latente (\(\theta\)), aumenta anche la probabilità di una risposta corretta. Ciò si allinea con l’intuizione generale nella misurazione: individui con un livello più elevato del tratto latente tendono a ottenere punteggi migliori nei test.
Indipendenza Locale: Questa assunzione afferma che, controllato il tratto latente, non dovrebbero esistere correlazioni tra le risposte a due item distinti. Eventuali associazioni osservate tra risposte a item diversi sono attribuibili unicamente al tratto latente. In altre parole, la risposta a un item non deve essere influenzata da o influenzare la risposta a un altro item, una volta controllato per il tratto latente.
61.3. Indipendenza Stocastica Locale e Applicazioni nel Modello di Rasch#
61.3.1. Concetto di Indipendenza Stocastica Locale#
In molti modelli statistici si presuppone che gli eventi siano stocasticamente indipendenti, ovvero che la realizzazione di un evento non fornisca informazioni sulla realizzazione degli altri. Questa assunzione di indipendenza stocastica è fondamentale perché semplifica notevolmente il calcolo delle probabilità congiunte. Ad esempio, consideriamo il lancio ripetuto di una moneta equilibrata: la probabilità di ottenere testa in ciascun lancio è del 50%, e la probabilità congiunta di ottenere testa due volte consecutive è data dal prodotto delle probabilità individuali:
Questa formula utilizza l’indipendenza stocastica per calcolare la probabilità congiunta, ovvero sapere l’esito del primo lancio non cambia la probabilità del secondo.
61.3.2. Indipendenza nel Modello di Rasch#
Il modello di Rasch, utilizzato nella teoria della risposta agli item (IRT), si basa sull’assunzione di indipendenza stocastica locale per calcolare la probabilità congiunta delle risposte a un test. Assumendo che le risposte di una persona agli item di un test siano indipendenti data la sua abilità, possiamo calcolare la probabilità congiunta moltiplicando le probabilità individuali di risposta corretta ai singoli item:
61.3.3. Uso dei Vettori per Semplificare il Modello#
Nel modello di Rasch, l’uso dei vettori di risposta e dei parametri di difficoltà degli item facilita il calcolo delle probabilità congiunte per un test di più item. Ad esempio, definiamo \(\beta = (\beta_1, ..., \beta_I)\) come il vettore dei parametri di difficoltà e \(U_{p\cdot} = (U_{p1}, ..., U_{pI})\) come il vettore casuale delle risposte della persona \(p\). La probabilità congiunta delle risposte si esprime come:
Questa formulazione permette di calcolare efficientemente la probabilità congiunta di un pattern di risposte utilizzando le proprietà dei prodotti e delle esponenziali:
dove \(r_p = \sum_{i=1}^{I} u_{pi}\) rappresenta il numero totale di item risolti correttamente dalla persona \(p\).
61.3.4. Limitazioni e Considerazioni#
Nonostante l’utilità dell’indipendenza stocastica locale, ci sono situazioni in cui questa assunzione può non essere valida, come nei test di matematica dove la soluzione di un problema dipende da quella di problemi precedenti, o nei testlet, dove gli item condividono un tema comune e le risposte possono essere correlate. In questi casi, la probabilità di risposta corretta agli item successivi può dipendere dalle risposte date agli item precedenti, violando l’assunzione di indipendenza stocastica locale.
In sintesi, l’indipendenza stocastica locale è un principio potente nel modello di Rasch che facilita il calcolo delle probabilità congiunte nelle valutazioni standardizzate, ma è essenziale riconoscere i suoi limiti e applicarla in modo appropriato a seconda del contesto specifico del test.
61.3.5. Estensione della Probabilità Congiunta: Dalle Singole Risposte alla Collettività#
61.3.5.1. Probabilità Congiunta delle Risposte di Tutti i Partecipanti#
Possiamo estendere il concetto di probabilità congiunta da una singola persona a tutti i partecipanti di un test. Questo si realizza assumendo che le risposte di tutti i partecipanti siano stocasticamente indipendenti l’una dall’altra. A livello notazionale, raggruppiamo i parametri di abilità dei partecipanti, \(\theta_p\), in un vettore \(\theta\), dove ogni elemento corrisponde al parametro di abilità di un individuo. Analogamente, formiamo una matrice casuale \(U\), dove ogni riga rappresenta le risposte di un singolo partecipante e ogni colonna si riferisce alle risposte a un singolo item.
61.3.5.2. Matrice delle Risposte e Probabilità Congiunta#
Le risposte effettive di ciascun partecipante sono raccolte in una matrice \(u\). La cella nella riga \(p\) e colonna \(i\) contiene la risposta \(u_{pi}\), ovvero la risposta del partecipante \(p\) all’item \(i\). Utilizzando queste matrici, la probabilità congiunta delle risposte di tutti i partecipanti ai vari item è data da:
dove \(r_p\) indica il punteggio totale del partecipante \(p\).
61.3.5.3. Semplificazione del Calcolo#
Il calcolo può essere ulteriormente semplificato considerando la somma di tutti i termini nel numeratore e distribuendo la somma sui termini \(\theta_p\) e \(\beta_i\):
Invertendo l’ordine delle sommatorie nel doppio sommatorio, e riconoscendo che i termini \(\beta_i\) sono costanti rispetto a \(p\), possiamo riscrivere la somma come:
dove \(c_i\) rappresenta la somma totale delle risposte corrette all’item \(i\) da parte di tutti i partecipanti. Sostituendo nella formula finale, otteniamo:
che rappresenta la probabilità congiunta desiderata.
61.3.5.4. Considerazioni sulla Validità dell’Assunzione di Indipendenza#
Bisogna valutare criticamente l’assunzione che le risposte di diversi partecipanti siano indipendenti. Per esempio, questa assunzione non è valida quando un partecipante copia le risposte da un altro. L’indipendenza locale è cruciale per applicare correttamente il modello di Rasch e per semplificare i calcoli delle probabilità congiunte.
61.3.5.5. Implicazioni del Teorema di Andersen#
Il modello di Rasch e la sua formulazione si basano su questa indipendenza e su altre piccole assunzioni, come dimostrato dal teorema di Andersen. Verificare l’applicabilità di queste assunzioni è essenziale prima di implementare il modello in situazioni pratiche.
61.4. Unidimensionalità nel Modello di Rasch#
61.4.1. Concetto di Unidimensionalità#
Il modello di Rasch presuppone unidimensionalità, ovvero assume che esista una singola dimensione latente che ordina le persone secondo le loro abilità. Nel contesto dei test psicometrici, un test è considerato unidimensionale quando misura esclusivamente un’unica abilità specifica. Ad esempio, un test di matematica puro misurerebbe solo l’abilità matematica. Al contrario, test come il SAT, che valutano sia competenze matematiche che verbali, non sono unidimensionali perché ogni sezione misura una diversa dimensione di abilità.
61.4.2. Implicazioni dell’Unidimensionalità#
Un test ideale unidimensionale assegna a ciascun partecipante un singolo valore di abilità, riflettendo precisamente la competenza nella dimensione target del test. Tuttavia, la presenza di più dimensioni latenti può causare problemi come il Funzionamento Differenziale degli Item (DIF). Il DIF si verifica quando la difficoltà di specifici item varia tra diversi gruppi di candidati, indipendentemente dalle loro abilità nella dimensione misurata dal test.
61.4.3. Esempio di DIF e Multidimensionalità#
Consideriamo un test di matematica dove non solo la competenza matematica (la dimensione primaria) è rilevante, ma anche le abilità linguistiche (una dimensione secondaria) influenzano i risultati. Se due gruppi di candidati differiscono significativamente nelle loro abilità linguistiche, questa dimensione secondaria potrebbe distorcere i risultati del test, rendendo alcuni item più facili o difficili per un gruppo rispetto all’altro. Questo fenomeno evidenzia il DIF, dove gli item sono influenzati da fattori non direttamente pertinenti all’abilità che il test intende misurare.
61.4.4. Rilevazione e Impatto del DIF#
I test statistici per rilevare il DIF devono considerare la possibile presenza di multidimensionalità. Un test che non isoli adeguatamente la dimensione d’interesse può portare a valutazioni errate o ingiuste dei candidati. La presenza di DIF suggerisce che il test potrebbe non essere calibrato equamente per tutti i partecipanti o che alcuni item siano parziali verso determinati gruppi.
61.4.5. Considerazioni su Costrutti Psicologici Complessi#
Molti costrutti psicologici, come l’intelligenza, sono intrinsecamente multidimensionali. Ad esempio, il modello di intelligenza di Carroll (1993) propone una struttura gerarchica con categorie come l’intelligenza fluida e quella cristallizzata, dimostrando la complessità e la multidimensionalità del costrutto.
61.4.6. Estensioni Multidimensionali del Modello di Rasch#
Sebbene il modello di Rasch classico sia limitato alla misurazione di una singola dimensione, sono state sviluppate estensioni che possono gestire e incorporare dimensioni multiple. Queste versioni multidimensionali del modello di Rasch permettono una valutazione simultanea di più dimensioni, fornendo un’analisi più completa di costrutti psicologici complessi.
61.4.7. Conclusione#
L’unidimensionalità è una presunzione centrale nel modello di Rasch, essenziale per la validità dei test che mirano a misurare specifiche abilità. Tuttavia, la realtà dei costrutti psicologici spesso richiede un approccio più sfumato che tenga conto delle loro nature multidimensionali. Le estensioni multidimensionali del modello di Rasch rappresentano un adattamento cruciale per l’analisi di tali costrutti complessi, migliorando la precisione e l’equità delle valutazioni psicometriche.
61.5. Scala di Misurazione nel Modello di Rasch#
61.5.1. Definizione di Misurazione secondo Stevens#
Secondo Stevens (1946), la misurazione è definita come “l’assegnazione di numeri a oggetti o eventi secondo regole”. Questa definizione, ampiamente riconosciuta in psicologia, abbraccia tanto la misurazione fisica (es. l’uso di un righello per misurare una distanza) quanto quella psicologica (es. l’uso di paradigmi per valutare la percezione del volume sonoro).
61.5.2. Classificazione delle Scale di Misurazione#
Stevens identifica quattro categorie principali di scale di misurazione:
Scale Nominali: Numeri usati esclusivamente come etichette (es. numeri sulle maglie dei giocatori di calcio).
Scale Ordinali: Numeri utilizzati per stabilire un ordine (es. classifiche olimpiche).
Scale di Intervallo: Misurano distanze relative senza un punto zero naturale (es. gradi Celsius e Fahrenheit).
Scale di Rapporto: Simili alle scale di intervallo ma con un punto zero assoluto (es. lunghezza in metri o peso in chilogrammi).
61.5.3. Applicazione nel Modello di Rasch#
Nel modello di Rasch, la conversione delle misure di abilità da una unità a un’altra (da “Unità A” a “Unità B”) è analoga al cambio di unità di temperatura. Per esempio, ogni abilità \(\theta_p\) può essere trasformata in \(\theta_p' = \theta_p - b\) e ogni difficoltà dell’item \(\beta_i\) in \(\beta_i' = \beta_i - b\), mantenendo inalterate le probabilità di una risposta corretta.
61.5.4. Scalabilità e Ricalibrazione#
Consideriamo un’ulteriore riscalatura da “Unità A” a “Unità C”, dove \(\theta\) diventa \(\theta'' = (1/a) \cdot \theta\) e \(\beta\) diventa \(\beta'' = (1/a) \cdot \beta\). Questa trasformazione riduce le logit di un fattore \(1/a\). Adattando la funzione logistica \(f(x)\) in modo che l’argomento sia scalato da \(a\), \(f(a \cdot x)\), manteniamo invariate le probabilità di una risposta corretta tra le Unità A e C.
61.5.5. Implicazioni della Scala di Misurazione#
Queste trasformazioni dimostrano che nel modello di Rasch gli item e le persone possono essere misurati su una scala di intervallo, ma il punto zero e la scala non sono intrinsecamente definiti. In pratica, questo implica la necessità di stabilire un punto zero e una scala per la funzione di risposta degli item, ad esempio fissando la difficoltà del primo item a zero, normalizzando la somma delle difficoltà a zero, o bilanciando la somma delle abilità a zero. La scala è comunemente impostata a 1 nel modello di Rasch, corrispondente alla standardizzazione della pendenza degli item.
61.5.6. Discussione Futura#
Nel prossimo capitolo dedicato alla stima dei parametri, esploreremo ulteriormente come selezionare e applicare queste convenzioni per calibrare efficacemente il modello di Rasch, garantendo che le misurazioni riflettano accuratamente le abilità e le difficoltà all’interno del contesto testato.
61.6. Oggettività Specifica nei Test Psicometrici#
61.6.1. Definizione e Importanza dell’Oggettività Specifica#
L’oggettività specifica è un concetto fondamentale nei test psicometrici, volto a garantire l’equità nei confronti tra individui. Essa assicura che i confronti tra le persone siano determinati unicamente dalle loro abilità e non dagli specifici item utilizzati nel test. Questo principio implica che se un individuo ha una probabilità maggiore di rispondere correttamente a un item rispetto a un altro, allora questa superiorità dovrebbe manifestarsi uniformemente su tutti gli item del test. Analogamente, se un item risulta più facile per una persona, dovrebbe risultare più facile per chiunque altro.
61.6.2. Verifica dell’Oggettività Specifica#
Un metodo per controllare se un modello rispetta l’oggettività specifica è osservare le Curve di Caratteristica dell’Item (ICC). Nel modello di Rasch, l’oggettività specifica è soddisfatta se le ICC per diversi item non si incrociano, indicando che le probabilità di risposta corretta sono funzioni consistenti dell’abilità, indipendentemente dagli item specifici.
61.6.3. Formalizzazione Algebrica dell’Oggettività Specifica#
Secondo Irtel (1996), l’oggettività specifica può essere definita più rigorosamente attraverso il concetto di rapporto di probabilità. Per due persone \( p \) e \( q \) e un item \( i \), definiamo \( O_{pi} \) come la probabilità che la persona \( p \) risponda correttamente all’item \( i \). L’oggettività specifica richiede che il rapporto di probabilità tra le persone sia costante attraverso tutti gli item del test:
Questo implica che per ogni coppia di item \( i \) e \( j \), il rapporto di probabilità tra due persone per l’item \( i \) sia uguale a quello per l’item \( j \), ossia:
Ciò equivale matematicamente a che \( O_{pi} \cdot O_{qj} = O_{pj} \cdot O_{qi} \).
61.6.4. Applicazione Pratica: Esempio di Oggettività Specifica#
Per illustrare, consideriamo Marco e Cora che completano un test di venti item. Se le probabilità (e di conseguenza le quote) di Marco risolvere il primo item sono 1:4 e quelle di Cora sono 1:1, l’oggettività specifica impone che il rapporto di 4:1 tra le quote di Cora e Marco debba rimanere costante per tutti i 20 item del test.
61.6.5. Limitazioni e Implicazioni#
Nonostante l’oggettività specifica fornisca un criterio rigoroso per la coerenza dei test, il suo uso può essere limitato da interpretazioni errate. Ad esempio, definire l’oggettività specifica come “indipendenza del campione” può portare a conclusioni erronee riguardo alla trasferibilità di un test tra gruppi diversi, come banchieri d’investimento e ingegneri del software, che potrebbero interpretare gli item in modo differente.
61.6.6. Considerazioni Finali#
L’oggettività specifica non è una proprietà che può essere universalmente garantita in tutti i contesti. È un’ipotesi di lavoro che deve essere continuamente verificata attraverso dati empirici. Rasch stesso ha sottolineato l’importanza di testare ripetutamente questa proprietà ogni volta che si raccolgono nuovi dati. Questa attenzione costante ai dettagli e alle variabili del contesto è cruciale per mantenere l’integrità e l’affidabilità dei test psicometrici.
61.7. Considerazioni conclusive#
Il modello di Rasch si basa su tre fondamentali assunzioni che ne garantiscono la validità e l’applicabilità: unidimensionalità, monotonicità e indipendenza locale. La violazione di queste assunzioni può indicare la necessità di ricorrere a metodologie più complesse o a modelli alternativi per un’analisi accurata dei dati. Questo può richiedere un esame più approfondito dei dati o l’adozione di modelli statistici avanzati capaci di gestire la complessità delle informazioni raccolte.
Un aspetto distintivo del modello di Rasch è la sua capacità di quantificare la difficoltà degli item indipendentemente dalle abilità dei partecipanti, grazie all’uso della stima di massima verosimiglianza condizionale. Questo approccio garantisce che la difficoltà di ciascun item venga determinata basandosi unicamente sulle risposte specifiche a quell’item, in maniera indipendente dal livello complessivo di abilità dei rispondenti.
Questo principio di oggettività specifica è simile al concetto di invarianza in analisi di regressione, dove le caratteristiche di una linea di regressione (come pendenza e intercetta) non variano a seconda del campione analizzato. Analogamente, nel modello di Rasch, i parametri di difficoltà degli item restano costanti e non sono influenzati dalle competenze generali dei partecipanti, rendendo le valutazioni di difficoltà degli item stabili e affidabili, indipendentemente dalla varietà o dal livello di abilità del campione di rispondenti.
L’oggettività specifica è particolarmente preziosa poiché elimina la necessità di selezionare campioni normati o rappresentativi della popolazione generale per la calibrazione degli item. Quasi qualsiasi gruppo di persone, purché con una varietà sufficiente nelle risposte, può essere utilizzato per stabilire la difficoltà degli item. Questo approccio si contrappone a quello dei test tradizionali, dove spesso è necessario un campione rappresentativo per sviluppare tabelle normative basate sulle percentuali di risposte corrette.
In conclusione, il modello di Rasch offre un framework robusto per la misurazione psicometrica, pur richiedendo una verifica attenta delle sue assunzioni fondamentali per assicurare risultati di misurazione accurati e equi.
61.8. Session Info#
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